【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 數(shù)學(xué)表達(dá)式的例子，來(lái)佐證社會(huì)效用函數(shù)存在的“不可能性”。關(guān)于阿羅證明的過(guò)程從略。但其思想邏輯，已基本反映在“投票悖論”中。，不可能定理在邏輯上的問(wèn)題 ⑴，判斷一個(gè)函數(shù)存在與否？數(shù)學(xué)上只要兩個(gè)條件。一是函數(shù)是連續(xù)的，用集的語(yǔ)言叫連通且自反；二是自變量與因變量一一對(duì)應(yīng)，用公理表達(dá)就是，自(因)變量必須滿足關(guān)聯(lián)、順序、合同以及連續(xù)公理中的阿基米德公理。價(jià)值、效用、序關(guān)系，作為不定義的概念，就象平凡幾何中的點(diǎn)、線、面一樣，都是不證而自明的要素。其函數(shù)都由這些要素構(gòu)成。它們均滿足上述的兩個(gè)條件。因此，從這個(gè)意義上說(shuō)，效用函數(shù)是肯定存在的 Ven Neumaan ＆ Morgenstem在1945年用公理化方法嚴(yán)格證明了效用函數(shù)的存在。隨后，Debreu在1954年 、Rader在1963年也先后證明了效用函數(shù)的存在性。更早的工作是Eilenberg做出來(lái)的，Eilenberg在1941年就證明了類似的結(jié)果。盡管效用函數(shù)，可能存在多種數(shù)學(xué)表達(dá)式甚至沒(méi)有表達(dá)式，但都不是效用函數(shù)不存在的理由著名數(shù)學(xué)家辛欽也持相同的觀點(diǎn)，見辛欽的《數(shù)學(xué)八講》。 。因?yàn)樯鐣?huì)是“經(jīng)濟(jì)人”群體，“經(jīng)濟(jì)人”懂得如何在多種表達(dá)式中選擇最優(yōu)。至于最優(yōu)的表達(dá)式是什么，只與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)，而與存在多少種表達(dá)式無(wú)關(guān)。⑵，“A?B和B?C，從而A?C”，只在歐氏條件下是成立的；而在黎曼條件下不成立。推而廣之，“效用函數(shù)不存在”作為一個(gè)“猜想”，在歐氏條件下是成立的，但不等于在黎曼條件下也成立。關(guān)鍵是看效用所在的空間是否彎曲。按笛卡爾的思想，任何公理都可以化為幾何公理；阿羅公理當(dāng)然也不能例外。阿羅傳遞性公理，其實(shí)就是歐氏順序公理基礎(chǔ)上的合同公理。阿羅公理與歐氏幾何公理同態(tài)同構(gòu)。我們唯一需要證明的是，選擇的公理，應(yīng)該是非歐的而不應(yīng)是歐幾里德的。即，在理想的情況下是羅巴切夫斯基幾何，在大多數(shù)情況下是黎曼幾何。CCA圖2－2 封閉的序關(guān)系與“獨(dú)裁”的序關(guān)系封閉的序關(guān)系+“社會(huì)獨(dú)裁”=傳遞性公理ABB⑶，在黎曼幾何條件下，任何序關(guān)系都是封閉的，“投票悖論”序拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，正是這種封閉序關(guān)系的真實(shí)反映。在黎曼幾何條件下，阿羅傳遞性（順序）公理已經(jīng)失效，要確定A,B,C三者關(guān)系，只能通過(guò)分隔公理來(lái)確認(rèn)。根據(jù)分隔公理，必須首先確定A,B的關(guān)系，然后再確定C是在A,B 之間還是A,B之外。具體地說(shuō)，就是一要統(tǒng)一確定A,B,C序的方向，二是統(tǒng)一確定A,B,C序的起點(diǎn)和終點(diǎn)?？梢哉J(rèn)為，“投票悖論”封閉序的產(chǎn)生，其原因就是沒(méi)有“統(tǒng)一的效用觀，統(tǒng)一的起點(diǎn)和方向”所致。而“一致性公理”，則是序關(guān)系統(tǒng)一之后的另一種表現(xiàn)。這種統(tǒng)一序的方向、起點(diǎn)和終點(diǎn)的方法，其實(shí)就是“獨(dú)裁”。但要注意的是，這種“獨(dú)裁”，是“社會(huì)獨(dú)裁”而非“個(gè)人獨(dú)裁”。 ⑷，阿羅把“投票悖論”中的“社會(huì)獨(dú)裁”，直接等同于“一個(gè)人說(shuō)了算的獨(dú)裁”，而沒(méi)有注意兩者間的區(qū)別。他顛倒了原因與結(jié)果的因果關(guān)系。一般而言，“社會(huì)獨(dú)裁”是群體協(xié)商的結(jié)果，是一種協(xié)商后的“社會(huì)準(zhǔn)則，法規(guī)”；而“個(gè)人獨(dú)裁”，則完全是“一個(gè)人說(shuō)了算的個(gè)人強(qiáng)權(quán)”；兩者是不一樣的。