【文章內(nèi)容簡介】 　　，要驗(yàn)算一遍。　　二、精講精練　　【例題1】 在下面的括號中填上合適的數(shù)字。 　　【思路導(dǎo)航】由積的末尾是0，可推出第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位是5。由第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位是5，并結(jié)合第一個(gè)因數(shù)與5相乘的積的情況考慮，可推出第一人個(gè)因數(shù)的百位是3。由第一個(gè)因數(shù)為376與積為31□□0，可推出第二個(gè)因數(shù)的十?dāng)?shù)上是8。題中別的數(shù)字就容易填了。練習(xí)1：　　在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 　　【例題2】在下面括號中填上適合的數(shù)字。 　　【思路導(dǎo)航】由商的十位是1，以及1與除數(shù)的乘積的最高位是1可推知除數(shù)的十位是1。由第一次除后余下的數(shù)是1，可推知被除數(shù)的十位只可能是9。如果是7，除數(shù)的個(gè)位是0，那么最后必有余數(shù)。如果被除數(shù)是8，除數(shù)的個(gè)位就是1，也不能除盡。只有當(dāng)被除數(shù)的十位是9時(shí)，除數(shù)的個(gè)位是2時(shí)，商的個(gè)位為6，正好除盡。完整的豎式是： 練習(xí)2：在括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列除法豎式成立。 　　【例題3】下面算式中的a、b、c、d這四個(gè)字母各代表什么數(shù)字? 　　【思路導(dǎo)航】因?yàn)樗奈粩?shù)abcd乘9的積是四位數(shù)，可知a是1。d和9相乘的積的個(gè)位是1，可知d只能是9。因?yàn)榈诙€(gè)因數(shù)9與第一個(gè)因數(shù)百位上的數(shù)b相乘的積不能進(jìn)位，所以b只能是0(1已經(jīng)用過)。再由b=0，可推知c=8。　　練習(xí)3：求下列各題中每個(gè)漢字所代表的數(shù)字?；ǎ健　　　〖t＝　　　　　柳＝　　　　　綠＝(1) 華＝　　　羅＝　　　　庚＝　　　　金＝　　　　杯＝(2) 盼＝　　　　望＝　　　　　祖＝　　　　　國＝早＝　　　　日＝　　　　　統(tǒng)＝　　　　　一＝(3) 　　【例題4】在9這九個(gè)數(shù)字中間加上“+、”兩種運(yùn)算符號，使其結(jié)果等于100(數(shù)字的順序不能改變)。 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100　　【思路導(dǎo)航】先湊出與100比較接近的數(shù)，再根據(jù)需要把相鄰的幾個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)?！　”热纾?23與100比較接近，所以把前三個(gè)數(shù)字組成123，后面的數(shù)字湊出23就行。因?yàn)?5與67相差22，8與9相差1，所以得到一種解法：123+4567+89=100　　再比如：89與100比較接近，78與67正好相差11，所此可得另一種解法：123+4567+89=100.練習(xí)4：：(1)在下面等號左邊的數(shù)字之間添上一些加號，使其結(jié)果等于99(數(shù)字的順序不能改變)。 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99　　(2)一個(gè)乘號和七個(gè)加號添在下面的算式中合適的地方，使其結(jié)果等于100(數(shù)字的順序不能改變)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100　　(3)添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號和括號，使下列等式成立。 1 2 3 4 5 = 100　　【例題5】在下面的式子里添上括號，使等式成立。 79+12247。32 = 23　　【思路導(dǎo)航】采用逆推法，從最后一步運(yùn)算開始考慮。假如最后一步是用前面計(jì)算的結(jié)果減2，那么前面式子的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)等25，又因?yàn)?53=75，而前面79+12又正好等于75，所以，應(yīng)給前面兩步運(yùn)算加括號。 (79+12)247。32 = 23　　練習(xí)5：　　，使等式成立。　　(1)79+12247。32 = 75(2)79+12247。32 = 47(3)88+3311247。112 = 5　　、9這九個(gè)數(shù)字中間加上“+、”兩種運(yùn)算符號，使其結(jié)果等于100(數(shù)字的順序不能改變)。第7講 最優(yōu)化問題　　一、知識要點(diǎn)　　在日常生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會遇到下面的問題：完成一件事情，怎樣合理安排才能做到用的時(shí)間最少，效果最佳。