【文章內容簡介】 裂總數(shù)為 2(2l+1)(對每一個 m 值存在 ??177。E 兩個能量值，不同 m 值有 2l+1 個 )。 ※ 167。 均勻磁場 下 中 子 自由 飛行 1, 中子極化矢量在磁場中的進動。 中子自旋為 1/2,并有一反常磁矩 n? ? ??? ， ? ?? 核磁子。于是，磁場中自由中子 Hamilton 量 H（不計動能部分）為 nH B B? ? ?? ? ? ? ? () 設中子的自旋態(tài)為 |λ，則中子極化矢量的運動方程為 dP dd t d t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 ,H H Hi i i? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 216 由于等式 ? ?,2A i A? ? ???? ? ??? ，現(xiàn)在矢量 nAB?? ，即得 P? 在磁場中的進動方程 ? ?LBdP ePdt? ???? () 這里 2LnB???是 Larmor 進動 的 頻率，B Be B?為磁場方向的單位矢量．由這個方程可知， 中子極化矢量 P? 將繞磁場方向作右手進動運動，其進動頻率為 Larmor 頻率。 2, 旋量疊加與旋量干涉。 中子干涉量度學（ Neutron Interferometry） 1。 討論中子通過板 狀均勻磁場的問題。這時 22 nHB???? ? ? ? ? () 設 ? ?,insr?和 ? ?,outsr?分別代表射入和透出板狀磁場時中子的 狀態(tài)矢量。若不記板狀磁場界面上中子波反射損失， 則 態(tài)矢模長不變， 得 2ex p ( )2i Ho u t i n n i nieB?? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ????? 由于 H 的空間部分和自旋部分可交換，可以將態(tài)矢的空間部分分離掉，得到自旋部分為 ? ? ( ) ex p ( )2ni Bi n i no u t is e s s? ? ?? ? ? ? ??? ??? ? ? ????? （ ） 這里 LBe? ??? ， τ為中子在板狀磁場中穿行的時間，于是 ρ即為在磁場期間中子極化矢量進動轉過的總角度。利用前一章中有關公式，上 1 Neutron Interferometry, edited by U. Bonse and H. Rauch, Clarendon, Oxford, 1979。 H. Rauch, ., Physics Letters, 54A, No. 6, 425 (1975)。 J. Summhammer, ., Phys. Rev. A, Vol. 27, 2523 (1983)。 217 式即為 ? ? 11co s ( ) s i n ( )( ) ( )22L L B i no u ts i e s? ? ? ? ? ? ???? ? ????? 值得注意的是這里的表達式中有個 1/2 因子。在自旋態(tài)矢如上變化的同時，極化矢量 P 的變化可如下求得。因為 ? ? ? ?( ) , ( )i n i n o u t o u ti n o u tP s s P s s? ? ? ? ? ??? () 可以證明，在 outP 和 inP 之間，由一個三維空間轉動相聯(lián)系 ( , )ou t B inP R e P?? () 這里 ( , )BRe? 表示繞 Be 方向轉過 ? 角的空間轉動變換，是一個 33? 的正交矩陣。 證明 1: 利用群論中常見的公式 ? ? ? ? ? ?1n r n n rU e e U e R e e? ? ? ? ??? ? ? 這里 ? ?nUe? 是繞 ne 方向轉 ? 角的任一 ? ?2SU 轉動， ? ?nRe? 是與其相應的三維空間轉動。 re 為任一矢量。于是可得 ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2222111()()()()iiou t r in riniir ininr ininin rinin r in rP e s e e s es e e e ss R e ss s R eP R e R P e? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ????? ? ??????? ?????? ????? ? ? ??? 這里用到了 ? ?R? 的正交性質，即轉置矩整等于逆矩陣。 證畢。 證明 2: 先證明 ? ? ? ? ? ?1 3U n r U n R n r? ? ? ? ??? ? ? 考慮有限小轉動 ? ?? ??? ，這時左邊為 218 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?13222,22U n r U n I i n r I i nr i r nr i i r nr n r R n r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 如果轉角為無窮小，則推導中幾步近似等號將嚴格成立。接著，繼續(xù)繞同一轉軸 n 不斷進行無窮小轉動。這些無窮小轉動相乘時，指數(shù)可以相加，就得到有限轉動 的 公式。 接著， 再證極化矢量之間的關系 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?22111()()()iiou t ininininininin inP r s e e s rs U rU ss R r sP R r R P r? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ????? ? ??????? ????? ? ? ??? 證畢。 總之，當中子穿過板狀磁場時，其自旋波函數(shù)經(jīng)受一個 ? ?2SU 變換 U ，而同時極化矢量 則 經(jīng)受與此 ? ?2SU 相應的空間轉動 ? ?3RU。 舉兩個例子說明。其一為一單色熱中子束，在中子干涉儀（由整塊柱狀單晶硅挖成 “山 ”字形做成）的 A 點由于 Laue 散射而被分解成透射和衍射兩束，然后 分別在 B 和 C 點經(jīng)過反射，交匯于 D 點。