古語(yǔ)云：“鶴蚌相爭(zhēng)，漁翁得利”。“投票悖論”中的“二擇一”，其實(shí)是一種“得利”的表現(xiàn)，它是一個(gè)“社會(huì)獨(dú)裁”，只不過(guò)它與“某個(gè)人的意愿”巧合而已。 ⑸，當(dāng)一種序的基本規(guī)則已定時(shí)，那么選擇只能服從規(guī)則，而不能反過(guò)來(lái)甚至否定規(guī)則。歸納起來(lái)，阿羅公理的矛盾，是“傳遞性”與“少數(shù)服從多數(shù)” 的矛盾?！皞鬟f性”與“少數(shù)服從多數(shù)”，作為兩個(gè)規(guī)則，在選擇中應(yīng)有優(yōu)先次序。其優(yōu)先次序的確定，應(yīng)具體問(wèn)題具體分析。一般而言，如果“傳遞性”是公理的基本規(guī)則，那么在選擇中應(yīng)處于絕對(duì)優(yōu)先地位；“少數(shù)服從多數(shù)”作為一個(gè)輔助規(guī)則，則只能處于次要位置。不能因?yàn)槟撤N結(jié)果，而對(duì)它們的次序和地位進(jìn)行任意曲解。一個(gè)很好的例子，是“關(guān)于時(shí)間的確定”。大堂里掛著三個(gè)鐘，三個(gè)鐘都用統(tǒng)一的原理計(jì)量時(shí)間，三個(gè)鐘均沒(méi)有誤差，其中一個(gè)指住“9:00”，其余兩個(gè)指住“10:00”。但此時(shí)能不能按“少數(shù)服從多數(shù)”確定，當(dāng)?shù)貢r(shí)間一定是“10:00”而非“9:00”？顯然是不能的。因?yàn)?，指住?:00”的可能是“當(dāng)?shù)乇本r(shí)間”，指住“10:00”的是“東京時(shí)間”。從時(shí)間的數(shù)值上說(shuō)，三個(gè)鐘均沒(méi)有指錯(cuò)。只不過(guò)“時(shí)間的起點(diǎn)”不一樣。但是，這種“少數(shù)”鐘的“獨(dú)裁”，并不是由“它”自己“專制”決定。它只能由當(dāng)?shù)氐摹碍h(huán)境，法規(guī)”決定。由社會(huì)的選擇決定。167。3，我們的猜測(cè)，幾何猜想由于，阿羅顛倒了問(wèn)題的因果關(guān)系；因此，“不可能定理”可能并不是經(jīng)濟(jì)學(xué)的“有效”定理！同時(shí)，效用函數(shù)存在性(猜想)是否與常理相悖，關(guān)鍵是看效用所在的空間是否彎曲。于是，我們猜測(cè)：如果效用是空間里的待定函數(shù)的話；那么由效用u與交換價(jià)值v張成的“曲面S”，應(yīng)能嵌在具有坐標(biāo)(x1,x2,x3)的歐氏三維空間里，并且滿足同時(shí)xxx3對(duì)u，v可微。于是，在某個(gè)r投影變換下，“S曲面”應(yīng)映照成一個(gè)“Edgeworth盒D”?！昂蠨”的對(duì)角線AB，是交換的契約曲線；契約曲線AB，是“S曲面”的“測(cè)地線AB”在“D”上的投影；“測(cè)地線AB”，是“曲面S”上的最短直線；AB既與u,v的空間有關(guān)，同時(shí)也與uv的空間有關(guān) 傳統(tǒng)的教科書認(rèn)為，契約曲線是無(wú)差異曲線切出來(lái)的。我們認(rèn)為，它存在邏輯上的矛盾。；AB上的每一點(diǎn)，都是一個(gè)“帕累托最優(yōu)”；而AB的方向。可以推斷，在無(wú)外部作用時(shí)，無(wú)差異交換的傳播，必定是沿測(cè)地線A→B運(yùn)動(dòng)的。r(v,u)x2圖3－1 E3中的曲面S在r映射下為E2 中的“Edgeworth 盒”0x3x1su曲線v曲線S曲面AB(v, u).(x1(v, u),x2(v, u),x3(v, u)).uBr(v,u)AvrDD平面 ，模型由于，市場(chǎng)是一個(gè)u與v的相互轉(zhuǎn)換， “S面”是一個(gè)u,v的組合； “S面” 就代表市場(chǎng)，市場(chǎng)就是“S面”；u,v滿足AB曲線最短傳播要求。因此，市場(chǎng)問(wèn)題，就是一個(gè)幾何問(wèn)題。它是AB曲線在“S”約束下求極值，是AB在“S”約束下求最優(yōu)路徑。它是AB在“S”約束下求“測(cè)地線”。但由于，“S面”是嵌在E3空間里的，曲面上AB長(zhǎng)度而ds2=|dr|2=dx12+dx22+dx32。又由于xxx3是u，v的可微函數(shù)，ds2=|dr|2， 因此，也有ds2=|dr|2=|dr||dr|=| rudu+ rvdv|| rudu+ rvdv|=rurudu2+2rurv dudv+ rv rv dv2.令guu=ruru，guv=rurv，gvv=rvrv，則ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2.