【文章內容簡介】 ? 不論 }{w? 為任何不全為零的組合 ,恒有 0)(2 ??? w ?因此有 )()( * ww ??? (648) 這便是最小位能原理 ? 若將最小位能原理寫成變分的形式 ,則有 0δ ?? (649) 利用分部積分 ,參考 (630)的推導 ,由 (640)式 0δ ?? 可以得到 ?????????????? ? yxwpy wyxMxM xyx ddδ)2( 22222 0dδ)(dδ)( 23 ????????? ?? snwMMswqQsM C nnC nns (650) 90 167。 最小余能原理 考慮與上節(jié)相同的薄板彎曲問題 ?令 yxyxyx MMMw ，，， 為精確解 ?再命sysxsysxysx MMM ，， 為一組可能內力 ,它們滿足下列方程 ????????????????????????????????000qyQxyMxMQyMxMsxsxsysysxysxsxysx (651) 和在邊界 2C ? 3C 上的邊界條件 在 2C 上 : nsn MM ? (652a) 在 3C 上 : nsn MM ? , qQsM snsns ???? (652b) 系統(tǒng)的余能 *? 包括兩部分 ?一部分為余應變能 *U ,它的算式為 ???? yxUU dd~ ** (653) 式中 *~U 為余應變能密度 ?對于線性的應力與應變關系 ,它可以表示為 (615)式 ? 另一部分為已知的邊界 位移的 余功 *V ,它的算式為 ?? ??????? ? 121 dd)(* C nnCC nns sMswQsMV (654) 整個板的總余能 *? 為 ???? ?????????? ?? 121 dd)(dd~ **** C nnCC nns sMswQsMyxUVU (655) 總余能 *? 為自變函數(shù) xyyx MMM , 的泛函 ? 現(xiàn)在取 xsxx MMM ??? , ysyy MMM ??? , xysxyxy MMM ??? , xsxx Q ??? , ysyy Q ??? 且滿足下列方程和邊界條件 ?????????????????????????????????????0yQxyMxMQyMxMyxyyxyxxyx (656) 在 2C 上 : 0?? nM (657a) 91 在 3C 上 : 0,0 ????????nnsn QsMM (657b) 以上兩式表示內力增量在邊界上對應為零的外載荷 ?并有 }{}{}{ MMM s ??? (658) 于是有 })({}){},({2})({}){}({})({ 2*1**** MMMMMMM s ????????????? (659) 式中 })({2* M?? 為內力增量相應的余應變能 ,而中間一項代表下列算式 : ????????????????? ?? ? yxy wMyx wMx wMMM yxyx dd)2(}){},({2 222221* ?? ????????? 121 dd)( C nnCC nns sMswQsM (660) 根據(jù) (629)式的虛功方程 ,可以證明 0}){},({2 1* ??? MM 這樣 (659)式可以化為 })({})({})({ 2*** MMM s ?????? (661) 如果 }{M? 不全為零 ,那么由 (615)式可知 0})({2* ??? M 于是可得到 })({})({ ** MM s ??? (662) 這便是最小余能原理 ? 將最小余能原理表達成變分形式 ,為 ????????????? ?? ? yxMy wMyx wMx w yxyx dd)δδ2δ(δ 22222* ?? ?????? 121 dδd)δδ( C nnCC nns sMswQsM (663) 最小余能原理是一種條件變分原理 ,因為可能內力必須滿足平衡條件 (651)式 ? Southwell(索斯韋爾 )指出 ,利用應力函數(shù)方法可以把以上條件變分問題化為無條件變分問題 ?齊次方程的解可以用兩個應力函數(shù) ?~ 與 ?~ 表示之 ,如 ?????????????????????????????????????????????)