【文章內(nèi)容簡介】 左移 4，得 f (t) tof ( t )1 2 2信號與系統(tǒng) 169?；茨蠋煼秾W(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 140頁 ■ 電子教案 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 階躍函數(shù) 和 沖激函數(shù) 不同于普通函數(shù)，稱為 奇異函數(shù) 。研究奇異函數(shù)的性質(zhì)要用到廣義函數(shù)（或分配函數(shù)）的理論。這里將直觀地引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 一、階躍函數(shù) 下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù)。 選定一個函數(shù)序列 γn(t)如圖所示。 ton1?n11γ n21n →∞ to1ε ( t )????????????0,10,210,0)(l i m)(d e fttttt nn??信號與系統(tǒng) 169。淮南師范學(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 141頁 ■ 電子教案 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 階躍函數(shù)性質(zhì)： （ 1）可以方便地表示某些信號 f ( t )o2t1 21f(t) = 2ε(t) 3ε(t1) +ε(t2) ( a ) ( b )f ( t ) f ( t ) ε ( t )o o tt o t( c )f ( t )[ ε ( t t 1 ) ε ( t t 2 )]t 1 t 2（ 2）作為截取函數(shù)的工具 （ 3）階躍函數(shù)的積分 )(d)( ttt ???? ?? ??信號與系統(tǒng) 169?；茨蠋煼秾W(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 142頁 ■ 電子教案 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 二、沖激函數(shù) 單位沖激函數(shù) 是個奇異函數(shù)，它是對強度極大，作用時間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義（由 狄拉克 最早提出） ????????????1)(0,0)(dtttt??to( 1 )δ ( t )也可采用下列 直觀定義 ：對 γn(t)求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖 p n(t) 。 top n ( t )n1n1?2n)(lim)( d e f tpt nn ???? 高度無窮大，寬度無窮小，面積為 1的對稱窄脈沖。 指強度面非幅度 信號與系統(tǒng) 169?；茨蠋煼秾W(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 143頁 ■ 電子教案 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系： tttd)(d)( ?? ? to1ε ( t )to( 1 )δ ( t )? ??? tt ???? d)()(可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點的導(dǎo)數(shù)也存在。如 tof ( t )21 1f(t) = 2ε(t +1)2ε(t 1) f′(t) = 2δ(t +1)2δ(t 1) 求導(dǎo) 1 1 otf 39。( t )( 2 )( 2)ton1?n11γ n21top n ( t )n1n1?2nn→∞ n→∞ tttp nn d)(d)( ??信號與系統(tǒng) 169?；茨蠋煼秾W(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 144頁 ■ 電子教案 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 三、沖激函數(shù)的性質(zhì) 1. 與普通函數(shù) f(t) 的乘積 ——取樣性質(zhì) 若 f(t)在 t = 0 、 t = a處存在，則 f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ， f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a) )0(d)()( ftttf ?? ??? ?)(2 2)()4s i n()()4s i n( tttt ????? ??? 22d)()4s i n( ??????? ttt ???d)1()4s i n(03 ????? ttt ?? ?d)()4s i n(91 ???? ttt ???d)(211 ???? ???? t ?d)()1(1 2 ???? t ????0 22???? ???其它,011,2 tt ε(t) ( ) ( ) d ( )f t t a t f a???? ???? ? )(e2)()(e2)(e)(ed d 2222 tttttt tttt ????? ???? ????信號與系統(tǒng) 169?；茨蠋煼秾W(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 145頁 ■ 電子教案 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 2. 沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù) δ’(t) （也稱沖激偶） 性質(zhì)： f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) 證明： [ f(t) δ(t)]’ = f(t) δ’(t) + f ’(t) δ (t) f(t) δ’(t) = [ f(t) δ(t)]’ – f ’(t) δ (t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) δ’(t)的定義： )0(39。d)()(39。 fttft ??? ??? ?δ(n)(t)的定義： )0()1(d)()( )()( nnn fttft ??? ??? ?2 39。 200d( 2 ) ( ) d [ ( 2 ) ] 2 ( 2 ) 4d ttt t t t tt?????? ? ? ? ? ? ? ? ??例 . 信號與系統(tǒng) 169。淮南師范學(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 146頁 ■ 電子教案 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 3. δ(t) 的尺度變換 ( ) ( )11( ) ( )||nnna t taa????