這類問題在數(shù)學(xué)中稱為統(tǒng)籌問題。我們還會遇到“費(fèi)用最省”、“面積最大”、“損耗最小”等等問題，這些問題往往可以從極端情況去探討它的最大(小)值，這類問題在數(shù)學(xué)中稱為極值問題。以上的問題實(shí)際上都是“最優(yōu)化問題”。　　二、精講精練　　【例題1】 用一只平底鍋煎餅，每次只能放兩個(gè)，剪一個(gè)餅需要2分鐘(規(guī)定正反面各需要1分鐘)。問煎3個(gè)餅至少需要多少分鐘?　　【思路導(dǎo)航】先將兩個(gè)餅同時(shí)放入鍋中一起煎，一分鐘后兩個(gè)餅都熟了一面，這時(shí)可將一個(gè)取出，另一個(gè)翻過去，再放入第三個(gè)。又煎了一分鐘，將兩面都熟的那個(gè)取出，把第三個(gè)翻過去，再將第一個(gè)放入煎，再煎一分鐘就會全部煎好。所以，煎3個(gè)餅至少需要3分鐘?！　【毩?xí)1：　　，第一面需要2分鐘，第二面只要烤1分鐘，即烤一片面包需要3分鐘。小麗用來烤面包的架子，一次只能放兩片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分鐘?　　，鍋里只能同時(shí)放兩個(gè)。烙熟大餅的一面需要3分鐘，現(xiàn)在要烙3個(gè)大餅，最少要用幾分鐘?　　，這只鍋同時(shí)能放4個(gè)大餅，烙一個(gè)要用4分鐘(每面各需要2分鐘)。可小華烙6個(gè)大餅只用了6分鐘，他是怎樣烙的?　　【例題2】媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘，燒開水需要15分鐘，洗茶壺需要1分鐘，洗茶杯需要1分鐘。要讓客人喝上茶，最少需要多少分鐘?　　【思路導(dǎo)航】經(jīng)驗(yàn)表明，能同時(shí)做的事，盡量同時(shí)做，這樣可以節(jié)省時(shí)間。水壺不洗，不能燒開水，因此，洗水壺和燒開水不能同時(shí)進(jìn)行。而洗茶壺、洗茶杯和拿茶葉與燒開水可以同時(shí)進(jìn)行?！　「鶕?jù)以上的分析，可以這樣安排：先洗水壺用1分鐘，接著燒開水用15分鐘，同時(shí)洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水開了就沏茶，共需要16分鐘?！　【毩?xí)2：　?。簾粔亻_水需要10分鐘，把開水灌進(jìn)熱水瓶需要2分鐘，取奶需要5分鐘，整理書包需要4分鐘。他完成這幾件事最少需要多少分鐘?　　，燒開水需要12分鐘，洗茶杯要2分鐘，買茶葉要8分鐘，放茶葉泡茶要1分鐘。為了讓客人早點(diǎn)喝上茶，你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就可以了?　　，小欣要完成以下事情：疊被3分鐘，洗臉?biāo)⒀?分鐘，讀外語30分鐘，吃早餐10分鐘，收碗擦桌5分鐘，收聽廣播30分鐘。最少需要多少分鐘?　　【例題3】五(1)班趙明、孫勇、李佳三位同學(xué)同時(shí)到達(dá)學(xué)校衛(wèi)生室，等候校醫(yī)治病。趙明打針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳點(diǎn)眼藥水需要1分鐘。衛(wèi)生室只有一位校醫(yī)，校醫(yī)如何安排三位同學(xué)的治病次序，才能使三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短?　　【思路導(dǎo)航】校醫(yī)應(yīng)該給治療時(shí)間最短的先治病，治療時(shí)間長的最后治療，才能使三位同學(xué)在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短。這樣，三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間分別是：李佳1分鐘，趙1+3=4分鐘，趙明1+3+5=9分鐘。時(shí)間總和是1+4+9=14分鐘?！　【毩?xí)3：　　、乙、丙三人分別拿著2個(gè)、3個(gè)、1個(gè)熱水瓶同時(shí)到達(dá)開水供應(yīng)點(diǎn)打熱水。熱水龍頭只有一個(gè)，怎樣安排他們打水的次序，可以使他們打熱水所花的總時(shí)間最少?　　、乙、丙三人到商場批發(fā)部洽談業(yè)務(wù)，甲、乙、丙三人需要的時(shí)間分別是10分鐘、16分鐘和8分鐘。怎樣安排，使3人所花的時(shí)間最少?最少時(shí)間是多少?　　、乙、丙、丁四人同時(shí)到一水龍頭處用水，甲洗托把需要3分鐘，乙洗抹布需要2分鐘，丙洗衣服需要10分鐘，丁用桶注水需要1分鐘。怎樣安排四人用水的次序，使他們所花的總時(shí)間最少?最少時(shí)間是多少?　　【例題4】用18厘米長的鐵絲圍成各種長方形，要求長和寬的長度都是整厘米數(shù)。圍成的長方形的面積最大是多少?　　【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，圍成的長方形的一條長與一條寬的和是18247。2=9厘米。顯然，當(dāng)長與寬的差越小，圍成的長方形的面積越大。