【文章內容簡介】 故選： D． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、正方形的性質、矩形的判定與性質、等腰直角三角形的性質；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵． 11．（ 2022?日照）如圖， P 為平行四邊形 ABCD 邊 AD 上一點， E、 F 分別是 PB、 PC（靠近點 P）的三等分點， △ PEF、 △ PDC、 △ PAB 的面積分別為 S S S3，若 AD=2， AB=2 ，∠ A=60176。，則 S1+S2+S3 的 值為（ ） A． B． C． D． 4 【分析】 先作輔助線 DH⊥ AB 于點 D，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可以求得 DH 的長度，從而可以求得平行四邊形的面積，然后根據(jù)三角形的相似可以求得 S1+S2+S3 的值． 【解答】 解：作 DH⊥ AB 于點 H，如右圖所示， ∵ AD=2， AB=2 ， ∠ A=60176。， ∴ DH=AD?sin60176。=2 = ， ∴ S?ABCD=AB?DH=2 =6， ∴ S2+S3=S△ PBC=3， 又 ∵ E、 F 分別是 PB、 PC（ 靠近點 P） 的三等分點 ， ∴ ， ∴ S△ PEF= 3= ， 即 S1= ， ∴ S1+S2+S3= +3= ， 故選 A． 【點評】 本題考查相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，畫出合適的輔助線，利用數(shù)形結合的思想解答問題． 12．（ 2022?江西）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均相等．網格中三個多邊形（分別標記為 ①， ②， ③）的頂點均在格點上．被一個多邊形覆蓋的網格線中，豎直部分線段長度之和記為 m，水平部分線段長度之和記為 n，則這三個多邊形中滿足 m=n 的是（ ） A．只有 ② B．只有 ③ C． ②③ D． ①②③ 【分析】 利用相似三角形的判定和性質分別求出各多邊形豎直部分線段長度之和與水平部分線段長度之和，再比較即可． 【解答】 解：假設每個小正方形的邊長為 1， ①： m=1+2+1=4， n=2+4=6， 則 m≠ n； ②在 △ ACN 中， BM∥ CN， ∴ = ， ∴ BM= ， 在 △ AGF 中， DM∥ NE∥ FG， ∴ = ， = ， 得 DM= ， NE= ， ∴ m=2+ =， n= +1+ + =， ∴ m=n； ③由 ②得： BE= ， CF= ， ∴ m=2+2+ +1+ =6， n=4+2=6， ∴ m=n， 則這三個多邊形中 滿足 m=n 的是 ②和 ③； 故選 C． 【點評】 本題考查了相似多邊形的判定和性質，對于有中點的三角形可以利用三角形中位線定理得出；本題線段比較多要依次相加，做到不重不漏． 二．填空題 13．（ 2022?寧德）如圖，已知 △ ADE∽△ ABC，若 ∠ ADE=37176。，則 ∠ B= 37 176。． 【分析】 根據(jù)相似三角形的對應角相等，可得答案． 【解答】 解：由 △ ADE∽△ ABC，若 ∠ ADE=37176。，得 ∠ B=∠ ADE=37176。， 故答案為： 37． 【點評】 本題考查了相似三角形的性質，熟記相似三角形的性質是解題關鍵． 14．（ 2022?梅州）如圖，在平行四邊形 ABCD 中，點 E 是邊 AD 的中點， EC 交對角線 BD于點 F，若 S△ DEC=3，則 S△ BCF= 4 ． 【分析】 根據(jù)平行四邊形的性質得到 AD∥ BC 和 △ DEF∽△ BCF，由已知條件求出 △ DEF的面積，根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方得到答案． 