【文章內(nèi)容簡介】 年輕人說，只怪我們上山的時(shí)候走得太慢了，每小時(shí)只走 3 千米 ． 在平地的時(shí)候走得多快？他的同伴回答，在平路上每小時(shí)走 4 千米 ． 年輕人說，能趕得上回去吃夜飯嗎？同伴說，這要看我們了，我們 3 點(diǎn)鐘出來， 8 點(diǎn)鐘該我們回到旅館的時(shí)候了 ． 今天可真走了不少路 ． 年輕人說，到底走了多少路呢？同伴不耐煩地說，你自己去想吧， 題目就是這樣，似乎條件不充分，你能解開這個(gè) “結(jié) ”嗎？ 解 設(shè)旅行者 一共走過的路程為 x 千米，上坡（或下坡）走過的路程為 y 千米 ． 整個(gè)行程分為四段：走平路、上坡、下坡、再走平路 ． a 7a 6 a 5a 4a 3a 2a 1開始走平路所花的時(shí)間是 124xy? 小時(shí)，上坡所花的時(shí)間是 3y 小時(shí)，下坡所花的時(shí)間是 6y 小時(shí)，再走平路所花的時(shí)間是 124xy? 小時(shí) ． 依題意可得方程： 112254 3 6 4x y x yyy??? ? ? ?， 原方程化簡得 1 54x? ， 20x? ， 故他們一共走了 20 千米 ． 練一練 1． 已知 2 3 56x y z? ? ? ， 6 91 4y z x? ? ? ，則 x ， y ， z 的平均數(shù)是 _______________． 2． A 、 B 兩校男生、女生人數(shù)的比分別為 8:7 ， 30:31 ，兩校合并后男生、女生人數(shù)的比是 27:26 ． 若用一位整數(shù)的比近似表示合并前 A 、 B 兩校的人數(shù)的比，則這個(gè)近似比是 _________． 3． 甲、乙兩車從 A 向 B 行駛，甲比乙晚出發(fā) 6 小時(shí)，開始時(shí)甲、乙的速度比是 4:3 ． 甲出發(fā) 6 小時(shí)后，速度提高 1倍，甲、乙 兩車同時(shí)到達(dá) B ． 則甲從 A 到 B 共走了 _________小時(shí) ． 4． 某服裝廠生產(chǎn)某種定型冬裝， 9 月份銷售每件冬裝的利潤是出廠價(jià)的 25% （ 每件冬裝的利潤 ? 出廠價(jià) ? 成本）， 10月份將每件冬裝的出廠價(jià)調(diào)低 10%（每件冬裝的成本不變），銷售件數(shù)比 9 月份增加 80% ，那么該廠 10月份銷售這種冬裝的利潤總額比 9 月份的利潤總額增長 （ ） ． A． 2% B． 8% C． % D． 62% 5． 甲、乙、丙、丁四人，每三個(gè)人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為 29 ， 23 ， 21 和 17，則這四人中最大年齡與最小年齡的差是 （ ） ． A． 28 B． 27 C． 19 D． 18 6． 一輛汽車從 A 地勻速駛往 B 地，如果汽車行駛的速度增加 %a ，則所用的時(shí)間減少 6% ，則 a 、 b 的關(guān)系是 （ ） ． A． 1001%ab a? ? B． 1001%b a? ? C． 1ab a? ? D． 100100ab a? ? 7． 如圖 33? 數(shù)表各行、各列及兩條對角線之和彼此相等，設(shè)為 S ． 求證： （ 1） 3Se? ； （ 2） ? ?24a c g i b d f h e? ? ? ? ? ? ? ?． 8． 在一次數(shù)學(xué)競賽中，組委會決定用 NS 公司贊助的款購買一批獎品 ． 若以 1臺 NS 計(jì)算器和 3 本《數(shù)學(xué)競賽講座》書為一份獎品，則可買 100份獎品；若以 1臺 NS 計(jì)算器和 5 本《數(shù)學(xué)競賽講座》書為一份獎品，則可買 80 份獎品 ． 問這筆錢全部用來購買計(jì)算器或《數(shù)學(xué)競賽講座》書，可各買多少？ 9． 甲、乙二人分別從 A 、 B 兩地出發(fā)，相向而行 ． 若同時(shí)出發(fā)，經(jīng) 24 分鐘相遇；若乙比甲提前 10分鐘出發(fā)，甲出發(fā) 20 分鐘與乙相遇，求甲從 A 地到 B 地、乙從 B 地到 A 地各需多少分鐘？ 10． 在車站開始檢票時(shí)，有 ? ?0aa? 名旅客在候車室排隊(duì)等候檢票進(jìn)站，檢票開始后，仍有旅客繼續(xù)前來排隊(duì)等候檢票進(jìn)站，設(shè)旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的，若開放一個(gè)檢票口，則需 30 分鐘才可將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢；若開放兩個(gè)檢票口，則只需 10分鐘便可將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢；現(xiàn)在要求在 6 分鐘內(nèi)將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢，以使后來到站的旅客能隨到隨檢，問需 要同時(shí)開放幾個(gè) 檢票口？ 