又已知長和寬的長度都是整厘米數(shù)，因此，當(dāng)長是5厘米，寬是4厘米時(shí)，圍成的長方形的面積最大：54=20平方厘米?！　【毩?xí)4：　　，要求長和寬的長度都是整厘米數(shù)，圍成的長方形的面積最大是多少?　　，它的面積最大是多少?　　，并且長和寬的長度都是整厘米數(shù)。這個(gè)長方形的周長最長是多少厘米?　　【例題5】用3～6這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大?！　　舅悸穼?dǎo)航】解決這個(gè)問題應(yīng)考慮兩點(diǎn)：(1)盡可能把大數(shù)放在高位。(2)盡可能使兩個(gè)數(shù)的差最小。所以應(yīng)把6和5這兩個(gè)數(shù)字放在十位，4和3放在個(gè)位。根據(jù)“兩個(gè)因數(shù)的差越小，積越大”的規(guī)律，3應(yīng)放在6的后面，4應(yīng)放在5的后面。6354=3402.　　練習(xí)5：　　～4這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大。　　～8這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大?！?這六個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)三位數(shù)，使這兩個(gè)三位數(shù)的乘積最大。第8講 巧妙求和(一)　　一、知識要點(diǎn)　　若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)。其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)，數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)?！　牡诙?xiàng)開始，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。　　在這一章要用到兩個(gè)非常重要的公式：“通項(xiàng)公式”和“項(xiàng)數(shù)公式”?！　⊥?xiàng)公式：第n項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)1)公差　　項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)首項(xiàng))247。公差+1　　二、精講精練　　【例題1】 有一個(gè)數(shù)列：4，10，16，22.…，?　　【思路導(dǎo)航】容易看出這是一個(gè)等差數(shù)列，公差為6，首項(xiàng)是4，可直接帶入項(xiàng)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。　　項(xiàng)數(shù)=(524)247。6+1=9，即這個(gè)數(shù)列共有9項(xiàng)。　　練習(xí)1：　　，首項(xiàng)==39，公差=?　?。?，8，11.…，?　　，…，?　　【例題2】有一等差數(shù)列：，……，這個(gè)等差數(shù)列的第100項(xiàng)是多少?　　【思路導(dǎo)航】，項(xiàng)數(shù)是100。要求第100項(xiàng)，可根據(jù)“末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差(項(xiàng)數(shù)1)”進(jìn)行計(jì)算?！　〉?00項(xiàng)=3+4(1001)=399.　　練習(xí)2：　　，首項(xiàng)===10，它的末項(xiàng)是多少?　　，7，10……這個(gè)等差數(shù)列的第30項(xiàng)。　　，10，14……的第100項(xiàng)。　　【例題3】有這樣一個(gè)數(shù)列：，…，99，100。請求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和?！　　舅悸穼?dǎo)航】，…，99，100與列100，99，…，則得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1)，所得的和就是所求數(shù)列的和的2倍。　　1+2+3+…+99+100=(1+100)100247。2=5050　　上面的數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，所有的等差數(shù)列都可以用下面的公式求和：　　等差數(shù)列總和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)247。2　　這個(gè)公式也叫做等差數(shù)列求和公式?！　【毩?xí)3：　　計(jì)算下面各題?！　?1)1+2+3+…+49+50　　(2)6+7+8+…+74+75　　(3)100+99+98+…+61+60　　【例題4】求等差數(shù)列2，4，6，…，48，50的和?！　　舅悸穼?dǎo)航】這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，我們可以用公式計(jì)算。　　