【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑。 （ 22）（本小題滿分 10 分）選修 4－ 1：幾何證明講 已知 ? ABC 中， AB=AC, D 是 ? ABC 外接圓劣弧 AC 上的點(diǎn)（不與點(diǎn) A,C 重合），延長(zhǎng) BD 至 E。 （ 1）求證： AD 的延長(zhǎng)線平分 ? CDE； （ 2）若 ? BAC=30， ? ABC 中 BC 邊上的高為 2+ 3 ，求? ABC 外接圓的面積。 （ 23）（本小題滿分 10 分）選修 4－ 4 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系 xOy : １３ 中，以 O 為極點(diǎn)， x 正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 ? cos（ 3??? ） =1， M,N 分別為 C 與 x 軸， y 軸的交點(diǎn)。 （ 1）寫(xiě)出 C 的直角坐標(biāo)方程，并求 M,N 的極坐標(biāo)； （ 2）設(shè) MN 的中點(diǎn)為 P，求直線 OP 的極坐標(biāo)方程。 （ 24）（本小題滿分 10 分）選修 4－ 5：不等式選講 設(shè)函數(shù) ( ) | 1 | | |f x x x a? ? ? ?。（ 1）若 1,a?? 解不等式 ( ) 3fx? ；（ 2）如果xR?? , ( ) 2fx? ,求 a 的取值范圍。 2022 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 第 I 卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 (1)已知集合 { | | 2, }A x x R? ? ?}, { | 4 , }B x x x Z? ? ?,則 AB?? (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知復(fù)數(shù)23(1 3 )iz i?? ? ， z 是 z 的共軛復(fù)數(shù)，則 zz? = A. 14 (3)曲線 2xy x? ? 在點(diǎn)（ 1， 1）處的切線方程為 （ A） y=2x+1 (B)y=2x1 C y=2x3 =2x2 (4)如圖，質(zhì)點(diǎn) P 在半徑為 2 的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為 P0（ 2 ， 2 ），角速度為 1，那么點(diǎn) P 到 x 軸距離 d 關(guān)于時(shí)間 t 的函數(shù)圖像大致為 （ 5）已知命題 1p ：函數(shù) 22xxy ??? 在 R為增函數(shù)， 2p ：函數(shù) 22xxy ??? 在 R為減函數(shù)，則在命題 1q ： 12pp? ， 2q ： 12pp? ， 3q ： ? ?12pp??和 4q ： ? ?12pp?? 中， : １４ 真命題是 （ A） 1q ， 3q （ B） 2q ， 3q （ C） 1q ， 4q （ D） 2q ， 4q （ 6）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為 ，現(xiàn)播種了 1000 粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種 2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為 X，則 X 的數(shù)學(xué)期望為 （ A） 100 （ B） 200 （ C） 300 （ D） 400 （ 7）如果執(zhí)行右面的框圖，輸入 5N? ，則輸出的數(shù)等于 （ A） 54 （ B） 45 （ C） 65 （ D） 56 （ 8）設(shè)偶函數(shù) ()fx滿足 3( ) 8( 0 )f x x x? ? ?，則 { | ( 2) 0}x f x ? ? ? (A) { | 2 4}x x x? ? ?或 (B) { | 0 4}x x x??或 (C) { | 0 6}x x x??或 (D) { | 2 2}x x x? ? ?或 （ 9）若 4cos 5??? ， ? 是第三象限的角，則 1 tan21 tan2????? (A) 12? (B) 12 (C) 2 (D) 2 （ 10）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為 a ，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為 (A) 2a? (B) 273 a? (C) 2113 a? (D) 25a? （ 11）已知函數(shù) | lg |, 0 10 ,() 16 , xxfx xx????? ? ? ? ???若 ,abc互不相等，且 ( ) ( ) ( ),f a f b f c??則 abc 的取值范圍是 (A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24) （ 12）已知雙曲線 E 的中心為原點(diǎn)， (3,0)P 是 E 的焦點(diǎn)，過(guò) F 的直線 l 與 E 相交于 A， B 兩點(diǎn)，且 AB 的中點(diǎn)為 ( 12, 15)N ?? ,則 E 的方程式為 (A) 22136xy?? (B) 22145xy?? (C) 22163xy?? (D) 22154xy?? 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分，第（ 13）題 ~第（ 21）題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答，第（ 22）題 ~第（ 24）題為選考題，考試根據(jù)要求做答。 : １５ 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分。 （ 13）設(shè) ()y f x? 為區(qū)間 [0,1] 上的連續(xù)函數(shù)，且恒有 0 ( ) 1fx??，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分 10 ()f x dx?，先產(chǎn)生兩組（每組 N 個(gè)）區(qū)間 [0,1] 上的均勻隨機(jī)數(shù) 12,Nx x x… 和 12,Ny y y… ，由此得到 N 個(gè)點(diǎn) 11( , )( 1, 2 , )x y i N? … ,，再數(shù)出其中滿足 11( ) ( 1, 2 , )y f x i N?? … ,的點(diǎn)數(shù) 1N ，那么由隨機(jī)模擬方案可得積分10 ()f x dx? 的近似值為 。 （ 14）正視圖為一個(gè)三角形的幾何體可以是 ______（寫(xiě)出三種） （ 15）過(guò)點(diǎn) A(4,1)的圓 C 與直線 xy=0 相切于點(diǎn) B（ 2,1），則圓 C 的方程為 ____ (16)在△ ABC 中， D 為邊 BC 上一點(diǎn)， BD=12 DC， ? ADB=120176。