【解答】 解： ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AD∥ BC， AD=BC， ∴△ DEF∽△ BCF， ∴ ， =（ ） 2， ∵ E 是邊 AD 的中點， ∴ DE= AD= BC， ∴ = ， ∴△ DEF 的面積 = S△ DEC=1， ∴ = ， ∴ S△ BCF=4； 故答案為： 4． 【點評】 本題考查的是平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質；掌握三角形相似的判定定理和性質定理是解題的關鍵，注意：相似三角形的面積比是相似比的平方． 15．（ 2022?遵義）如圖， AC⊥ BC， AC=BC， D 是 BC 上一點，連接 AD，與 ∠ ACB 的平分線交于點 E，連接 BE．若 S△ ACE= ， S△ BDE= ，則 AC= 2 ． 【分析】 設 BC=4x，根據(jù)面積公式計算，得出 BC=4BD，過 E 作 AC， BC 的垂線，垂足分別為 F， G；證明 CFEG 為正方形，然后在直角三角形 ACD 中，利用三角形相似，求出正方形的邊長（用 x 表示），再利用已知的面積建立等式，解出 x，最后求出 AC=BC=4x 即可． 【解答】 解：過 E 作 AC， BC 的垂線，垂足分別為 F， G， 設 BC=4x，則 AC=4x， ∵ CE 是 ∠ ACB 的平分線， EF⊥ AC， EG⊥ BC， ∴ EF=EG，又 S△ ACE= ， S△ BDE= ， ∴ BD= AC=x， ∴ CD=3x， ∵ 四邊形 EFCG 是正方形， ∴ EF=FC， ∵ EF∥ CD， ∴ = ，即 = ， 解得， EF= x， 則 4x x= ， 解得， x= ， 則 AC=4x=2， 故答案為 ： 2． 【點評】 本題考查的是相似三角形的性質、角平分線的性質，掌握相似三角形的對應邊的比相等、角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵． 16．（ 2022?山西）如圖，已知點 C 為線段 AB 的中點， CD⊥ AB 且 CD=AB=4，連接 AD，BE⊥ AB， AE 是 ∠ DAB 的平分線，與 DC 相交于點 F， EH⊥ DC 于點 G，交 AD 于點 H，則 HG 的長為 3﹣ ． 【分析】 根據(jù) AB=CD= C 為線段 AB 的中點可得 BC=AC= AD=2 ，再根據(jù) EH⊥ DC、CD⊥ AB、 BE⊥ AB 得 EH∥ AC、四邊形 BCGH 為 矩形， BC=GE=2，繼而由 AE 是 ∠ DAB的平分線可得 ∠ DAE=∠ HEA 即 HA=HE，設 GH=x 得 HA=2+x，由 △ DHG∽△ DAC 得= ，列式即可求得 x． 【解答】 解： ∵ AB=CD=4， C 為線段 AB 的中點， ∴ BC=AC=2， ∴ AD=2 ， ∵ EH⊥ DC， CD⊥ AB， BE⊥ AB， ∴ EH∥ AC，四邊形 BCGH 為矩形， ∴∠ HEA=∠ EAB， BC=GE=2， 又 ∵ AE 是 ∠ DAB 的平分線， ∴∠ EAB=∠ DAE， ∴∠ DAE=∠ HEA， ∴ HA=HE， 設 GH=x， 則 HA=HE=HG+GE=2+x， ∵ EH∥ AC， ∴△ DHG∽△ DAC， ∴ = ，即 = ， 解得： x=3﹣ ， 即 HG=3﹣ ， 故答案為： 3﹣ ． 【點評】 本題主要考查勾股定理、平行線的性質和判定、等腰三角形的判定與性質、矩形的判定與性質及相似三角形的判定與性質等知識點，根據(jù)相似三角形的性質得出對應邊成比例且表示出各邊長度是關鍵． 17．（ 2022?