高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)課件：選修4-1幾何證明選講第3講圓中的比例線段與圓內(nèi)接四邊形(編輯修改稿)
2025-02-05 13:57 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 AE 的值． [ 審題視點(diǎn) ] 由切割線定理知 PA2＝ PB PC ，可得直徑 BC 的長，要求 AD AE ，由 △ ACE ∽△ AD B ，得 AD AE ＝ CA BA ，只要求出 CA ， BA 的長即可． 解 如圖所示，連接 CE ， ∵ PA 是 ⊙ O 的切線， PBC 是 ⊙ O 的割線， ∴ PA2＝ PB PC . 又 PA ＝ 10 ， PB ＝ 5 ， ∴ PC ＝ 20 ， BC ＝ 15. ∵ PA 切 ⊙ O 于 A ， ∴∠ P AB ＝ ∠ ACP . 又 ∠ P 為公共角， ∴△ P AB ∽△ PCA . ∴ABCA＝PAPC＝1020＝12. ∵ BC 為 ⊙ O 的直徑， ∴∠ C AB ＝ 90176。 . ∴ AC2＋ AB2＝ BC2＝ 22 5. ∴ AC ＝ 6 5 ， AB ＝ 3 5 . 又 ∠ ABC ＝ ∠ E ， ∠ C AE ＝ ∠ EAB ， ∴△ ACE ∽△ ADB ， ∴ABAE＝ADAC. ∴ AD AE ＝ AB AC ＝ 3 5 6 5 ＝ 90. 在圓中通過連接圓上的兩點(diǎn)、作圓的切線等可以創(chuàng)造使用圓周角定理、圓心角定理、弦切角定理的條件，這是在圓的問題上解決角之間關(guān)系的重要技巧． 【訓(xùn)練 2 】 如圖， ⊙ O 與 ⊙ O ′ 外切于 P ，兩圓公切線 AC ，分別切 ⊙ O 、 ⊙ O ′ 于 A 、 C 兩點(diǎn)， AB 是 ⊙ O 的直徑， BE 是 ⊙ O ′的切線， E 為切點(diǎn)，連 AP 、 PC 、 B C . 求證： AP BC ＝ BE AC . 證明 由題意可知 ∠ APC ＝ 90176。 ，連 BP ，則 ∠ APB ＝ 90176。 ， ∴B 、 P 、 C 在同一直線上，即 P 點(diǎn)在 BC 上，由于 AB ⊥ AC ，易證Rt △ APB ∽ Rt △ CAB . ∴ABCB＝PBAB，即 AB2＝ BP BC ，又由切割線定理，得 BE2＝BP BC ， ∴ AB ＝ BE ，又 Rt △ APB ∽ Rt △ CAB ， ∴ABCB＝APCA，即 AP BC ＝ AB AC ， ∴ AP BC ＝ BE AC . 考向三 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的應(yīng)用 【 例 3 】 ? ( 201 1 遼寧三校聯(lián)考 ) 已知四邊形 PQ RS 是圓內(nèi)接四邊形， ∠ PSR ＝ 90176。 ，過點(diǎn) Q 作 PR 、 PS 的垂線，垂足分別為點(diǎn) H 、K . ( 1) 求證： Q 、 H 、 K 、 P 四點(diǎn)共圓； ( 2) 求證： QT ＝ TS . [ 審題視點(diǎn) ] ( 1) 利用 ∠ P HQ ＝ ∠ PKQ ＝ 90176。 ； ( 2) 先證 ∠ HKS ＝ ∠ QS P ， TS ＝ TK ，再證 TS ＝ QT . 證明 ( 1) ∵∠ PH Q
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