要求這一數(shù)列的和，首先要求出項(xiàng)數(shù)是多少：項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)首項(xiàng))247。公差+1=(502)247。2+1=25　　首項(xiàng)==50，項(xiàng)數(shù)=25　　等差數(shù)列的和=(2+50)25247。2=650.　　練習(xí)4：　　計(jì)算下面各題?！　?1)2+6+10+14+18+22　　(2)5+10+15+20+…+195+200　　(3)9+18+27+36+…+261+270　　【例題5】計(jì)算(2+4+6+…+100)(1+3+5+…+99)　　【思路導(dǎo)航】容易發(fā)現(xiàn)，被減數(shù)與減數(shù)都是等差數(shù)列的和，因此，可以先分別求出它們各自的和，然后相減?！　∵M(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)數(shù)列其實(shí)是把1 ～ 100這100個(gè)數(shù)分成了奇數(shù)與偶數(shù)兩個(gè)等差數(shù)列，每個(gè)數(shù)列都有50個(gè)項(xiàng)。因此，我們也可以把這兩個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)分別對應(yīng)相減，可得到50個(gè)差，再求出所有差的和?！　?2+4+6+…+100)(1+3+5+…+99)　　=(21)+(43)+(65)+…+(10099)　　=1+1+1+…+1　　=50　　練習(xí)5：　　用簡便方法計(jì)算下面各題?！　?1)(2001+1999+1997+1995)(2000+1998+1996+1994)　　(2)(2+4+6+…+2000)(1+3+5+…+1999)　　(3)(1+3+5+…+1999)(2+4+6+…+1998)第9講 變化規(guī)律(一)　 一、知識要點(diǎn)和、差的規(guī)律見下表(m≠0)一個(gè)加數(shù)(a)另一個(gè)加數(shù)(b)和(c)177。m不變177。m不變177。m177。m177。mm不變 被減數(shù)(a)減數(shù)(b)差(c)177。m不變177。m不變177。mm177。m177。m不變　　二、精講精練　　【例題1】 兩個(gè)數(shù)相加，一個(gè)加數(shù)增加9，另一個(gè)加數(shù)減少9，和是否發(fā)生變化?　　【思路導(dǎo)航】一個(gè)加數(shù)增加9，假如另一個(gè)加數(shù)不變，和就增加9。假如一個(gè)加數(shù)不變，另一個(gè)加數(shù)減少9，和就減少9。和先增加9，接著又減少9，所以不發(fā)生變化?！　【毩?xí)1：　　，一個(gè)數(shù)減8，另一個(gè)數(shù)加8，和是否變化?　　，?　　，一個(gè)數(shù)減6，?　　【例題2】兩個(gè)數(shù)相加，如果一個(gè)加數(shù)增加10，要使和增加6，那么另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化?　　【思路導(dǎo)航】一個(gè)加數(shù)增加10，假如另一個(gè)加數(shù)不變，和就增加10?，F(xiàn)在要使和增加6，那么另一個(gè)加數(shù)應(yīng)減少106=4?！　【毩?xí)2：　　，如果一個(gè)加數(shù)增加8，要使和增加15，另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化?　　，如果一個(gè)加數(shù)增加8，要使和減少15，另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化?　　，如果一個(gè)加數(shù)減少8，要使和減少8，另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化?　　【例題3】兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加8，減數(shù)也增加8，差是否起變化?　　【思路導(dǎo)航】被減數(shù)增加8，假如減數(shù)不變，差就增加8。假如被減數(shù)不變，減數(shù)增加8，差就減少8。兩個(gè)數(shù)的差先增加8，接著又減少8，所以不起什么變化?！　【毩?xí)3：　　，被減數(shù)減少6，減數(shù)也減少6，差是否起變化?　　，?　　，被減數(shù)減少10，減數(shù)增加10，差起什么變化?　　【例題4】兩數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大8倍，另一個(gè)因數(shù)縮小2倍，積將有什么變化?　　【思路導(dǎo)航】如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大8倍，另一個(gè)因數(shù)不變，積將擴(kuò)大8倍。如果一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)縮小2倍，積將縮小2倍。積先擴(kuò)大8倍又縮小2