【文章內(nèi)容簡介】 、低階、同階及等價無窮小量的定義 教學重點 ： 、低階、同階和等價無窮小的定義與判定及其應用 教學難點 ： 課 型 ： 講授課 課 時 ： 2課時 教學過程 一、 導入新課 考察極限xxx sinlim0? 觀察：當 x?0 時函數(shù)的變化趨勢 x(弧度 ) ... xxsin ... 當 x 取正值趨近于 0 時，xxsin?1，即??0limx xxsin=1； 當 x 取負值趨近于 0 時， x?0, x0, sin(x)0．于是 )( )sin(limsinlim 00 x xx x xx ??? ?? ???． 二、 講授新課 （二）兩個重要極限 10 0lim?x xxsin=1 特點： ① 它是“ 00 ”型 ② 1sinlim0 ????? （三角形 ? 代表同一變量） 思考： 1sinlim0 ?? xxx嗎？ 例 1 求??xlim xx 1sin? 解： 0lim?x xx2sin=0lim?x 222sin ?xx=2 注 ：??xlim xxsin? 1 ??xlim xxsin=??xlim xx sin1?=0 例 2 求??xlim xx 1sin? 解 ： ??xlim xx 1sin?=??xlimxx11sin=1 例 3 求0lim?x xx4sin3sin 解： 0lim?x xx4sin3sin=0lim?x[ xxxxx x 4sin4433 3sin ?? ]=43 （復習二倍角） ?2cos = ?? 22 sincos ? =2 1cos2 ?? =12 ?2sin ?2cos? = 2 2cos1 ?? ?2sin = 2 2cos1 ?? 例 4 求20 cos1lim x xx ?? 解：原式 =0lim?x 22 2sin2xx =0lim?x[21)22sin( 2 ?xx]=210lim?x[22sinxx]2 =21 注 ： 乘積的極限 ? 寫成極限的 乘積時，必須每個乘積的極限存在。 非弦函數(shù)化有弦函數(shù) 課堂練習（一） 求下列極限 0lim?x 22sinx x 0lim?x 224sinx x 0lim?x xx 2sin3 33 ??xlim xx 1tan? 0lim?xxx cot? 0lim?x 114sin ??x x 考察極限??xlim（ 1+x1 ） x 觀察 ： 當 x?+?時函數(shù)的變化趨勢 x 1 2 10 1000 10000 100000 100000 ... xx)11( ? 2 ... 當 x 取正值并無限增大時， xx)11( ? 是逐漸增大的，但是不論 x 如何大， xx)11( ? 的值總不會超過 3．實際上如果繼續(xù)增大 x．即當 x?+?時，可以驗證 xx)11( ? 是趨近于一個確定的無理數(shù) e＝ ...． 當 x??時，函數(shù) xx)11( ? 有類似的變化趨勢，只是它是逐漸減小而趨向于 e． 20 ??xlim（ 1+x1 ） x = e 特點：（１）??xlim (1+無窮小 )無窮大案 ，即 1? 型； （２）“無窮小”與“無窮大”的解析式互為倒數(shù)， e??? ???? )11(lim 推廣： ① ex xx ???10 )1(lim ② e??? ???10 )1(lim 例 5 ??xlim（ 1+ x21 ） x3 解：原式 =??xlim[ xx 2)211( ? ]23 = 23e 例 6 ??xlim（ 1+ x21 ） 23?x 解：原式 =??xlim[（ 1+ x21 ） 23?x ? （ 1+ x21 ） 2 ]=??xlim（ 1+ x21 ） x3 ???xlim（ 1+ x21 ） 2 = 23e 例 7 ??xlim（ 1+x3 ） x 解：原式 =??xlim（ 1+31x ） 33?x = 3e 例 8 ??xlim（ 1 x2? ） x 解：原式 =??xlim[1+（ x2? ） ]x = ??xlim[1+21x?] )2(2 ???x = 2?e 例 9 ??xlim（ xx??32 ） x 解：原式 =??xlim（ xx???3 13 ） x =??xlim(1 x??31 )x =??xlim(1+ 31?x )x =??xlim(1+ 31?x ) 3?x ? (1+ 31?x )3 = e 課堂練習（二） 26P 習作題 1（ 4） — （ 8） （ 三 ） 無窮小的比較 例：當 x? 0 時， ? =3x， ? =x2 ， ? = xsin 但0lim?x xx32 =0 0lim?x 23xx=? 0lim?x xx3sin=31 為了比較無窮小趨于零的快慢，引入無窮小階 定義：設某一極限過程中， ? 與 ? 都是無窮小，且 lim ?? = C （ 1）若 C=0，則稱 ? 是比 ? 高階的無窮小，記成 ? =0（ ? ） 也稱 ? 是比 ? 低階的無窮小。（ 2）若 C? 0，則稱 ? 與 ? 是同階無窮小。 特別：若 C=1，則稱 ? 與 ? 是等價無窮小，記為 ? ～ ? 等價無窮小在求兩個無窮小之比的極限時有重要作用。 常用的幾個等價無窮小代換： 當 0?x 時，有 xsin ～ x tanx～ x arcsinx～ x arctanx～ x ?1 cosx～ 22x ln(1+x) ～ x xe 1? ～ x 11 ??x ～ x21 例 10 求0lim?x xx4sin3sin 解：0lim?x xx4sin3sin=0lim?x xx43=43 例 11 求0lim?x 2cos1 x x? 解：0lim?x 2cos1 x x?=0lim?x 222xx=21 例 12 求0lim?x xx5sin2tan 解：0lim?x xx5sin2tan=0lim?x xx52=52 例 13 0lim?x 3sintan x xx? 解：0lim?x xx xx cos )cos1(sin 3 ?=0lim?x xxxxcos2132?? =0lim?x xcos21=21 注 ： 10 用等價代換時，必須對分子或分母的整體替換（或對分子、分母的因式進行替換） 20 分子或分母中若有“ +”“ ”號連接的各部分不能分別作替換。 