【文章內(nèi)容簡介】 裂總數(shù)為 2(2l+1)(對每一個 m 值存在 ??177。E 兩個能量值，不同 m 值有 2l+1 個 )。 ※ 167。 均勻磁場 下 中 子 自由 飛行 1, 中子極化矢量在磁場中的進(jìn)動。 中子自旋為 1/2,并有一反常磁矩 n? ? ??? ， ? ?? 核磁子。于是，磁場中自由中子 Hamilton 量 H（不計動能部分）為 nH B B? ? ?? ? ? ? ? () 設(shè)中子的自旋態(tài)為 |λ，則中子極化矢量的運動方程為 dP dd t d t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 ,H H Hi i i? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 216 由于等式 ? ?,2A i A? ? ???? ? ??? ，現(xiàn)在矢量 nAB?? ，即得 P? 在磁場中的進(jìn)動方程 ? ?LBdP ePdt? ???? () 這里 2LnB???是 Larmor 進(jìn)動 的 頻率，B Be B?為磁場方向的單位矢量．由這個方程可知， 中子極化矢量 P? 將繞磁場方向作右手進(jìn)動運動，其進(jìn)動頻率為 Larmor 頻率。 2, 旋量疊加與旋量干涉。 中子干涉量度學(xué)（ Neutron Interferometry） 1。 討論中子通過板 狀均勻磁場的問題。這時 22 nHB???? ? ? ? ? () 設(shè) ? ?,insr?和 ? ?,outsr?分別代表射入和透出板狀磁場時中子的 狀態(tài)矢量。若不記板狀磁場界面上中子波反射損失， 則 態(tài)矢模長不變， 得 2ex p ( )2i Ho u t i n n i nieB?? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ????? 由于 H 的空間部分和自旋部分可交換，可以將態(tài)矢的空間部分分離掉，得到自旋部分為 ? ? ( ) ex p ( )2ni Bi n i no u t is e s s? ? ?? ? ? ? ??? ??? ? ? ????? （ ） 這里 LBe? ??? ， τ為中子在板狀磁場中穿行的時間，于是 ρ即為在磁場期間中子極化矢量進(jìn)動轉(zhuǎn)過的總角度。利用前一章中有關(guān)公式，上 1 Neutron Interferometry, edited by U. Bonse and H. Rauch, Clarendon, Oxford, 1979。 H. Rauch, ., Physics Letters, 54A, No. 6, 425 (1975)。 J. Summhammer, ., Phys. Rev. A, Vol. 27, 2523 (1983)。 217 式即為 ? ? 11co s ( ) s i n ( )( ) ( )22L L B i no u ts i e s? ? ? ? ? ? ???? ? ????? 值得注意的是這里的表達(dá)式中有個 1/2 因子。在自旋態(tài)矢如上變化的同時，極化矢量 P 的變化可如下求得。因為 ? ? ? ?( ) , ( )i n i n o u t o u ti n o u tP s s P s s? ? ? ? ? ??? () 可以證明，在 outP 和 inP 之間，由一個三維空間轉(zhuǎn)動相聯(lián)系 ( , )ou t B inP R e P?? () 這里 ( , )BRe? 表示繞 Be 方向轉(zhuǎn)過 ? 角的空間轉(zhuǎn)動變換，是一個 33? 的正交矩陣。 證明 1: 利用群論中常見的公式 ? ? ? ? ? ?1n r n n rU e e U e R e e? ? ? ? ??? ? ? 這里 ? ?nUe? 是繞 ne 方向轉(zhuǎn) ? 角的任一 ? ?2SU 轉(zhuǎn)動， ? ?nRe? 是與其相應(yīng)的三維空間轉(zhuǎn)動。 re 為任一矢量。于是可得 ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2222111()()()()iiou t r in riniir ininr ininin rinin r in rP e s e e s es e e e ss R e ss s R eP R e R P e? