數(shù)學(xué)競賽-數(shù)列試題及答案(編輯修改稿)
2025-02-10 02:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 047 C．2048 D．2049 答（ ）注意到452＝2025，462＝2116，∴2026＝a2026—45＝a1981，2115＝a2115—45＝a2070． 而且在從第1981項(xiàng)到第2070項(xiàng)之間的90項(xiàng)中沒有完全平方數(shù)． 又1981＋22＝2003，∴a2003＝a1981+22＝2026＋22＝2048．故選(C)．13．(03) 設(shè)M n ＝{(十進(jìn)制)n位純小數(shù)｜ai只取0或1（i＝1，2，…，n－1，an＝1}，Tn是Mn中元素的個(gè)數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則＝_______．∵M(jìn)n中小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后均有n位，而除最后一位上的數(shù)字必為1外，其余各位上的 數(shù)字均有兩種選擇(0或1)方法，故．又因在這2n－1個(gè)數(shù)中，小數(shù)點(diǎn)后第n位上的數(shù)字全是1，而其余各位上數(shù)字是0或1，各有一半．故 ∴． 14．(02) 如圖，有一列曲線P0，P1，P2……，已知P0所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，Pk+1是對Pk進(jìn)行如下操作得到：將Pk的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（k=0,1,2,）。記Sn為曲線Pn所圍成圖形的面積?！?）求數(shù)列｛Sn｝的通項(xiàng)公式；（2）求Sn.15．(01) 設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且b1=a12, b2=a22, b3=a32(a1＜a2), 又(b1+b2+…+bn)的極限=√2+1。 試求{an}的首項(xiàng)和公差。[注意：√2+1和√(2+1)表示的數(shù)字不相同]16．(00) 設(shè)是的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)…)，則 。[解] 由二項(xiàng)式定理知， ，因此 ， 17．(00) 等比數(shù)列的公比是 。[解] 設(shè)公比為q，由已知條件可知 ，根據(jù)比例性質(zhì)， ．18．(00) 設(shè)，求的最大值．[解] 由已知，對任何n∈N，有 ， 又因 ， 故對任何n∈N，有 ． 由于 ，故f(n)的最大值為 ．19．(00) 設(shè)數(shù)列和滿足且 證明：是完全平方數(shù)．設(shè)數(shù)列和 滿足且 ，n=0,1,2...證明 an(n=0,1,2,...)是完全平方數(shù)． 證明：由假設(shè)得a1=4, b1=4 且當(dāng)n≥1時(shí) 依次類推可得 同理 從而 由于 , 所以 由二項(xiàng)式展開得 顯然為整數(shù),于是an為完全平方數(shù). 20．(99) 給定公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{an}，設(shè)b1＝a1＋a2＋a3， b2＝a4＋a5＋a6，…， bn＝a3n2＋a3n1＋a3n，…，則數(shù)列{bn}( C )(A)是等差數(shù)列 (B)是公比為q的等比數(shù)列(C)是公比為q3的等比數(shù)列 (D)既非等差數(shù)列也非等比數(shù)列由題設(shè)，an=a1qn1 ，則 因此，｛bn｝是公比為q3的等比數(shù)列． 21．(99) 已知正整數(shù)n不超過2000，并且能表示成不少于60個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和，那么，這樣的n的個(gè)數(shù)是___
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