【文章內容簡介】 被 4 整除 ,不可能。 所以 ,一班共有 28名學生。 5. 兩個自然數的和是 50,它們的最大公約數是 5,則這兩個數的差是 _____。 答案： 40或 20。 解析：兩個自然數的和是 50,最大公約數是 5,這兩個自然數可能是 5 和 45,15 和 35,它們的差分別為 (455=)40,(3515=)20,所以應填 40或 20。 [注 ]這里的關鍵是依最大公約數是 5的條件 ,將 50 分拆為兩數之和 :50=5+45=15+35。 6. 現有梨 36 個 ,桔 108 個 ,分給若干個小朋友 ,要求每 人所得的梨數 ,桔數相等 ,最多可分給 _____個小朋友 ,每個小朋友得梨 _____個 ,桔 _____個。 答案： 36,1,3。 解析：要把梨 36個、桔子 108 個分給若干個小朋友，要求每人所得的梨數、桔子相等，小朋友的人數一定是 36 的約數，又要是 108 的約數，即一定是 36 和 108 的公約數 .因為要求最多可分給多少個小朋友 ,可知小朋友的人數是 36 和 108 的最大公約數。 36 和108 的最大公約數是 36,也就是可分給 36個小朋友。 每個小朋友可分得梨 : 36? 36=1(只 )， 每個小朋友可分得桔子 : 108? 36=3(只 )， 所以 ,最多可分得 36 個小朋友 ,每個小朋友可分得梨 1只 ,桔子 3 只。 7. 一塊長 48 厘米、寬 42厘米的布，不浪費邊角料，能剪出最大的正方形布片 _____塊。 答案： 56。 解析：剪出的正方形布片的邊長能分別整除長方形的長 48 厘米及寬 42 厘米 ,所以它是48 與 42 的公約數 ,題目又要求剪出的正方形最大 ,故正方形的邊長是 48與 42 的最大公約數。 因為 48=2?2?2?2?3,42=2?3?7,所以 48 與 42 的最大公約數是 6。這樣 ,最大正方形的邊長是 6 厘米。由此可按如下方法來剪 :長邊每排剪 8塊 ,寬邊可剪 7 塊 ,共可剪(48? 6)?(42? 6)=8?7=56(塊 )正方形布片。 8．寫出小于 20 的三個自然數，使它們的最大公約數是 1，但兩兩均不互質，請問有多少組這種解？ 答案：三組。 解析：三個數都不是質數 ,至少是兩個質數的乘積 ,兩兩之間的最大公約數只能分別是2,3 和 5,這種自然數有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,10,15三組。 9．和為 1111 的四個自然數，它們的最大公約數最大能夠是多少？ 答案：四個數的最大公約數必須能整除這四個數的和 ,也就是說它們的最大公約數應該是 1111 的約數。將 1111作質因數分解 ,得 1111=11?101 最大公約數不可能是 1111,其次最大可能數是 101,則將這四個數分別除以 101,所得商的和應為 11?，F有 1+2+3+5=11, 即存在著下面四個數 101,101?2,101?3,101?5, 它們的和恰好是 101?(1+2+3+5)=101?11=1111, 它們的最大公約數為 101，所以 101 為所求。 10．狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次跳 214 米，黃鼠狼每次跳 432 米，它們每秒鐘都只跳一次 .比賽途中 ,從起點開始每隔 8312 米設有一個陷井 ,當它們之中有一個掉進陷井時 ,另一個跳了多少米 ? 答案：黃鼠狼 掉進陷井時已跳的行程應該是 432 與 8312 的“最小公倍數” 499 ，即跳了499 411? =9次掉進陷井，狐貍掉進陷井時已跳的行程應該是 214 和 8312 的“最小公倍數” 299 ，即跳了 299 ? 29 =11 次掉進陷井。 經過比較可知 ,黃鼠狼先掉進陷井 ,這時狐貍已跳的行程是 214 ?9=(米 )。 五 帶余數除法 （一）填空題 1．小東在計算除法時，把除數 87 寫成 78，結果得到的商是 54，余數是 _____,余數是 _____。 答案： 48,44。 解析：依題意得：被除數 =78?54+8=4220，而 4220=87?48+44,所以正確的商是 48,余數是 44。 2. a? 24=121?? b,要使余數最大，被除數應該等于 _____。 答案： 2927。 解析：因為余數一定要比除數小 ,所以余數最大為 23,故有， 被除數 =24?121+23=2927。 3. 