~~(21 ),~~(21)~~(21 ,~,~00000yxxQyxyQyxMxMyMyxxyyx (664) 再命 PyPxPyPx MM ，， 是平衡方程的一組特解 ?于是可將內力表達為 ?????????????????00000 , ,yPyyxPxxxyPxyxyyPyyxPxxMMMMMMMMM (665) 將以上算式代入 (663)式 ,可將余 能 *? 表示成自變量 ?~ 和 ?~ 的泛函 ?自變量 ?~ 和 ?~ 除滿足力 92 的邊界條件 (652)式外 ,不受其它條件的限制 ,這就把原來的條件變分原理轉化為 無 條件變分原理 ? 167。 二類自變量廣義變分原理 上面所介紹的二種變分原理都是最小值原理 ?在最小值原理中 ,自變量必須事前滿足一定的條件 ,所以稱它們?yōu)闂l件變分原理 ?最小值原理雖然具有突出的優(yōu)點 ,但用起來 不夠方便 ?而無條件廣義變分原理 ,因為自變量可以獨立自主變動 ,事前不受任何限制 ,用起來則方便多了 ?但也同時帶來共同的缺點 ,就是所涉及的泛函都只取駐值 ,而不是極值 ? 廣義的變分原理不過是拉格朗日乘子法在組成泛函過程的具體應用而已 ,或對拉格朗日乘子賦以力學上的說明 ? 繼續(xù)考慮前面兩節(jié)中討論過的問題 ,對同一塊板的彎曲定義兩個泛函如下 : ?????????????????????????????21d))((dd)~2( 22222222CC nnsyxyxyxswwQsMyxpwUywMywMyxwMxwM ??? ? ???????? 3213 dd)(d CC nC nnC snwMsnwMswq (666) ?????????????? ??? ?? 21 d)(dd])(~[ **2 CC nnsyx swQsMyxwpyQxQU ?????? 3 d)(C nns swqQsM ?? ? ????? 321 d)(d CC nnC nn snwMMsM (667) 利用 (632)式 ,注意到邊界 321 CCCC ??? 的條件 ,可以證明 0*22 ???? (668) 顯然 ,當滿足物理關系 }]{[}{ ?? DM ,及位移邊界連續(xù) 0??ww (在 21 CC? 邊界上 ) 0????? nnw (在 1C 邊界上 ) 的條件下 , 2? 就等于總位能 ? ?這里 2? 的下標“ 2”表示這類泛函包括有二類變量的廣義位能 ,一類為內力矩 xM ? yM 和 xyM ,另一類為撓度 w ? 所謂二類變量廣義變分原理 ,是指薄板彎曲問題的精確解 ,使二類變量廣義位能和二類變量廣義余能取駐值 ?即把 xM ? yM ? xyM ?w 四個函數(shù)看作是彼此獨立無關的函數(shù) ,并且使它們的變分不受任何限制 ,那么變 分式 0δ 2 ?? 或 0δ *2 ?? (669) 相當于薄板彎曲問題中的全部方程和邊界條件 ,即平衡方程 (64)式 ,內力矩與撓度關系 (611),以及邊界條件 (622)?(623)?(626)式 ? 現(xiàn)在證明上述結論 ?從公式 (666)得到 ?? ? ???????????????? yyxx MMUy wMMUx w δ)~(δ)~{(δ *22*222 93 ????????????????????????????????????????????????3132121dδ)(dnδdδd))(δδ(dδ)(dd}δδ2δδ{dd}δ)~2(22222*2CnnCnCCCnnsCCnnsxyyxxyxyxysMnwswMswqswwQsMswQsMyxwpyxwMywMxwMyxMMUyxwM ? ? ??21 dδCC n snwM (670) (632)式中將 w 改為 wδ ,有 ????????????? ? yxyx wMy wMx wM xyyx dd)δ2δδ( 22222 ???? ????????????? ? C nC nnsyx snwMswQsMyxwyQxQ dδdδ)(ddδ)( (671) 將上式代入 (670)式 ,經過整理后 ,可得 ??????????????????????????????????????????????????213d)δδ)((dδ)