證明見教材 P20 推論 : (1) 1( ) ( )||a t ta??? 00 1( ) ( )|| ta t t taa??? ? ?例 .δ(2t) = (t) ( ) ( )( ) ( 1 ) ( )n n ntt??? ? ?(2)當 a = –1時 所以， δ(– t) = δ (t) 為偶函數(shù)， δ’(– t) = – δ’ (t)為奇函數(shù) 信號與系統(tǒng) 169?；茨蠋煼秾W(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 147頁 ■ 電子教案 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 例 .已知 f(t)，畫出 g(t) = f ’(t)和 g(2t) 求導(dǎo)，得 g(t) o 2 tf ( t ) 24( 4 )o 2 tg ( t ) = f 39。( t ) 2 1壓縮，得 g(2t) ( 2 )o 1tg (2 t ) 1 1注意 :普通函數(shù)尺度變換幅度不變 ,而 δ(t)函數(shù)幅度變化 . 信號與系統(tǒng) 169。淮南師范學(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 148頁 ■ 電子教案 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 4. 復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù) 實際中有時會遇到形如 δ[f(t)]的沖激函數(shù)，其中 f(t)是普通函數(shù)。并且 f(t) = 0有 n個互不相等的實根 ti ( i=1， 2， … ， n) ttftftft d)(d)]([)]}([{dd ?? ?1d[ ( ) ] { [ ( ) ] }39。( ) df t f tf t t???ε[f(t)]圖示說明： 例 f(t)= t2 – 4 ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2) f ( t )t 4 2 2o1ε [ f ( t ) ]2 2 to間接方法 信號與系統(tǒng) 169?；茨蠋煼秾W(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 149頁 ■ 電子教案 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) )2(41)2(41)2(221)2(221)]2()2([21)]4([dd21]4[ 22??????????????????ttttttttttt????????ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2) 一般地， ????niiitttftf1)()(39。1)]([ ??這表明， δ[f(t)]是位于各 ti處，強度為 的 n個沖激函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列。 139。( )ift注意 ：如果 f(t)=0有重根， δ[f(t)]無意義。 信號與系統(tǒng) 169?；茨蠋煼秾W(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 150頁 ■ 電子教案 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 這兩個序列是普通序列。 （ 1）單位 (樣值 )序列 δ(k)的定義 ??????0,00,1)( de fkkk?o11 1 kδ ( k )取樣性質(zhì)： f(k)δ(k) = f(0)δ(k) ( ) ( ) ( 0 )kf k k f??? ? ???f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0) 例 ?)( ??????kk? ?)()5( ???????kkk ?0( ) ?iki??????三、序列 δ(k)和 ε(k) ? ? ? ? ? ?00f k k k f k???????信號與系統(tǒng) 169。淮南師范學(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 151頁 ■ 電子教案 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) （ 2）單位階躍序列 ε(k)的定義 ??????0,00,1)( de fkkk?o11 1 kε ( k )2 3…（ 3） ε(k)與 δ(k)的關(guān)系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1) ?????kiik )()( ??或 ?????0)()(jjkk ??ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+… 00( ) ( ) ( ) ( )ki j jt i k j k j? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?令 i=kj 信號與系統(tǒng) 169?；茨蠋煼秾W(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 152頁 ■ 電子教案 信號的相量表示 ? ? ? ?? ?s int tf t A tF A e A e e A?? ????????? ? ? ?信號與系統(tǒng) 169。淮南師范學(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 153頁 ■ 電子教案 例 一個電路給風扇電機和電燈供電。它們并聯(lián)接入電路，流過的電流分別是 和 , 求電路提供給的總電流？ 解：表示示兩個電流的相量是 ? ? ? ?6 . 5 c o s 2 6 0 6mi t t ????????? ? ? ?2 c o s 2 6 0 40li t t ????????66 . 5 6 . 5 5 . 6 2 9 3 . 2 5 06jmI e j? ??? ? ? ? ?402 2 1 . 9 9 4 0 . 1 5 740jlI e j? ?? ? ? ?0. 38 57 .6 2 3 3 .0 9 3 8 .2 2 7 0 .3 8 5 8 .2 2 7 jmlI I I j e ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?8 .2 2 7 c o s 2 6 0 0 .3 8 5i t t??? ????信號與系統(tǒng) 169。淮南師范學(xué)院電氣信息工程學(xué)院 第 154頁 ■ 電子教案 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 一、系統(tǒng)的定義 若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。