一個三位數被 37 除余 17,被 36除余 3,那么這個三位數是 _____。 答案： 831 解析： 這個三位數可以寫成： 37?商 +17=36?商 +(商 +17)。 根據“被 36除余 3”。 (商 +17)被 36除要余 3。商只能是 22(如果商更大的話 ,與題目條件“三位數”不符合 )。 因此 ,這個三位數是 37?22+17=831。 4. 393 除以一個兩位數 ,余數為 8,這樣的兩位數有 _____個 ,它們是 _____。 答案： 11,35,55,77。 解析： 393 減 8,那么差一定能被兩位數整除。 ∵ 3938=385， 385=5?7?11=(5?7)?11=(5?11)?7=(7?11)?5， ∴ 385 能被兩位數 11， 35， 55， 77整除。本題 的答案是 4 個 :11,35,55,77。 5. 31453?68765?987657 的積 ,除以 4的余數是 _____。 答案： 1。 解析：∵ 31453? 4=7863? 1 68765? 4=17191? 1 987657? 4=246914? 1 1?1?1=1 ∴ 31453?68765?987657 的積除以 4 余數是 1。 6. 888?? 8 乘以 666?? 6的積，除以 7 余數是 _____。 50 個 8 50 個 6 答案： 5。 解析：因為 111111能被 7 整除 ,所以 888888和 666666均能被 7 整除。而 50=6?8+2,故得被乘數與 88 被 7除的余數相同 ,乘數與 66被 7 除的余數相同 ,進而得 :被乘數被 7 除余 4,乘數被 7 除余 3。所以乘積與 (4?3=)12 被 7整除的余數相同。因此得乘積被 7 除的余數是 5。 7. 如果時針現在表示的時間是 18 點整 ,那么分針旋轉 1990 圈之后是 _____點鐘。 答案： 16。 解析：因為分針旋轉一圈為一個鐘頭 ,所以分針旋轉 24 圈 ,時針旋轉 2圈 .若以現時 18點整為起點與終點 ,這樣時針又回到 18點整的位置上。 由 1990? 24=82?余 22，可知那時時鐘表示的時間應是 16 點整。 （二）解 答題 8．幼兒園某班學生做游戲，如果每個學生分得的彈子一樣多，彈子就多 12顆，如果再增加 12顆彈子，那么每個學生正好分得 12顆，問這班有多少個學生？原有多少顆彈子？ 答案：依題意知，原來每個學生分相等的若干顆，余 12顆，則學生人數大于 增加 12 顆后每個學生正好分得 12 顆 ,即 12+12=24(顆 ),24 能被班級人數整除 ,又 24 能分解為 24=1?24=2?12=3?8=4?6 由班級人數大于 12,可知符合題意的是 24人。所以 ,共有彈子數 12?2412=276(顆 )。 9．已知： a=199119911991?? 1991,問： a 除以 13,余數是幾？ 1991個 1991 答案：用試除的方法可知 :199119911991 可以被 13除盡。原數 a 有 1991 個 1991除以 3余 2,所以 a 與 19911991 除以 13所得余數相同。又 19911991 除以 13余 8,所以 a 除以 13 的余數也是 8。 10． 100個 7 組成的一百位數 ,被 13除后 ,問： (1)余數是多少？ (2)商數中各位數字之和是多少？ 答案：因為 777777? 13=59829,即 777777能被 13 整除 ,把這 100 個 7,從第一個起 ,每 6個分成一組 ,100? 6=16? 4，共 16組還多 4 個。 每一組除以 13 的商都是 59829,7777 除以 13的商是 598,余數是 3。 所以 ,100 個 7 組成一百位數除以 13 后 ,余數是 3,商數中各位數字之和是 (5+9+8+2+9)?16+(5+9+8) =550。 六 中國剩余定理 （一）填空題 1. 有一個數，除以 3 余數是 1，除以 4余數是 3，這個數除以 12余數是 _____。 答案： 7。 解析：因為除以 3余數是 1的數是 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,? 除以 4 余數是 3的數是 3,7,11,15,19,23,27,31? 所以，同時符合除以 3 余數是 1，除以 4 余數是 3 的數有 7， 19， 31，?這些數除以 12 余數 均為 7。 2. 一個兩位數 ,用它除 58 余 2,