【文章內(nèi)容簡介】 理， mol1 氫氣的內(nèi)能為 RT)2/5( ， mol1 水蒸氣的內(nèi)能為 RT)2/6( 。 M1 = g 的水蒸氣與 M2 = g 的氫氣組成 的混合理想氣體的內(nèi)能為 RT)]2/5()2/6()6/1[( ??? ?；旌侠硐霘怏w的物質(zhì)的量為 mol])6/1[( ? ，所以 mol1 這種混合理想氣體的內(nèi)能為 20/51m RTU ? 氣體的定體熱容 11m Km ?? ???? TUC V 2. 7. 3 一粒小到肉眼恰好可見、質(zhì)量約為 1110? kg 的灰塵微粒落人一杯冰水中。由于表面張力而浮在液體表面作二維自由運動，試問它的方均根速率是多大 ? 〖分析〗： 灰塵微粒作二維布朗運動，它應(yīng)該有如下關(guān)系 222 212121 vmvmvm yx ?? 按照能量均分定理 kTvmvm yx 212121 22 ?? 〖答〗： 15 ?? ? 。 第三章 3. 1. 1 一細(xì)金屬絲將一質(zhì)量為 m、半徑為 R 的均質(zhì)圓盤沿中心軸 鉛垂吊住。盤能繞軸自由轉(zhuǎn)動。盤面平行于一水平板，盤與平板間充滿黏度為 ? 的液體。初始時盤以角速度 0ω 旋轉(zhuǎn)。圓盤面與大平板間距離為 d ，且在圓盤下方任一豎直直線上液體的速度梯度處處相等。試求 t 秒時盤的旋轉(zhuǎn)角速度。 〖分析〗： 因為圓盤與水平板之間存在相對運動，故存在如下的黏性力， Azuηf ???? dd 在不同 r 處的線速度 rωru ??)( 不同，但是圓盤下方任一豎直直線上的速度梯度都處處相等，所以在 r 處任一豎直直線上液體的速度梯度是 drω /? ?，F(xiàn)在以離開中心軸距離 rrr d~ ? 的小圓環(huán)上，中心角為 θd 的一小塊圓盤為研究對象（它的面積時可以近似認(rèn)為它是底邊為 θrd 高為 rd 的矩形）。計算它受到的黏性力以及這一黏性力所施予中心軸的力矩。 〖解〗： 圓盤受到的黏性力以及這一黏性力所施予中心軸的力矩分別為 drθrd rωηf dd ???? θrrd rωηrθrd rωηrM dd)dd(d 2???????? 對上式中的 θd 從 π2~0 積分，再對 rd 從 0 ~ R 積分。可以得到 dRωM 4π2 4??? （ 1） 利用剛體動力學(xué)中的轉(zhuǎn)動定律 tωJM d/d? ，其中 J 為圓盤轉(zhuǎn)動慣量，現(xiàn)在 2/2mRJ ? 。把（ 1）式代入轉(zhuǎn)動定律分離變量后兩邊積分，最后得到 t 秒時圓盤的旋轉(zhuǎn)角速度為 )πe xp ( 20 md tRηωω ??? ? 3. 3. 3 兩個長圓筒共軸套在一起，兩筒的長度均為 L ，內(nèi)筒和外筒的半徑分別為 R 1 和 R2 ，內(nèi)筒和外筒分別保持在恒定的溫度 T 1 和 T2 ，且 T1 T2 ，已知兩筒間空氣的導(dǎo)熱系數(shù)為 ? ，試證明每秒由內(nèi)筒通過空氣傳到外筒的熱量為 )()/ln( π2 2112 TTRR κLQ ??? 〖分析〗： 在這里的溫度梯度不是常數(shù)，即 )/()(d/d 2121 RRTTrT ??? 否則 , 若把內(nèi)筒和外筒之間的空間分割為一系列厚度相等的圓柱殼層。 按照 trLTκQ dπ2drdd ????? 這一計算公式 , r 從 1R 逐步變化到 2R , 則在 td 時間內(nèi) , 由內(nèi)筒向外傳遞的熱量將逐步增加。這不符合穩(wěn) 態(tài)傳熱（ 在 td 時間內(nèi) , 在每一圓柱面上通過的熱量應(yīng)該是相等的 ）條件。 唯一的可能是在內(nèi)筒和外筒之間的溫度梯度不是常數(shù)。為此必須取半徑為 rrr d~ ? 的某一圓柱殼層為對象，研究它的傳熱過程。 〖解〗： 設(shè)在 td 時間內(nèi) , 由內(nèi)筒向外傳遞的熱量為常量 ??QtQ d/d 。現(xiàn)在取半徑 rrr d~ ? 的某一圓柱殼層為研究對象。 則 rLTκQ π2drd ????? TrLκrQ dπ2 d ??? 兩邊積分，可以得到 )()/ln(π2 2112 TTRRκLQ ??? 3. 3. 6 兩根金屬棒 A、 B 尺寸相同， A 的導(dǎo)熱系數(shù)是 B 的兩倍，用它們來導(dǎo)熱。