【文章內容簡介】 xxxy . 10﹑求下列方陣的逆陣： ⑴ ???????? 52 21 解： ??????? 52 21A, 1?A . .1 ),1(2 ),1(2 ,5 22122111 ???????? AAAA ?????? ? ?????????? 12 252212 2111 AA AAA . ??? AAA 11 ???? ?? 12 25 . ⑵ ??????cosθ sinθsinθ cosθ 解： 01??A 故 1?A 存在 ???? c o ss i ns i nc o s 22122111 ????? AAAA 從而 ????????? ?? ?? c ossin sinc os1A. 班級 姓名 學號 18 （ 3） ????????????????naaaa?????????000000000000321 )0( 21 ?aaa n? 解： 由對角矩陣的性質知 ????????????????????naaaA10011211?. 11﹑解矩陣方程： ⑴ ???????? ??????????????234311111012112X 解：1111012112234311??????????????????? ??X ??????????????????? ??03323210123431131 ????????????32538122 ⑵ ??????????????????????????????????021102341010100001100001010X 解：11010100001021102341100001010 ????????????????????????????????????X ??????????????????????????????????010100001021102341100001010??????????????201431012 . 班級 姓名 學號 19 1利用逆陣解線性方程組：??????????????3532522132321321321xxxxxxxxx . 解： 解、 (1) 方程組可表示為 ???????????????????????????????321153522321321xxx 故 ?????????????????????????????????????????? ?001321153522321 1321xxx 從而有 ????????001321xxx . 1設 0?kA （ k 為正整數(shù)） ,證明： ? ? 121 ?? ?????? kAAAEAE ?. 證明： 一方面， )()( 1 AEAEE ??? ? 另一方面，由 OAk ? 有 )()()( 1122 kkk AAAAAAAEE ????????? ??? ))(( 12 AEAAAE k ?????? ?? 故 )()( 1 AEAE ?? ? ))(( 12 AEAAAE k ?????? ?? 兩端同時右乘 1)( ??AE 就有 121)( ?? ?????? kAAAEAE ?. 班級 姓名 學號 20 1 設 ??????0 3 3A = 1 1 01 2 3,AB=A+2B , 求 B . 解 由 BAAB 2?? 可得 ABEA ?? )2( 故 AEAB 1)2( ?????????????????????????????321011330121011332 1????????????011321330 . 1設 ??? APP 1 , 其中 ???????? ??????????? ??? 20 0111 41 ,P, 求 11A . 解 ??? APP 1 故 1??? PPA 所以 11111 ??? PPA 3?P ????????? 11 41P ?????? ???? 11 41311P 而 ????????????????? 11111120 0120 01 故 ??????????????????????????? ???3131 3431200111411111A ????? ??? 684683 27322731. 班級 姓名 學號 21 A 可逆，證明其伴隨陣 ?A 也可逆，且 *11 )()( ??? ? AA 。 證 因 *A = 1?AA ，由 1?A 的可逆性及 0?A ，可知 ?A 可逆，且 111 )()( ???? ? AAA ＝ AA1 ； 另一方面，由伴隨陣的性質，有 *11 )( ?? AA = EA1? . 用 A 左乘此式兩邊得 *1)( ?A = AA1? = AA1? = AA1, 比較上面兩個式子，即知結論成立。 1 設 n 階方陣 A 的伴隨陣為 *A , 證明 : ⑴若 A=0 ,則 0?*A ； ⑵ 1?? n* AA . 證明 (1) 用反證法證明．假設 0??A 則有 EAA ???? 1)( . 由此得 OAEAAAAA ??? ????? 11 )()( OA ?? ? . 這與 0??A 矛盾，故當 0?A 時 , 有 0??A . (2) 由于 EAAA ?? 取行列式得到 : nAAA ?? 若 0?A 則 1?? ? nAA 若 0?A 由 (1)知 0??A 此時命題也成立 故有 1?? ? nAA . 班級 姓名 學號 22 A = diag(1,2,1)， *Α Β Α = 2Β Α 8Ε，求 B 。 解 由于所給矩陣方程中含有 A 及其伴隨矩陣 ?A ，因此仍從公式 ?AA = EA 著手。為此，用 A 左乘所給方程兩邊，得 AABABAAA 82* ?? ， 又， BA =2AB8E? BEA )22( ? =8E? BEA )( ? =4E. 注意到 EA? = )1,1,1()1,2,1( diagdiag ?? = )2,1,2( ?dia ,是可逆矩陣，且 1)( ??EA = )21,1,21( ?diag , 于是 B ＝ 4 1)( ??EA = )2,4,2( ?diag . 1設????????????????2200020000340043A ,求 8A 及 4A 及 1?A . 解 ??????????????22023443OOA ， 令 ?????? ?? 34 431A , ??????? 22 022A . 則 ???????21 AO OAA . 故 8218 ??????? AO OAA ????????? 8281 AO OA . 16828182818 10??? AAAAA . ??????????????????????464444241422025005OOAOOAA . 11 11234 0025 2543 0025 2510 0 02110022AAA???????????????????????. 班級 姓名 學號 23 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組 1. 把下列矩陣化為行最簡形： ???????????????????????12433023221453334311 解???????????????????12433023221453334311(下一步 ? r2?3r1? r3?2r1? r4?3r1? )~??????????????????1010500663008840034311 (下一步 ? r2?(?4)? r3?(?3) ? r4?(?5)? )~???????????????22100221002210034311(下一步 ? r1?3r2? r3?r2? r4?r2? ) ~?????????? ? ??00000000002210032022? 2. 利用矩陣的初等變換，求下列方陣的逆： ⑴ ??????????323513123 解 ????????100 010001323 513123 ~??????????? 101 011001200 410123 ~????????? ???101200 2110102/102/3023 ~ ????????? ???2/102/1100 2110102/922/7003 ~????????? ???2/102/1100 2110102/33/26/7001 , 故逆矩陣為????????????????21021211233267? 班級 姓名 學號 24 (2) ???????????????????1210232112201023 解 ???????????????10000100001000011210232112201023 ~??????????????001