【文章內(nèi)容簡介】 人年齡差為 （ 61－ 4） 247。3 ＝ 19（歲） 甲今年的歲數(shù)為 △ ＝ 61－ 19＝ 42（歲） 乙今年的歲數(shù)為 □＝ 42－ 19＝ 23（歲） 答：甲今年的歲數(shù)是 42 歲，乙今年的歲數(shù)是 23 歲。 11 行船問題 【含義】 行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解 答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是098a5f2c70be23952ffc047dd5fb8fa2 第 8 頁 共 20 頁 [小學(xué)數(shù)學(xué)競賽分類 題典 ] 主編：孫鴻斌，錄入排版：牛全中 船速與水速之差。 【數(shù)量關(guān)系】 （順?biāo)俣龋嫠俣龋?247。2 ＝船速 （順?biāo)俣龋嫠俣龋?247。2 ＝水速 順?biāo)伲酱?2 －逆水速＝逆水速＋水速 2 逆水速＝船速 2 －順?biāo)伲巾標(biāo)伲?2 【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 例 1 一只船順?biāo)?320 千米需用 8 小時，水流速度為每小時 15 千米，這只船逆水行這段路程需用幾小 時？ 解 由條件知，順?biāo)伲酱伲伲?320247。8，而水速為每小時 15 千米，所以，船速為每小時 320247。8－ 15＝ 25（千米） 船的逆水速為 25－ 15＝ 10（千米） 船逆水行這段路程的時間為 320247。10＝ 32（小時） 答：這只船逆水行這段路程需用 32 小時。 例 2 甲船逆水行 360 千米需 18 小時，返回原地需 10 小時；乙船逆水行同樣一段距離需 15 小時，返回原地需多少時間？ 解由題意得 甲船速＋水速＝ 360247。10＝ 36 甲船速－水速＝ 360247。18＝ 20 可見 （ 36－ 20）相當(dāng) 于水速的 2 倍， 所以， 水速為每小時（ 36－ 20） 247。2 ＝ 8（千米） 又因為， 乙船速－水速＝ 360247。15， 所以， 乙船速為 360247。15＋ 8＝ 32（千米） 乙船順?biāo)贋? 32＋ 8＝ 40（千米） 所以， 乙船順?biāo)叫?360 千米需要 360247。40＝ 9（小時） 答：乙船返回原地需要 9 小時。 例 3 一架飛機(jī)飛行在兩個城市之間，飛機(jī)的速度是每小時 576 千米，風(fēng)速為每小時 24 千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行 3 小時到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時？ 解 這道題可以按照流水問題來解答。 （ 1）兩城相距多少千米？ （ 576－ 24） 3 ＝ 1656（千米） （ 2）順風(fēng)飛回需要多少小時？ 1656247。（ 576＋ 24）＝ （小時） 列成綜合算式［（ 576－ 24） 3 ］ 247。（ 576＋ 24）＝ （小時） 答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要 小時。 12 列車問題 【含義】 這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。 【數(shù)量關(guān)系】 火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長） 247。車速 火車追及： 追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離） 247。（甲車速－乙車速） 火車相遇： 相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離） 247。（甲車速＋乙 車速） 【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 例 1 一座大橋長 2400 米，一列火車以每分鐘 900 米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要 3 分鐘。這列火車長多少米？ 解 火車 3 分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。 （ 1）火車 3 分鐘行多少米？ 9003＝ 2700（米） （ 2）這列火車長多少米？ 2700－ 2400＝ 300（米） 列成綜合算式 9003－ 2400＝ 300（米） 答：這列火車長 300 米。 例 2 一列長 200 米的火車以每秒 8 米的速 度通過一座大橋，用了 2 分 5 秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？ 解 火車過橋所用的時間是 2 分 5 秒＝ 125 秒，所走的路程是（ 8125）米，這段路程就是（ 200 米＋橋長），所以，橋長為 8125－ 200＝ 800（米） 答：大橋的長度是 800 米。 例 3 一列長 225 米的慢車以每秒 17 米的速度行駛，一列長 140 米的快車以每秒 22 米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？ 解 從追上到追過，快車比慢車要多行（ 225＋ 140）米，而快車比慢車每秒多行（ 22－ 17）米，因此，所求的時間為 （ 225＋ 140） 247。（ 22－ 17）＝ 73（秒） 答：需要 73 秒。 例 4 一列長 150 米的列車以每秒 22 米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3 米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？ 解 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。 098a5f2c70be23952ffc047dd5fb8fa2 第 9 頁 共 20 頁 [小學(xué)數(shù)學(xué)競賽分類 題典 ] 主編：孫鴻斌，錄入排版：牛全中 150247。（ 22＋ 3）＝ 6（秒） 答：火車從工人身旁駛過需要 6 秒鐘。 例 5 一列火車穿越一條長 2022 米的隧道用了 88 秒，以同樣的速度通過一條長 1250 米的大橋用了 58 秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？ 解 車速和車長都沒有變，但通過隧道和 大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長?？芍疖囋冢?88－ 58）秒的時間內(nèi)行駛了（ 2022－ 1250）米的路程，因此，火車的車速為每秒 （ 2022－ 1250） 247。（ 88－ 58）＝ 25（米） 進(jìn)而可知，車長和橋長的和為（ 2558）米，因此，車長為 2558－ 1250＝ 200（米） 答：這列火車的車速是每秒 25 米，車身長 200 米。 13 時鐘問題 【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為 60 度等。時鐘問題可與追及問題相類比。 【數(shù)量關(guān)系】 分針的 速度是時針的 12 倍，二者的速度差為 11/12。 通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。 【解題思路和方法】 變通為 “追及問題 ”后可以直接利用公式。 例 1 從時針指向 4 點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？ 解 鐘面的一周分為 60 格，分針每分鐘走一格，每小時走 60 格；時針每小時走 5 格，每分鐘走 5/60＝ 1/12 格。