設(shè)高溫處與低溫處的溫度保持恒定，求將 A、 B 并聯(lián)使用和串聯(lián)使用時熱傳遞能量之比 ( 設(shè)棒的側(cè) 面是絕熱的 )。 〖分析〗： 對于一個存在穩(wěn)定熱流的均勻棒可以將傅里葉定律表示為熱歐姆定律，也就是說 ALTκtQ ???dd （其中 ALκ , 分別是金屬棒的熱導(dǎo)系數(shù)、長度和截面積）可以被改寫為 TTT IRU ?? （ 1） 其中 TUT ?? 稱為溫壓差（相當(dāng)于歐姆定律中的電勢差）， κALRT /? 稱為熱阻（相當(dāng)于電阻）， tQIT d/d? 稱為熱流（相當(dāng)于電流）。（ 1）式稱為熱歐姆定律。我們可以利用它來解決一些類似于串、并聯(lián)的傳熱問題。 〖解〗： 設(shè) A 、 B 金屬棒的導(dǎo)熱系數(shù)分別是 21 κ,κ ，熱阻分別是 21, TT RR ，它們的串聯(lián)熱阻和并聯(lián)熱阻分別為 并串 TT RR , ?？紤]到 21 2κκ ? ，則 2212121 2 3A κL)κκ κκ(ALRRR TTT ??????串 （ 2） 2212122122121 3 A κL)κκ κκ(LAAκκ LRR RRRTTTTT ??????????并 （ 3）（ 2）式被（ 3）式除，可以得到 并串 TT RR )2/9(? 3. 3. 7 半徑 ?a 的鈾球，在原子裂變過程中以體積熱產(chǎn)生率 33 ???H 均 勻 地 、 恒 定 不 變 地 散 發(fā) 出 熱 量 。 已 知 鈾 的 熱 導(dǎo) 率 11 KmW46 ???κ ，試問達穩(wěn)態(tài)時，鈾球的中心與外表面間的溫度差是多少 ? 〖分析〗： 對于球體內(nèi)部有恒定不變地均勻散發(fā)出熱量的傳熱問題，它達到穩(wěn)態(tài)的條件是：單位時間內(nèi)，從半徑為 r ~ rr d? 的球殼向外傳遞的熱量，應(yīng)該等于單位時間內(nèi)以 r 為半徑的球內(nèi)所產(chǎn)生的總的熱量。 假如前者小于后者，鈾球內(nèi)部溫度會升高，穩(wěn)態(tài)尚未達到；假如后者小于前者，鈾球內(nèi)部溫度會降低，穩(wěn)態(tài)仍然未達到。 〖解〗： 現(xiàn)在以半徑為 r~ rr d? 的球殼為研究對象，設(shè) r 及 rr d? 處的溫度分別為 TrTrT d)(),( ? 。由于球殼內(nèi)、外表面之間存在溫度梯度，有熱量從球殼向外傳輸，球殼通過的熱量 2π4dddddd rrTAzTtQ ???????? ?? 達到穩(wěn)態(tài)時球殼在單位時間內(nèi)透過的熱流應(yīng)該等于以 r 為半徑的鈾球在單位時間內(nèi)產(chǎn)生的熱量 （假如前者小于后者，鈾球內(nèi)部溫度會升高，穩(wěn)態(tài)尚未達到），所以 23 π4ddπ34 rrTrH ???? ? rrHT aTT a d3d 00 ??? ? )0(213 220 ????????? ?? HaaHTT a 3. 5. 1 熱容為 C 的物體處于溫度為 0T 的媒質(zhì)中，若以 0P 的 功率加熱，它所能達到的最高溫度為 1T 。設(shè)系統(tǒng)的漏熱遵從牛頓冷卻定律，試問加熱電路切斷后，物體溫度從 1T 降為 2/)( 01 TT ? 時所需的時間是多少 ? 〖分析〗： 牛頓冷卻定律可以表示為 )(d/d 0TTatQ ??? 其中 0T 為環(huán)境溫度。若以 0P 的功率加熱，它所能達到的最高溫度為 1T , 這說明 0P 的功率加熱恰好被 1T 溫度時物體向環(huán)境的漏熱相平衡 ,因而溫度不再上升，由此可以定出 a 。 〖解〗： 從上面的分析可以得到如下關(guān)系： )(d/d 0TTatQ ??? ， )( 010 TTaP ?? 另外又有 TCQ dd ? 將上述 3 個公式聯(lián)立后積分， 02/)(0010 d)(d 101 TTTP TTCt TTTt ????? ?? ? 最后得到 0 012ln PTTCt ??? 3. 6. 5 試估計宇宙射線中質(zhì)子抵達海平面附近與空氣分子碰撞時的平均自由程。設(shè)質(zhì)子直徑為 10 –15 m ，宇宙射線速度很大。 