其中一束穿過一個橫向板狀均勻磁場 B 區(qū)域，距離為 l 。假定從 A 到 D這兩條路徑除磁場外 ，程差 完全 相等。 在 入射 中子 的 極化方向平行于磁場 的 情況下，求出點 D 的強度依賴于 B 、 l 和中子波長 λ的關系。 解：設 AC 束前進方向為 y， xB Be? ，按題設 ? ?1, 0, 0in ou tPP?? ，于是 ? ? 1112ins? ??? ????。由于兩條空間路徑相同，且中子不帶電荷，磁場 219 對中子空間波函數(shù)不起作用， 加之程差 完全 相等， 故空間波函數(shù)對 D點的干涉不起作用 。 D 點干涉強度只決定于自旋波函數(shù)的相干疊加。它正比于 22( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 )200( , ) ( , ) ( , ) ( , )xiD D D Ds t s t s t e s t??? ? ? ??? ? ? ? ?? ?22222111 , 1 ( 1 ) ( 1 )2 1111 , 1 22 14 c os4xxxxiiiieeee? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ?????? ??? ? ??? ??????? 即 22( ) ( 0 ) co s .4nDDBlI B I ? ? ????? ???? （ ） 值得注意的是 ，當 ACD 分支穿過這個磁場區(qū)時， 若選擇 l（或 B ） 使極化矢量 P 轉過 總角度 ρ=2π， 這時 out inPP? ， 但此 分支 自旋波函數(shù)并未完全還原，而是出一個 ? 的位相，使得 D 點的相干疊加呈現(xiàn)極小。這正是（此處為 1/2 自旋）波函數(shù)旋量性質的體現(xiàn)： 波函數(shù)在空間轉動 2π時會出負號，只當 P 轉過 4π時它才完全還原。 中子干 涉量度學利用這種旋量干涉實驗證實了這一點： 中子的波函數(shù)的確是個旋量波函數(shù)。 例 2．非相對論中子的 自旋回波共振 （ spinecho） 。 在上例中子干涉儀中，如圖 放 置兩個 方向平行或反平行的板狀 磁場 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,B l B l， 則 D 點的波函數(shù)為 220 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1212001 2 1 22111 1 c os sin2 2 2 2D D D D I II D Dir r r r U U rU e ie??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ????? ????? ? ? ? ? ????????? ???? 這里 i i i Bie? ??? ，（ i=1,2） ,為兩個磁場區(qū)域中極化矢量的轉動角矢量（方向分別為兩個磁場方向），12e???為矢量 ? ?12??? 的單位方向矢量，??0? 為無磁場時態(tài)矢。 注意，只和自旋有關的 U 變換對空間局域態(tài)矢 Dr 不起作用。 于是 ，在 D 點 處 中子計數(shù) 強度 將正比于 2DDI ?? ? ? ? ?00DDr U U r???? ? ? ? ?? ?DDDrrr???? ????? ? ??????????? ????? ? ???????21 2 2 1 2220 1 2 2 1 21 1 c o s si n4 2 21 1 c o s si n4 2 2? ? ? ?? ? ? ?? 此 式即為 ? ?0 2 1 2co s4DDII ?????? ???? （ ） 這里 ? ? ? ? 200DDIr??正比于 無兩個磁場時 D 點 中子計數(shù)強度 。 如果兩個磁場的強度、長度相同，但方向相反，就成為中子自旋回波共振裝置 （實踐中，如 l、 B 不等，總可以調整產(chǎn)生磁場的線圈電流強度，使 D 點達到中子計數(shù)率的極大值即可），好象天平的兩臂，達到了平衡。這時 ? ?122 2 1 12 244 n B l B l k? ? ? ?? ??? ? ? ?。由于這是 位相 平衡，十分靈敏， 一旦在兩臂之一施加某種影響（比如在一段路徑上加入物質薄層， 這相當于加入移動位相的相移器），平衡極易遭破壞， D 點中子計數(shù)率將會明顯變化。由這種（以及類似的）安排，在中子干涉儀上完成了大量有關檢驗量子力學基本原理的實驗研究和實際測量，形成 221 了具有高精密度的中子干涉度量學。詳細情況可參見前面有關文獻。 3, 均勻磁場下入射自由電子的運動 —— Landau 能級 這時 ? ? 0Vr? ， zB Be? ， 矢勢 ? ?, 0, 0A By?? ， Hamilton 量 為 2 2212 x y zeBH p y p pc?????? ? ? ????????? () 注意 這里沒有略去 2A 項，即未做磁場的線性近似。 由于 H 中不顯含 x 、 z ，所以 相應的正則動量分量 xp 、 zp 守恒。但 要 注意， 守恒的 xp 是正則動量， 不是機械動量xxeBP p yc??。實際上， x 方向 的 機械動量 xP 并不守恒 。只有 zp 既是正則動量又是機械動量。 于是只有 z 方向 速度恒定并可連續(xù)變化，而 x 方向 速度并不恒定 。因此 ， 雖然波函數(shù)可寫為 ? ? ? ? ? ?/, xzi p x p zx y z e y???? 此處 ? 指數(shù)上的 zp 不是 守恒力學量的算符，而是 其 本征值，具體數(shù)值由自由粒子的初條件決定。 注意， 由 規(guī)范變換導致的 ()式可知，此處 波函數(shù) ? 可以 有 一個任意 (不含時間和變數(shù) z 的 )相因子 ? ?,ief x y ce 的不確定性。 因此 ， 即便初 條件 給定了 xp 值 ，進入磁場后也 不再確定。與此相應， 將 此 ? ?,x y z? 表達式 代入 定態(tài) Schrodinger 方程 ， 化 簡 為關于 y 的諧振子方程 ，便 求得能量表達式 為 21()22zqB pEn c??? ? ? （ ）