舟山）如圖，已知 △ ABC 和 △ DEC 的面積相等，點 E 在 BC 邊上， DE∥ AB 交AC 于點 F， AB=12， EF=9，則 DF 的長是 7 ． 【分析】 根據(jù)題意，易得 △ CDF 與四邊形 AFEB 的面積 相等，再根據(jù)相似三角形的相似比求得它們的面積關系比，從而求 DF 的長． 【解答】 解： ∵△ ABC 與 △ DEC 的面積相等， ∴△ CDF 與四邊形 AFEB 的面積相等， ∵ AB∥ DE， ∴△ CEF∽△ CBA， ∵ EF=9， AB=12， ∴ EF： AB=9： 12=3： 4， ∴△ CEF 和 △ CBA 的面積比 =9： 16， 設 △ CEF 的面積為 9k，則四邊形 AFEB 的面積 =7k， ∵△ CDF 與四邊形 AFEB 的面積相等， ∴ S△ CDF=7k， ∵△ CDF 與 △ CEF 是同高不同底的三角形， ∴ 面積比等于底之比， ∴ DF： EF=7k： 9k， ∴ DF=7． 故答案為： 7． 【點評】 此題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是會用割補法計算面積． 18．（ 2022?樂山）如圖，在 △ ABC 中， D、 E 分別是邊 AB、 AC 上的點，且 DE∥ BC，若△ ADE 與 △ ABC 的周長之比為 2： 3， AD=4，則 DB= 2 ． 【分析】 由 DE∥ BC，易證 △ ADE∽△ ABC，由相似三角形的性質即可求出 AB 的長，進而可求出 DB 的長． 【解答】 解： ∵ DE∥ BC， ∴△ ADE∽△ ABC， ∵△ ADE 與 △ ABC 的周長之比為 2： 3， ∴ AD： AB=2： 3， ∵ AD=4， ∴ AB=6， ∴ DB=AB﹣ AD=2， 故答案為： 2． 【點評】 此題主要考查的是相似三角形的性質：相似三角形的一切對應線段（包括對應邊、對應中線、對應高、對應角平分線等）的比等于相似比，面積比等于相似比的平方． 19．（ 2022?黃岡）如圖，已知 △ ABC、 △ DCE、 △ FEG、 △ HGI 是 4 個全等的等腰三角形，底邊 BC、 CE、 EG、 GI 在同一直線上，且 AB=2， BC=1，連接 AI，交 FG 于點 Q，則 QI= ． 【分析】 由題意得出 BC=1， BI=4，則 = ，再由 ∠ ABI=∠ ABC，得 △ ABI∽△ CBA，根據(jù) 相似三角形的性質得 = ，求出 AI，根據(jù)全等三角形性質得到 ∠ ACB=∠ FGE，于是得到 AC∥ FG，得到比例式 = = ，即可得到結果． 【解答】 解： ∵△ ABC、 △ DCE、 △ FEG 是三個全等的等腰三角形， ∴ HI=AB=2， GI=BC=1， BI=4BC=4， ∴ = = ， = ， ∴ = ， ∵∠ ABI=∠ ABC， ∴△ ABI∽△ CBA； ∴ = ， ∵ AB=AC， ∴ AI=BI=4； ∵∠ ACB=∠ FGE， ∴ AC∥ FG， ∴ = = ， ∴ QI= AI= ． 故答案為： ． 【點評】 本題主要考查了平行 線分線段定理，以及三角形相似的判定，正確理解 AB∥ CD∥ EF， AC∥ DE∥ FG 是解題的關鍵． 20．（ 2022?安順）如圖，矩形 EFGH 內接于 △ ABC，且邊 FG 落在 BC 上，若 AD⊥ BC，BC=3， AD=2， EF= EH，那么 EH 的長為 ． 【分析】 設 EH=3x，表示出 EF，由 AD﹣ EF 表示出三角形 AEH 的邊 EH 上的高，根據(jù)三角形 AEH 與三角形 ABC 相似，利用相似三角形對應邊上的高之比等于相似比求出 x 的值，即為 EH 的長． 【解答】 解：如圖所示： ∵ 四邊形 EFGH 是矩形， ∴ EH∥ BC， ∴△ AEH∽△ ABC， ∵ A