〖分析〗： 這個問題的情況和上一題十分類似，碰撞截面可以利用 4/π 2dσ? 公式，平均自由程可以利用 nσ/1?? 公式。這里的 d 就是空氣分子的有效直徑，簡單地認(rèn)為 219 m10??σ 。而 n 是空氣的分子數(shù)密度，簡單認(rèn)為 325 m10?n 。 〖答〗： m106? 。 3. 6. 6 從反應(yīng)堆 ( 溫度 K0004?T ) 中逸出一個氫分子 ( 有效直徑為 m1010?? ) 以方均根速率進入一個盛有冷氬氣 ( 氬原子的有效直徑為 10?? ，氬氣溫度為 300 K ) 的容器，氬原子的數(shù)密度為 325 ? 。試問： (1) 若把氫分子與氬原子均看作剛性球，它們相碰時質(zhì)心間最短距離是多少 ? （ 2） 氫分子在單位時間內(nèi)受到的碰撞次數(shù)是多少 ? 〖分析〗： （ 1）分子之間相碰時質(zhì)心間最短距離就是分子碰撞有效直徑，對于剛性分子，它就是兩個相碰分子的半徑之和。（ 2）在計算分子之間碰撞的平均頻率時要用到相對運動平均速率 12v 。對于溫度相同的同種分子 vv 212? ，但是對于異種分子，特別是平均速率不相同的分子之間的碰撞， vv 212? ，我們可以這樣利用近似方法得到它。把 ‘ 1’ 分子相對于‘ 2 ’ 分子的相對運動速度矢量寫為 2112 vvv ?? 其相對運動 速率的平方 221212212 )()( vv ??? vv 222121 vvvv ???? （ 1） 取平均值 222121222121212 22 vvvvvvvv ????????v （ 2） 上式最右邊第二項表示一個分子的速度在另一個分子速度方向上的投影的平均值的 2 倍，而 ?? c o sc o s 212121 ???? vvvvvv （ 3） 因為（ 3）式中的余弦函數(shù)是偶函數(shù)，它的平均值為零，所以（ 1）式可以表示為 22212221212 vvv ???? vv 又有如下近似條件可以利用 ? ?212212 vv ? ， 2121 )(vv ? ， 2222 )(vv ? 所以 222112 )()( vvv ?? （ 4） 利用這一公式可以計算相對運動平均速率。 〖解〗： （ 1）對于 剛性分子，氫分子與氬原子相碰時質(zhì)心間最短距離也就是氫分子與氬原子碰撞的有效直徑 101010AH ??? ??????d （ 5） （ 2）從反應(yīng)堆中逸出的一個氫分在單位時間內(nèi)受到的氬原子平均碰撞總次數(shù)為 AHAHAAH vσnZ? （ 6） 在上面的式子中，所有下標(biāo) H 表示是氫分子的物理量，所有下標(biāo) A 表示氬 原子的各物理量，下標(biāo) HH 表示氫分子相對于氫原子的各物理量，下標(biāo) AH 表示氫分子相對于氬原子的各物理量。顯然， 4/π 2 AHAH dσ ? （ 7） 因為已知氫分子是以方均根速率從反應(yīng)堆逸出，所以 HHH π3mkTv ? （ 8） 利用（ 4）式可以得到分子束中的氫分子相對于氬原子的平均速率為 AAHH2A2HAH π83 mkTmkTvvv ???? （ 9） 現(xiàn) 在 已 經(jīng) 知 道 K0004H ?T ， K300A ?T ， 27H ????m ， ??m kg1027?? ， 325A ??n 。將上述數(shù)據(jù)以及（ 5）式、（ 7）式、（ 9）式一起代入（ 6）式可以得到氫分子在單位時間內(nèi)受到的平均碰撞總次數(shù) 110AH ??Z 3. 7. 1 某種氣體分子的平均自由程為 10 cm ，在 10 000 段自由程中， （ 1）有多少段長于 10 cm ?（ 2）有多少段長于 50 cm ? （ 3）有多少段長于 5 cm 而短于 10 cm ? （ 4）有多少段長度在 cm 與 10 cm 之間 ? （ 5）有多少段長度剛好為 10 cm ? 〖分析〗： 以下兩個有關(guān)概率的概念是等價的：“一個分子自一次碰撞后又行進路程 x而還沒有被碰撞的概率”；“在許多段長度不同的自由程中，長度大于自由程 x 的概率”。因此，分子按照自由程的分布 )/exp (0 ?xNN ?? 也可以理解為：在 0N 段自由程中，長度大于 x 的自由程數(shù)為 N 。 〖解〗： （ 1）在 10 000 段自由 程中