微探究 借助圖形思考 ihg fedcba數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)與形，以及數(shù)和形的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，這是數(shù)學(xué)研究的永恒主題 ． 當(dāng)代美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說： “如果一個(gè)特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思維就整體地把握了問題，并能創(chuàng)造性地思考問題 ． ” 現(xiàn)階段借助圖形思考主要體現(xiàn)為：通過構(gòu)造圖形或拼圖解與數(shù)量關(guān)系相關(guān)聯(lián)的問題 ． 例 1 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 六個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，當(dāng)比賽到某一天時(shí)，統(tǒng)計(jì)出 A 、 B 、 C 、D 、 E 五隊(duì)已分別比賽了 5 、 4 、 3 、 2 、 1場球，則還沒有與 B 隊(duì)比賽的球隊(duì)是 ___________． 試一試 用算術(shù)或代數(shù)方法解，易陷入困境，用 6 個(gè)點(diǎn)表示 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 這 6 個(gè)足球隊(duì)，若兩隊(duì)已經(jīng)賽過一場，就在相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)間連一條線，這樣用圖來輔助解題，形象而直觀 ． 例 2 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù) ． 比如：他們研究過圖 ① 中的 1， 3 ， 6 ， 10， … ，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，故將其稱為三角形數(shù)，類似地，稱圖 ② 中的 1， 4 ， 9 ， 16， … ，這樣的數(shù)為正方形數(shù)，下列數(shù)中，既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)的是 （ ） ． A． 289 B． 1024 C． 1225 D． 1378 試一試 分析三角形數(shù)、正方形數(shù)的特征，并用 n 的代數(shù)式表示 ． 例 3 有足夠 長 的長方形和正方形卡片，如下圖： （ 1）如果選取的 1號、 2 號、 3 號卡片分別為 1張、 2 張、 3 張，可拼成一個(gè)長方形（不重疊無縫隙），請畫出這個(gè)長方形的草圖，并運(yùn)用拼圖前后面積之間的關(guān)系說明這個(gè)長方形的代數(shù)意義 ． 這個(gè)長方形的代數(shù)意義是 ________________________________________________________ （ 2）小明想用類似方法解釋多項(xiàng)式乘法 ? ?? ? 2223 32 7a a ba bb a b ? ? ??? ，那么需要用 2 號卡片 ______張， 3 號卡片 ___________張 ． 試一試 為避免拼圖的盲目性，從整式的乘法入手 ． 眼見亦可為虛 例 4 一只小漁船在海上遇到了臺風(fēng)，觸到礁石上，船身撞出了一個(gè)窟窿 ． 如果不把它堵上，漁船就有沉沒的危險(xiǎn) ． 船中只有一塊邊長是 8cm 的正方形木板，但是和船的窟窿相比，木板的面積少 21cm ． 怎么辦好呢？ 正在焦急當(dāng)中，有一個(gè)船員用鋸把這塊正方形的木板裁開（如下圖），然后用膠 粘接拼成了長方形木板 ． 圖 ①10631圖 ②169411aa2bb 3ba333221 從圖中的計(jì)算可知：原來的正方形木板的面積是 264cm ，可是改成長方形以后木板的面積卻變成 265cm了 ，正好多出 21cm ． 船員趕緊把它堵在窟窿上，避免了漁船的沉沒 ． 可是大家都感到驚奇的是，這 21cm是從哪里多出來的呢，你能告訴他們嗎？ 試一試 略 橫看成嶺側(cè)成峰 例 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 1 242 2 2a b a ba b a b a b a