間接效用函數(shù)與支出函數(shù)(編輯修改稿)
2025-02-03 00:34 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )e tp u是關(guān)于 P的凹函數(shù) 即 ? ?0 , 1???有 ? ?39。39。( 1 ) ,( , ) ( 1 ) ( , )e p p ue p u e p u??????? ? ?證：設(shè) 39。39。( , )( , )( ( 1 ) , )x h p ux h p ux h p p u???? ??? ? ? ?則 ? ?39。( ( 1 ) , )( ( 1 ) )( 1 )( , ) ( 1 ) ( , )e p p up p xpx p xe p u e p u??????????? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?三 .謝潑特（ Shephard）引理 ( , ) ( 1 , , )iieh p u i np????ih為?？怂购瘮?shù) ( , )h p u的第 i個(gè)分量 121 1 2 2( , ) ( , )( , , )nnne p u ph p xp h h hp h p h p h??? ? ? ?證明： 兩邊對(duì) pi求偏導(dǎo) 1( , ) ( 1 , , )njijjiiheh p u p i npp ???? ? ??? ?在最小化的過程中 10njjj ihpp?????m in( 2 )()pxMs t u x u??? ? ??：L ( ( ) )px u x u?? ? ?最小化的一階條件： iiu ( h ( p , u ) )hp ????成本最小化時(shí):iiiiiL u ( x )0u ( x )pxxpx????? ? ???????n1 j 1 jnj1u ( h ( p, u ) )hu ( h ( p, u ) )njjjj iiihhpppp??????? ??? ? ???????iu ( h ( p , u ) ) = u p又 對(duì)任何 都成立故10njjj ihpp?????四、效用最大化與支出最小化的關(guān)系 m a x ( ) m in( 1 ) ( 2 )()u x p xMMs t p x m s t u x u????? ? ? ? ? ???命題 *( 1 )xM是的解，則 *()u u x? 時(shí)x*也是 (M2)的解。 命題 2. * ( 2)xM是設(shè) 的解，記 * ,m p x??則 x*也是（ M1）的解 五、重要等式 （一） ( , ( , ) )e p v p m m?證：設(shè) x*為 ( 2 )M 在 ( , )u v p m?時(shí)的解， 則其必為 ( 1 )M的解，故 *( , ( , ) )e p v p m p x m? ? ?即要想獲得最大效用 必定要花掉所有的收入 ( , ( , )
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