， AD=2，若△ ADC 的面積為 33? ，則 ? BAC=_______ 三，解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，正明過(guò)程和演算步驟 （ 17）（本小題滿分 12 分）設(shè)數(shù)列 ??na 滿足 21112 , 3 2 nnna a a ??? ? ? （ 1） 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （ 2） 令 nnb na? ，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 nS (18)（本小題滿分 12 分）如圖，已知四棱錐 PABCD 的底面為等腰梯形， AB CD,AC? BD，垂足為 H， PH 是四棱錐的高 ，E 為 AD 中點(diǎn) （ 1） 證明： PE? BC （ 2） 若 ? APB=? ADB=60176。，求直線 PA 與平面 PEH 所成角的正弦值 (19)(本小題 12 分 )為調(diào)查 某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了 500 位老年人，結(jié)果如下： 是否需要志愿 性別 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 （ 1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例； （ 2）能否有 99％的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？ （ 3）根據(jù)（ 2）的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)老年人，需要志愿幫助的老年人的比例？說(shuō)明理由 附： : １６ （ 20 ）（本題滿分 12 分）設(shè) 12,FF分別是橢圓22: 1( 0 )xyE a bab? ? ? ?的左、右焦點(diǎn)，過(guò) 1F 斜率為 1的直線 i 與 E 相交于 ,AB兩點(diǎn)，且 22,AF AB BF成等差數(shù)列。 （ 1）求 E 的離心率；（ 2） 設(shè)點(diǎn) (0, 1)p ? 滿足 PA PB? ，求 E 的方程 （ 21）（本小題滿分 12 分）設(shè)函數(shù) 2( ) 1xf x e x ax? ? ? ?。 （ 1）若 0a? ，求 ()fx的單調(diào)區(qū)間；（ 2）若當(dāng) 0x? 時(shí) ( ) 0fx? ，求 a 的取值范圍 請(qǐng)考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時(shí)用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑。 （ 22）（本小題滿分 10 分）選修 41：幾何證明選講 如圖，已經(jīng)圓上的弧 ，過(guò) C 點(diǎn)的圓切線與 BA 的延長(zhǎng)線交于 E 點(diǎn)，證明： （Ⅰ）∠ ACE=∠ BCD；（Ⅱ） BC2=BF CD。 （ 23）（本小題滿分 10分）選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知直線 C1 x 1 t cossinyt ?????? ??（ t 為參數(shù) ），C2 x cossiny ????? ??（ ? 為參數(shù)）， （Ⅰ）當(dāng) ? =3? 時(shí)，求 C1與 C2的交點(diǎn)坐標(biāo)； （Ⅱ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O 做 C1的垂線，垂足為 ， P 為 OA 中點(diǎn)，當(dāng) ? 變化時(shí)，求 P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線。 （ 24）（本小題滿分 10 分）選修 45，不等式選項(xiàng) 設(shè) 函數(shù) ( ) 2 4 1f x x l? ? ? （Ⅰ）畫(huà)出函數(shù) ()y f x? 的圖像 : １７ （Ⅱ）若不等式 ()fx≤ ax 的解集非空，求 a 的取值范圍。 2022 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 第 I卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 (1)復(fù)數(shù) 212ii?? 的共軛復(fù)數(shù)是 （ A） 35i? （ B） 35i （ C） i? （ D） i （ 2）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)哦、又在（ 0，）單調(diào)遞增的函數(shù)是 （ A） 2yx? (B) 1yx?? （ C） 2 1yx?? ? (D) 2xy ?? （ 3）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的 N是 6，那么輸出的 p是 （ A） 120 （ B） 720 （ C） 1440 （ D） 5040 （ 4）有 3 個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為 （ A） 13 （ B） 12 （ C） 23 （ D） 34 （ 5）已知角 ? 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與 x 軸的正半軸重合，終邊在直線 2yx?上，則 cos2? = （ A） 45? （ B） 35? （ C） 35 (D） 45 （ 6）在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示， : １８ 則相應(yīng)的俯視圖可以為 （ 7）設(shè)直線 l過(guò)雙曲線 C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與 C的一條對(duì)稱軸垂直， l與 C交于 A,B兩點(diǎn)， AB 為C 的實(shí)軸長(zhǎng)的2 倍，則 C 的離心率為 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 3 （ 8） 512axxxx? ?? ???? ?? ?? ?? ?的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為 2，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 （ A） 40 （ B） 20 （ C） 20 （ D） 40 （ 9）由曲線 yx? ，直線 2yx??及 y 軸所圍成的圖形的面積為 （ A） 103 （ B） 4 （ C） 163 （ D） 6 （ 10）已知 a與 b均為單位向量，其夾角為 ? ，有下列四個(gè)命題 1 2: 1 0 , 3P a b ?? ??? ? ? ? ???? 2 2: 1 ,3P a b ?????? ? ? ? ? ??? 3 : 1 0 , 3P a b ?? ??? ? ? ? ???? 4 : 1 ,3P a b ?????? ? ? ? ? ??? 其中的真命題是 （ A） 14,PP （ B） 13,PP （ C） 23,PP （ D） 24,PP （ 11）設(shè)函數(shù) ( ) s in ( ) c o s ( ) ( 0 , )2f x x x ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?的最小正周期為 ? ，且 ( ) ( )f x f x?? ，則 （ A） ()fx在 0,2???????單調(diào)遞減