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ????? ? ??????? ?????? ????? ? ? ??? 這里用到了 ? ?R? 的正交性質(zhì)，即轉(zhuǎn)置矩整等于逆矩陣。 證畢。 證明 2: 先證明 ? ? ? ? ? ?1 3U n r U n R n r? ? ? ? ??? ? ? 考慮有限小轉(zhuǎn)動 ? ?? ??? ，這時左邊為 218 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?13222,22U n r U n I i n r I i nr i r nr i i r nr n r R n r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 如果轉(zhuǎn)角為無窮小，則推導(dǎo)中幾步近似等號將嚴(yán)格成立。接著，繼續(xù)繞同一轉(zhuǎn)軸 n 不斷進(jìn)行無窮小轉(zhuǎn)動。這些無窮小轉(zhuǎn)動相乘時，指數(shù)可以相加，就得到有限轉(zhuǎn)動 的 公式。 接著， 再證極化矢量之間的關(guān)系 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?22111()()()iiou t ininininininin inP r s e e s rs U rU ss R r sP R r R P r? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ????? ? ??????? ????? ? ? ??? 證畢。 總之，當(dāng)中子穿過板狀磁場時，其自旋波函數(shù)經(jīng)受一個 ? ?2SU 變換 U ，而同時極化矢量 則 經(jīng)受與此 ? ?2SU 相應(yīng)的空間轉(zhuǎn)動 ? ?3RU。 舉兩個例子說明。其一為一單色熱中子束，在中子干涉儀（由整塊柱狀單晶硅挖成 “山 ”字形做成）的 A 點由于 Laue 散射而被分解成透射和衍射兩束，然后 分別在 B 和 C 點經(jīng)過反射，交匯于 D 點。其中一束穿過一個橫向板狀均勻磁場 B 區(qū)域，距離為 l 。假定從 A 到 D這兩條路徑除磁場外 ，程差 完全 相等。 在 入射 中子 的 極化方向平行于磁場 的 情況下，求出點 D 的強(qiáng)度依賴于 B 、 l 和中子波長 λ的關(guān)系。 解：設(shè) AC 束前進(jìn)方向為 y， xB Be? ，按題設(shè) ? ?1, 0, 0in ou tPP?? ，于是 ? ? 1112ins? ??? ????。由于兩條空間路徑相同，且中子不帶電荷，磁場 219 對中子空間波函數(shù)不起作用， 加之程差 完全 相等， 故空間波函數(shù)對 D點的干涉不起作用 。 D 點干涉強(qiáng)度只決定于自旋波函數(shù)的相干疊加。它正比于 22( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 )200( , ) ( , ) ( , ) ( , )xiD D D Ds t s t s t e s t??? ? ? ??? ? ? ? ?? ?22222111 , 1 ( 1 ) ( 1 )2 1111 , 1 22 14 c os4xxxxiiiieeee? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ?????? ??? ? ??? ??????? 即 22( ) ( 0 ) co s .4nDDBlI B I ? ? ????? ???? （ ） 值得注意的是 ，當(dāng) ACD 分支穿過這個磁場區(qū)時， 若選擇 l（或 B ） 使極化矢量 P 轉(zhuǎn)過 總角度 ρ=2π， 這時 out inPP? ， 但此 分支 自旋波函數(shù)并未完全還原，而是出一個 ? 的位相，使得 D 點的相干疊加呈現(xiàn)極小。這正是（此處為 1/2 自旋）波函數(shù)旋量性質(zhì)的體現(xiàn)： 波函數(shù)在空間轉(zhuǎn)動 2π時會出負(fù)號，只當(dāng) P 轉(zhuǎn)過 4π時它才完全還原。 中子干 涉量度學(xué)利用這種旋量干涉實驗證實了這一點： 中子的波函數(shù)的確是個旋量波函數(shù)。 例 2．