【文章內(nèi)容簡介】 的開口方向以及對稱軸的位置． 專題 8 分類討論思想 【專題解讀】 分類討論是對問題的條件逐一進(jìn)行討論，從而求得滿足題意的結(jié)果． 例 14 已知拋物線 y＝ ax2＋ bx＋ c與 y軸交于點(diǎn) A(0， 3)，與 x軸交于 B(1， 0)， C(5， 0)兩點(diǎn)． (1)求此拋物線的解析式； (2)若點(diǎn) D為線段 OA的一個三等分點(diǎn)，求直線 DC的解析式； (3)若一個動點(diǎn) P 自 OA 的中點(diǎn) M 出發(fā)，先到達(dá) x 軸上某點(diǎn) (設(shè)為點(diǎn) E)，再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(diǎn) (設(shè)為點(diǎn) F)，最后運(yùn) 動到點(diǎn) A，求使點(diǎn) P運(yùn)動的總路徑最短的點(diǎn) E， F的坐標(biāo)，并求出這個最短總路徑的長． 分析 (1)用待定系數(shù)法求 a， b， c的值． (2)用分類討論法求直線 CD 的解析式． (3)根據(jù)軸對稱解決最短路徑問題 . 解： (1)根據(jù)題意，得 c=3，所以 3 0,25 5 3 0,abab? ? ??? ? ? ??解得3,518.5ab? ????? ???? 所以拋物線的解析式為 y＝ 35x2－ 185x＋ 3． (2)依題意可知， OA的三等分點(diǎn)分別為 (0， 1)， (0， 2)， 設(shè)直線 CD的解析式為 y＝ kx＋ b， 當(dāng)點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (0， 1)時，直線 CD 的解析式為 y＝－ 15x＋ 1， 當(dāng)點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (0， 2)時，直線 CD 的解析式為 y＝－ 25x＋ 2． (3)由題意可知 M 30,2??????，如甲 26－ 91 所示， 點(diǎn) M關(guān)于 x軸的對稱點(diǎn)為 M′ 30,2???????， 點(diǎn) A關(guān)于拋物線對稱軸 x＝ 3的對稱點(diǎn)為 A′ (6， 3)， 連接 A′ M′，根據(jù)軸對稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知， A′ M′的長就是點(diǎn) P運(yùn)動的最短總路徑的長． 用心 愛心 專心 7 所以 A′ M′與 x軸的交點(diǎn)為所求的 E點(diǎn)，與直線 x＝ 3的交點(diǎn)為所求的 F點(diǎn)． 可求得直 線 A′ M，的解析式為 y＝ 34x－ 32． 所以 E 點(diǎn)坐標(biāo)為 (2， 0)， F點(diǎn)坐標(biāo)為 33,4??????， 由勾股定理可求出 A′ M′＝ 152． 所以點(diǎn) P運(yùn)動的最短總路徑 (ME＋ EF＋ FA)的長為 152． 【解題策略】 (2)中點(diǎn) D的位置不確定，需要分類討論，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想． (3)中的關(guān)鍵是利用軸對稱性找到 E， F兩點(diǎn)的位置，從而求出其坐標(biāo)，進(jìn)而解決問題． 專題 9 方程思想 【專題解讀】 求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù) y＝ 0或 x＝ 0，通過解方程解決交點(diǎn)的坐標(biāo)問題．求拋物線與 x軸的交點(diǎn)個數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程根的情況． 例 15 拋物線 y＝ x2－ 2x＋ 1 與 x軸交點(diǎn)的個數(shù)是 ( ) A． 0個 B． 1個 C． 2個 D． 3個 分析 可設(shè) x2－ 2x＋ 1＝ 0，Δ＝ (－ 2)2－ 4179。 1179。 1＝ 0，可得拋物線 y＝ x2－ 2x＋ 1與 x軸只有一個交點(diǎn)．故選B． 【解題策略】 拋物線 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)與 x軸交點(diǎn)的個數(shù)可由一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ o(a≠ 0)的根的個數(shù)來確定． 專題 10 建模思想 【專題解讀】 根據(jù)實(shí) 際問題中的數(shù)量關(guān)系建立二次函數(shù)關(guān)系式，再用二次函教的性質(zhì)來解決實(shí)際問題． 例 16 某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價為 40元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于 55元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若以每箱 50 元的價格銷售，平均每天銷售 90箱，價格每提高 1元，平均每天少銷售 3 箱． (1)求平均每天的銷售量 y(箱 )與銷售價 x(元／箱 )之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤 W(元 )與銷售價 x(元／箱 )之間的函數(shù)關(guān)系式； (3)當(dāng)每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤 ?