計(jì)算二重積分的幾種方法數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-02-09 17:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 重積分，其中如圖（5）所示. 解 由于區(qū)域由圓的一部分組成，所以可以用極坐標(biāo)變換來求解.設(shè)，則在極坐標(biāo)下，被積函數(shù)為，此題是應(yīng)用極坐標(biāo)換元法求解的. 應(yīng)用函數(shù)的對稱性求二重積分定理4 如果積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，是的位于軸右側(cè)的部分，則有 如果積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，是的位于軸上側(cè)的部分，則有 證明 由于關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)y軸將區(qū)域分為和，則由二重積分對區(qū)域的可加性，得 （5）對積分作換元，即令，則面的區(qū)域?qū)?yīng)面上的區(qū)域，如圖（6）所示 又因?yàn)槭顷P(guān)于的偶函數(shù)，于是可得 ，將上式帶入（5）式得 用完全類似的方法可證明定理的第二部分.定理5 如果積分區(qū)域關(guān)于軸、軸都對稱，被積函數(shù)關(guān)于、都是偶函數(shù)，是中第一象限的部分，則 證明 由于關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)為的位于軸右側(cè)部分，又因?yàn)槭顷P(guān)于的偶函數(shù)，由定理4得 （6）由條件知又關(guān)于軸對稱，若是的位于軸上側(cè)的部分，且因被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，由定理4的第二部分得： （7） 由上面（6）（7）式可得.定理6 如果積分區(qū)域關(guān)于軸（或軸）對稱，被積函數(shù)是關(guān)于 (或)的奇函數(shù)，則 證明 由定理4的證明過程得.將上式代入（5）式得.例6 求圓錐截圓柱面所得有界部分立體的體積.解 立體在平面上的投影為根據(jù)積分區(qū)域是關(guān)于軸對稱并且被積函數(shù)是的偶函數(shù)，那么所得立體體積為 ，令，則變?yōu)椋杂? .例7 計(jì)算二重積分，其中是平面以為頂點(diǎn)的三角
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