非相對論中子的 自旋回波共振 （ spinecho） 。 在上例中子干涉儀中，如圖 放 置兩個 方向平行或反平行的板狀 磁場 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,B l B l， 則 D 點的波函數(shù)為 220 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1212001 2 1 22111 1 c os sin2 2 2 2D D D D I II D Dir r r r U U rU e ie??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ????? ????? ? ? ? ? ????????? ???? 這里 i i i Bie? ??? ，（ i=1,2） ,為兩個磁場區(qū)域中極化矢量的轉(zhuǎn)動角矢量（方向分別為兩個磁場方向），12e???為矢量 ? ?12??? 的單位方向矢量，??0? 為無磁場時態(tài)矢。 注意，只和自旋有關(guān)的 U 變換對空間局域態(tài)矢 Dr 不起作用。 于是 ，在 D 點 處 中子計數(shù) 強(qiáng)度 將正比于 2DDI ?? ? ? ? ?00DDr U U r???? ? ? ? ?? ?DDDrrr???? ????? ? ??????????? ????? ? ???????21 2 2 1 2220 1 2 2 1 21 1 c o s si n4 2 21 1 c o s si n4 2 2? ? ? ?? ? ? ?? 此 式即為 ? ?0 2 1 2co s4DDII ?????? ???? （ ） 這里 ? ? ? ? 200DDIr??正比于 無兩個磁場時 D 點 中子計數(shù)強(qiáng)度 。 如果兩個磁場的強(qiáng)度、長度相同，但方向相反，就成為中子自旋回波共振裝置 （實踐中，如 l、 B 不等，總可以調(diào)整產(chǎn)生磁場的線圈電流強(qiáng)度，使 D 點達(dá)到中子計數(shù)率的極大值即可），好象天平的兩臂，達(dá)到了平衡。這時 ? ?122 2 1 12 244 n B l B l k? ? ? ?? ??? ? ? ?。由于這是 位相 平衡，十分靈敏， 一旦在兩臂之一施加某種影響（比如在一段路徑上加入物質(zhì)薄層， 這相當(dāng)于加入移動位相的相移器），平衡極易遭破壞， D 點中子計數(shù)率將會明顯變化。由這種（以及類似的）安排，在中子干涉儀上完成了大量有關(guān)檢驗量子力學(xué)基本原理的實驗研究和實際測量，形成 221 了具有高精密度的中子干涉度量學(xué)。詳細(xì)情況可參見前面有關(guān)文獻(xiàn)。 3, 均勻磁場下入射自由電子的運動 —— Landau 能級 這時 ? ? 0Vr? ， zB Be? ， 矢勢 ? ?, 0, 0A By?? ， Hamilton 量 為 2 2212 x y zeBH p y p pc?????? ? ? ????????? () 注意 這里沒有略去 2A 項，即未做磁場的線性近似。 由于 H 中不顯含 x 、 z ，所以 相應(yīng)的正則動量分量 xp 、 zp 守恒。但 要 注意， 守恒的 xp 是正則動量， 不是機(jī)械動量xxeBP p yc??。實際上， x 方向 的 機(jī)械動量 xP 并不守恒 。只有 zp 既是正則動量又是機(jī)械動量。 于是只有 z 方向 速度恒定并可連續(xù)變化，而 x 方向 速度并不恒定 。因此 ， 雖然波函數(shù)可寫為 ? ? ? ? ? ?/, xzi p x p zx y z e y???? 此處 ? 指數(shù)上的 zp 不是 守恒力學(xué)量的算符，而是 其 本征值，具體數(shù)值由自由粒子的初條件決定。 注意， 由 規(guī)范變換導(dǎo)致的 ()式可知，此處 波函數(shù) ? 可以 有 一個任意 (不含時間和變數(shù) z 的 )相因子 ? ?,ief x y ce 的不確定性。 因此 ， 即便初 條件 給定了 xp 值 ，進(jìn)入磁場后也 不再確定。與此相應(yīng)， 將 此 ? ?,x y z? 表達(dá)式 代入 定態(tài) Schrodinger 方程 ， 化 簡 為關(guān)于 y 的諧振子方程 ，便 求得能量表達(dá)式 為 21()22zqB pEn c??? ? ? （ ）