三、 小結 掌握兩個重要極限，會運用兩個重要極限求極限 ， 理解高階、低階、同階及等價無窮小量的定義 ， 掌握判定等價無窮小量的充要條件及常用等價無窮小量 ， 會運用等價無窮小量求函數(shù)的極限 。特別地，用等價代換時，必 須對分子或分母的整體替換（或對分子、分母的因式進行替換），分子或分母中若有“ +”“ ”號連接的各部分不能分別作替換。 四、布置作業(yè) 26P 習作題 31P 習題二 7 選做： 31P 習題二 9 課 題 ： 167。 函數(shù)的連續(xù)性 教學目的 ： （含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。 ， 的性質（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并會應用這些性質。 教學重點 ： 的有關概念及其應用 教學難點 ： 1．點連續(xù)性及復合函數(shù)連續(xù)性 的概念及其應用 2． 函數(shù)的連續(xù)性的判定 課 型 ： 講授課 課 時 ： 2課時 教學過程 一、 導入新課 微積分學中研究種種不同性質的函數(shù)，其中有一類重要的函數(shù)，就是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)反映了自然界中普遍存在的連續(xù)變化現(xiàn)象，如氣溫的變化，河水的流動等等。 二、 講授新課 （一）函數(shù)連續(xù)性的定義 點連續(xù) 定義 1 設 y=f(x)在點 0x 的某鄰域上有定義，如果自變量的增量 0xxx ??? 趨于零時，對應的函數(shù)增量也趨于零，即 0)]()([l i ml i m0000 ?????? ???? xfxxfy xx 則稱 f(x)在點 0x 是連續(xù)的。 易知： x? ?0? 0xx? 0)]()([l i m000 ???? ? xfxfy xx? 即 )()(lim00 xfxfxx ??，于是有 定義 2 設函數(shù) y=f(x)在點 0x 的某鄰域內(nèi)有定義，若 )()(lim00 xfxfxx ??，則稱函數(shù) f(x)在點 0x 處連續(xù)， f(x)在點 0x 連續(xù)，必須滿足三個條件： （ 1） f(x)在點 0x 的一個鄰域內(nèi)有定義 （ 2） )(lim0 xfxx?存在 （ 3） 上述極限值等于函數(shù)值 )(0xf 只有一個條件不滿足，則點 0x 就是函數(shù) f(x)的間斷點。 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。若連續(xù)區(qū)間包括端點，那么函數(shù)在右端點連續(xù)是左連續(xù)，在左端點連續(xù)是右連續(xù)。 定義 3（ 間斷點的分類）：設 0x 是 )(xf 的一個間斷點，如果： （ 1） )(xf 的左右極限都存在，稱 0x 為 )(xf 第一類間斷點，當 ??0limxx)(xf??? 0limxx，則稱 0x 為 )(xf 的跳躍間斷點 （ 2） )(xf 的左右極限都存在，稱 0x 為 )(xf 第一類間斷點，當 )(lim0 xfxx?存在，但不等于 )(0xf ，則稱 0x 為 )(xf 的可去間斷點 （ 3）除（ 1）（ 2）以外的，稱 0x 為 )(xf 的第二類間斷點，當0limxx?)(xf =? ，稱 0x 為 )(xf 的無窮間斷點。 例 1 設??? ? ??? 1,1 10,)( 2 ?xx xxxf ，討論 f(x)在 x=1 處的連續(xù)性 解： ?f(1)=1 ??1limxf(x)= ??1limx2x =1 ??1limx f(x)= ??1limx(x+1)=2 即1lim?xf(x)不存在 x=1 是第一類間斷點，且為跳躍間斷點。 例 2 設????????0,10,)( 4xxxxxf ，討論 f(x)在 x=0 處的連續(xù)性。 解： ?f(0)=1 )0()(lim0 fxfx ?? ? x=0 是第一類間斷點，且為可去間斷點。 例 3 2)1( 1)( ?? xxf在 x=1 是什么間斷點。 解：函數(shù)2)1( 1)( ?? xxf在 x=1 處沒有定義，且21 )1( 1lim ?? xx=? 則 x=1 為 f(x)的無窮間斷點。 注 ： 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連綿不斷的曲線 。 （二）初等函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)的連續(xù)性 1）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，一切初等函數(shù)在定義域區(qū)間上是連續(xù)的。 2）分段函數(shù)，討論分段點 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 若 f(x)在點 0x 連續(xù)，則 )()(lim00 xfxfxx ?? 即求連續(xù)函數(shù)的極限，可歸結為計算函數(shù)值 . 例 4 求極限 )][ln(sinlim2xx ?? ] 解： )ln(sinx? 在 2??x 處連續(xù) ? )][ln(sinlim2xx ?? =ln(sin 2? )=ln1=0 注 ：基本初等函數(shù)均連續(xù) 復合函數(shù)求極限的方法 定理 1 設有復合函數(shù) )]([ xfy ?? ，若 )(lim0 xxx ??=a，而函數(shù) f(u)在 u=a 點連續(xù)，則 )]([lim0 xfxx ??= )()](lim[0 afxf xx ?? ? 例 5 求極限 x xx )1ln(lim0 ?? 解： ? x xx )1ln(lim0 ??= xx x10 )1ln(lim ??，復合函數(shù) xx 1)1ln(? 是由 lnu 和 u= xx1)1(?組成，又 xx x10 )1ln(lim ??=e，在 u=e 點 lnu 連續(xù)。 xx x 10 )1ln(lim ?? ? = 1ln