最大利潤是多少 ? 分析 (1)原來每箱售價 50 元，價格每提高 1 元，平均每天少銷售 3 箱，若提高 (x－ 50)元，則平均每天少銷售 3(x－ 50)箱，所以提價后每天銷售 [90－ 3(x－ 50)]箱，即 y＝ 90－ 3(x－ 50).(2)每天的銷售利潤可用 (x－40)[90－ 3(x－ 50)]來表示． (3)建立 W 和 x 之間的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值求利潤的最值． 解： (1)y＝ 90－ 3(x－ 50)，即 y＝－ 3x＋ 240． (2)W＝ (x－ 40)(－ 3x＋ 240)＝－ 3x2＋ 360x－ 9600， (3)∵ a＝－ 3＜ 0，∴當(dāng) x＝2ba?＝ 60時， W有最大值， 又∵當(dāng) x＜ 60 時， y隨 x的增大而增大， ∴當(dāng) x＝ 55時， W 取得最大值為 1125元， 即每箱蘋果的銷售價為 55元時，可獲得 1125元的最大利潤． 【解題策略】 求實(shí)際問題的最值時，可通過建立二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的最值來求解． 例 17 某公司經(jīng)銷某品牌運(yùn)動鞋，年銷售量為 10萬雙，每雙鞋按 250元銷售，可獲利 25％，設(shè) 每雙鞋的成本價為 a元． (1)試求 a的值； (2)為了擴(kuò)大銷售量，公司決定拿出一定量的資金做廣告，根據(jù)市場調(diào)查，若每用心 愛心 專心 8 年投入廣告費(fèi)為 x(萬元 )，則產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的 y 倍，且 y 與 x 之間的關(guān)系如圖 26— 92 所示，可近似看作是拋物線的一部分． ①根據(jù)圖象提供的信息，求 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式； ②求年利潤 S(萬元 )與廣告費(fèi) x(萬元 )之間的函數(shù)關(guān)系式，并計算廣告費(fèi) x(萬元 )在什么范圍內(nèi)時，公司獲得的年利潤 S(萬元 )隨廣告費(fèi)的增多而增多． (注：年利潤 S＝年銷售總額－成本費(fèi)－廣告費(fèi) ) 解： (1)由題意得 a(1＋ 25％ )＝ 250，解得 a＝ 200(元 )． (2)①依題意可設(shè) y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y＝ ax2＋ bx＋ 1， 則 4 2 1 ,16 4 1 ,abab? ? ??? ? ? ??，解得 ,ab???? ?? ∴ y＝－ ＋ ＋ 1． ② S＝ (－ ＋ ＋ 1)179。 10179。 250－ 10179。 200－ x, 即 S＝－ 25x2＋ 499x＋ 500， 整理得 S=－ 25(x－ )2＋ ． ∴當(dāng) 0≤ x≤ 9． 98時，公司獲得的年利潤隨廣告費(fèi)的增多而增多． 例 18 某賓館有客房 100 間供游客居住，當(dāng)每間客房的定價為每天 180 元時，客房會全部住滿．當(dāng)每間客房每天的定價每增加 10元時，就會有 5間客房空閑． (注：賓館客房是以整間出租的 ) (1)若某天每間客房的定價增加了 20元，則這天賓館客房收入是 元； (2)設(shè)某天每間客房的定價增加了 x元，這天賓館客房收入 y元，則 y與 x的函數(shù)關(guān)系式是 ； (3)在 (2)中，如果某 天賓館客房收入 y＝ 17600元，試求這天每間客房的價格是多少元． 分析 本題是用二次函數(shù)解決有關(guān)利潤最大的問題，由淺入深地設(shè)置了三個問題． 解： (1)18000 (2)y= 12?x2＋ 10x＋ 18000 (3)當(dāng) y＝ 17600時， － 12x2＋ 10x＋ 400=0， 即 x2－ 20x－ 800＝ 0． 解得 x＝－ 20(舍去 )或 x＝ 40． 180＋ 40＝ 220， 所以這天每間客房的價格是 220元． 例 19 （ 09178。泰安）如圖 26－ 93(1)所示，△ OAB 是邊長為 2 的等邊三角形，過點(diǎn) A 的直線 y＝ 33?x＋ m與 x 軸交于點(diǎn) E． (1)求點(diǎn) E的坐標(biāo)； (2)求過 A， O， E三點(diǎn)的拋物線的解析式． 解： (1)如圖 26－ 93(2)所示，過 A作 AF⊥ x軸于 F， 用心 愛心 專心 9 則 OF=OAcos 60176。 =1， AF=OFtan 60176。 = 3 ， ∴點(diǎn) A(1， 3 )． 代入直線解析式，得 33?179。 1＋ m＝ 3 ，∴ m＝ 433， ∴ y= 33?x＋ 433. 當(dāng) y=0時， 33?x＋ 433=0， 解得 x＝ 4，∴點(diǎn) E(4， 0)． (2)設(shè)過 A， O， E三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y＝ ax2＋ bx＋ c， ∵拋物線過原點(diǎn)，∴ c＝ 0， ∴ 3,16 4 0,abab? ???? ????解得3,343.3ab? ?????? ??? ∴拋物線的解析式為 y＝ 33?x2＋ 433x. 例 20 如圖 26－ 94所示，在平面直角坐標(biāo)系中， OB⊥ OA，且 OB＝ 2OA，點(diǎn) A的坐標(biāo)是 (－ 1， 2)． (1)求點(diǎn)