每分鐘分針比時針多走（ 1－ 1/12）＝ 11/12格。 4 點整，時針在前，分針在后，兩針相距 20 格。所以 分針追上時針的時間為 20247。（ 1－ 1/12）＝ 2（分鐘） 答：再經(jīng)過 2 分鐘時針正好與分針重合。 例 2 四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？ 解 鐘面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而兩針成直角的時候相差 15 格（包括分針在時針的前或后 15 格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（ 54）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走 （ 54－ 15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（ 54＋ 15）格。再根據(jù) 1 分鐘分針比時針多走（ 1－ 1/12）格就可以求出二針成直角的時間。 （ 54－ 15） 247。（ 1－ 1/12）＝ 5（分鐘） （ 54＋ 15） 247。（ 1－ 1/12）＝ 38（分鐘） 答： 4 點 05 分及 4 點 38 分時兩針成直角。 例 3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？ 解 六點整的時候，分針在時針后（ 56）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。 （ 56） 247。（ 1－ 1/12）＝ 36（分鐘） 答： 6 點 36 分的時候分針與時針重合。 14 盈虧問題 【含義】 根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。 【數(shù)量關(guān)系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧） 247。分配差 如果兩次都盈或都虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈） 247。分配差 參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧） 247。分配差 【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 例 1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分 3 個就余 11 個；若每人分 4 個就少1 個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？ 解 按照 “參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧） 247。分配差 ”的數(shù)量關(guān)系： （ 1）有小朋友多少人？ （ 11＋ 1） 247。（ 4－ 3）＝ 12（人 ） （ 2）有多少個蘋果？ 312＋ 11＝ 47（個） 答：有小朋友 12 人，有 47 個蘋果。 例 2 修一條公路，如果每天修 260 米，修完全長就得延長 8 天；如果每天修300 米，修完全長仍得延長 4 天。這條路全長多少米？ 解 題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于 “參加分配的總?cè)藬?shù) ”，按照 “參加分配的總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧） 247。分配差 ”的數(shù)量關(guān)系，可以得知 098a5f2c70be23952ffc047dd5fb8fa2 第 10 頁 共 20 頁 [小學(xué)數(shù)學(xué)競賽分類 題典 ] 主編：孫鴻斌，錄入排版：牛全中 原定完成任務(wù)的天數(shù)為 （ 2608－ 3004） 247。（ 300－ 260）＝ 22（天） 這條路全長為 300（ 22＋ 4）＝ 7800（米） 答：這條路全長 7800 米。 例 3 學(xué)校組織春游，如果每輛車坐 40 人，就余下 30 人；如果每輛車坐 45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？ 解 本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于 “參加分配的總?cè)藬?shù) ”，于是就有 （ 1）有多少車？ （ 30－ 0） 247。（ 45－ 40）＝ 6（輛） （ 2）有多少人？ 406＋ 30＝ 270（人） 答：有 6 輛車，有 270 人。 15 工程問題 【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出 “一項工程 ”、“一塊 土地 ”、 “一條水渠 ”、 “一件工作 ”等，在解題時，常常用單位 “1”表示工作總量。 【數(shù)量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作 “1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。 工作量＝工作效率 工作時間 工作時間＝工作量 247。工作效率 工作時間＝總工作量 247。（甲工作效率＋乙工作效率） 【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。 例 1 一項工程，甲隊單獨做需要 10 天完成，乙隊單獨做需 要 15 天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？ 解 題中的 “一項工程 ”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位 “1”。由于甲隊獨做需 10 天完成，那么每天完成這項工程的 1/10；乙隊單獨做需 15 天完成，每天完成這項工程的 1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（ 1/10＋ 1/15）。由此可以列出算式： 1247。（ 1/10＋ 1/15）＝ 1247。1/6＝ 6（天） 答：兩隊合做需要 6 天完成。 例 2 一批零件，甲獨做 6 小時完成，乙獨做 8 小時完成。現(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時甲比乙多做 24 個，求這批零件共有多少個？ 解 設(shè)總工作量為 1，則甲每小時完成 1/6，乙每小時完成 1/8，甲比乙每小時多完成（ 1/6－ 1/8），二人合做時每小時完成（ 1/6＋ 1/8）。因為二人合做需要［ 1247。（ 1/6＋ 1/8）］小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做 24 個零件，所以（ 1）每小時甲比乙多做多少零件？ 24247。［ 1247。（ 1/6＋ 1/8）］＝ 7（個） （ 2）這批零件共有多少個？ 7247。（ 1/6－ 1/8）＝ 168（個） 答：這批零件共有 168 個。 解二 上面這道題還可以用另一種方法計算： 兩人合做，完成任務(wù)時甲乙 的工作量之比為 1/6∶ 1/8＝ 4∶ 3 由此可知，甲比乙多完成總工作量的 4－ 3 / 4＋ 3 ＝ 1/7 所以，這批零件共有 24247。1/7＝ 168（個） 例 3 一件工作，甲獨做 12 小時完成，乙獨做 10 小時完成，丙獨做 15 小時完成?，F(xiàn)在甲先做 2 小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？ 解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為 1 和