考研數(shù)學(二)真題分析詳解(編輯修改稿)
2025-02-05 19:43 本頁面
【文章內容簡介】 = .6213lim 220 axaxx ????? 4s i n1l i m)(l i m)00( 200 xxaxxexff axxx???????? ?? = .422 2l i m41l i m4 20220 ?????????? ?? axaxaex axxe axxaxx 令 )00()00( ??? ff ，有 426 2 ??? aa ，得 1??a 或 2??a . 當 a=1 時， )0(6)(lim0 fxfx ???，即 f(x)在 x=0 處連續(xù) . 當 a=2 時， )0(12)(lim0 fxfx ???，因而 x=0 是 f(x)的可去間斷點 . 四 、（本題滿分 9 分） 設函數(shù) y=y(x)由參數(shù)方程 )1(,21 ln2112?????????? ? tduueytxt u 所確定，求 .922 ?xdxyd 【 分析 】 本題為參數(shù)方程求二階導數(shù)，按參數(shù)方程求導的公式進行計算即可 . 注意當x=9 時，可相應地確定參數(shù) t 的取值 . 【 詳解 】由 tetttedtdy t ln21 22ln21 ln21 ????? ? ， tdtdx 4? ， 得 ,)ln21(24ln212tettetdtdxdtdydxdy????? 所以 dtdxdxdydtddx yd 1)(22 ? =ttte 412)ln21( 12 2 ??? ?? = .)ln21(4 22 tt e?? 當 x=9 時，由 221 tx ?? 及 t1 得 t=2, 故 走進四聯(lián) 馬 到成功 Tel: 01062215711 62216649 62772674 .)2ln21(16)ln21(4 2222922?????? ?? ett edx yd tx 五 、（本題滿分 9 分） 計算不定積分 .)1( 232arctan dxxxe x?? 【 分析 】 被積函數(shù)含有根號 21 x? ，典型地應作代換： x=tant, 或被積函數(shù)含有反三角函數(shù) arctanx，同樣可考慮作變換： arctanx=t，即 x=tant. 【 詳解 】 設 tx tan? ，則 dxxxe x? ? 232arctan)1( = tdttte t 2232 se c)ta n1( ta n? ? = .sintdtet? 又 tdetdte tt c oss in ?? ?? = )c osc os( tdtete tt ??? = tdtetete ttt s ins inc os ???? ， 故 .)c os(s i n21s i n Cttet dte tt ???? 因此 dxxxe x?? 232arctan)1(= Cxxxe x ???? )1 11(21 22a r c t a n = .12 )1( 2arc tan Cxexx ??? 六 、（本題滿分 12 分） 設函數(shù) y=y(x)在 ),( ???? 內具有二階導數(shù)，且 )(,0 yxxy ??? 是 y=y(x)的反函數(shù) . (1) 試將 x=x(y)所滿足的微分方程 0))(s in( 322 ???dydxxydy xd變換為 y=y(x)滿足的微分方程； (2) 求變換后的微分方程滿足初始條件 23)0(,0)0( ??? yy 的解 . 【 分析 】 將dydx轉化為 dxdy 比較簡單，dydx=ydxdy ??11 ，關鍵是應注意： 走進四聯(lián) 馬 到成功 Tel: 01062215711 62216649 62772674 )(22 dydxdyddyxd ? = dydxydxd ??)1( =32 )(1 yyyy y ???????? ???. 然后再代入原方程化簡 即可 . 【 詳解 】 (1) 由反函數(shù)的求導公式知 ydydx ??1，于是有 )(22 dydxdyddyxd ? = dydxydxd ??)1( = 32 )(1 yyyy y ???????? ??? . 代入原微分方程得 .sin xyy ???? ( * ) (2) 方程 ( * )所對應的齊次方程 0???? yy 的通解為 .21 xx eCeCY ??? 設方程 ( * )的特解為 xBxAy sinco s* ?? ， 代入方程 ( * )，求得 21,0 ??? BA ，故 xy sin21* ?? ，從而 xyy sin???? 的通解是 .s i n2121* xeCeCyYy xx ????? ? 由 23)0(,0)0( ??? yy ，得 1,1 21 ??? CC . 故所求初值問題的解為 .s i n21 xeey xx ??? ? 七 、（本題滿分 12 分） 討論曲線 kxy ?? ln4 與 xxy 4ln4 ?? 的交點個數(shù) . 【 分析 】 問題等價于討論方程 04ln4ln 4 ???? kxxx 有幾個不同的實根 . 本題相當于一函數(shù)作圖題，通過單調性、極值的討論即可確定實根的個數(shù)（與 x 軸交點的個數(shù)） . 【 詳解 】 設 ?)(x? kxxx ??? 4ln4ln 4 ， y 則有 .)1(l n4)( 3 x xxx ????? 4k 不難看出， x=1 是 )(x? 的駐點 . O 1 x 走進四聯(lián) 馬 到成功 Tel: 01062215711 62216649 62772674 當 10 ??x 時， 0)( ?? x? ，即 )(x? 單調減少；當 x1 時， 0)( ?? x? ，即 )(x? 單調增加，故 k??4)1(? 為函數(shù) )(x? 的最小值 . 當 k4，即 4k0 時， 0)( ?x? 無實根，即兩條曲線無交點； 當 k=4，即 4k=0 時， 0)( ?x
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