于是，也有因此，SAB便是定義在集{u(v)}上的一個(gè)泛函。則AB的最優(yōu)路徑問(wèn)題，將轉(zhuǎn)化為求SAB在“Edgeworth盒”內(nèi)的變分具有ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2形式的“S面”，通常叫黎曼面。黎曼面上的v,u坐標(biāo)，叫曲坐標(biāo)。ds2叫黎曼距離。ds2是u,v在“S”約束下的拉格朗日函數(shù)。ds2應(yīng)有極值。保ds2不變的幾何，叫黎曼幾何。guu、guv、gvv叫空間度規(guī)系數(shù)。空間度規(guī)系數(shù)，決定曲面“S”的性質(zhì)。如果guu、guv、gvv是u，v的函數(shù)，則“S”就是曲面。 “S”為曲面，效用的空間就是彎曲的。如果guu、guv、gvv是與u，v無(wú)關(guān)的常數(shù)，則“S”為平面。“S”為平面，效用的空間就是平直的。平面是曲面的特殊形式。guv =0，表示u，v正交。因此，市場(chǎng)問(wèn)題，就是一個(gè)純粹的黎曼幾何問(wèn)題。它是SAB在“S”約束下求極值，是AB在“S”約束下求最優(yōu)路徑。是AB在“S”約束下求“測(cè)地線”。它是SAB在“Edgeworth盒”內(nèi)的變分。關(guān)于模型的解，見本文的第五、六、七部分。 　　　 167。4，效用空間的非歐性證明在20世紀(jì)初。這個(gè)非常有用的定理，就是Noether對(duì)稱。：在一個(gè)相互作用的力學(xué)系統(tǒng)里，有多少個(gè)守恒量，就有多少個(gè)守恒律，守恒量與守恒律是高度對(duì)稱的，對(duì)稱性導(dǎo)致相互作用律。這里，守恒量也叫不變?cè)?，?duì)稱性也叫對(duì)稱性規(guī)則。Noether對(duì)稱的思想，可用圖4—1表達(dá)。圖4－1 Noether對(duì)稱與相互作用律幾何圖形對(duì)稱性坐標(biāo)變換不變性守恒定律不變?cè)捎冢粨Q是一個(gè)買者與賣者的博弈，交換過(guò)程是一個(gè)u與v的相互轉(zhuǎn)換；因此，市場(chǎng)也是一個(gè)相互作用的力學(xué)系統(tǒng)。在這個(gè)力學(xué)系統(tǒng)里，Noether對(duì)稱也是成立的。根據(jù)Noether定理，我們可以考慮一個(gè)由u與v張成的“S面”的運(yùn)動(dòng)?？纯催@個(gè)“S面”的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在什么樣的不變?cè)约案@個(gè)不變?cè)嘘P(guān)的變換是什么？如果這個(gè)守恒元與歐氏幾何有關(guān)，則效用的空間就是平直的；如果這個(gè)守恒元與非歐幾何有關(guān)，則效用的空間就是彎曲的。，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)對(duì)稱，等效律或無(wú)差異守恒律，ds、ds2；…經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)對(duì)稱的存在，取決于我們對(duì)規(guī)律的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。如果我們能從規(guī)律的本質(zhì)出發(fā)，那么，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的對(duì)稱性是能夠證明的。從本質(zhì)上，所謂規(guī)律，就是與時(shí)間地點(diǎn)變化無(wú)關(guān)的現(xiàn)象；因此，市場(chǎng)的交換規(guī)律，應(yīng)與坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)（價(jià)值觀的變化）無(wú)關(guān)；與采用什么坐標(biāo)系（價(jià)值體系）無(wú)關(guān)；其運(yùn)動(dòng)的方向（價(jià)值體系的演變），都是等效 這里的等效，不是指經(jīng)濟(jì)效用相等，而是指在運(yùn)動(dòng)合同公理下的效果相同；運(yùn)動(dòng)合同公理也叫等效公理。等效公理在Hilbert劃分中為公理Ⅲ；至于其他公理的組成，我們下面的證明，是將其歸納為確定空間i的性質(zhì)。的或無(wú)差異的；…。只有滿足這些要求的，才是規(guī)律；否則，就不是規(guī)律。那么，滿足規(guī)律要求的運(yùn)動(dòng)變換是什么呢？我們先觀察“規(guī)律與坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)；其運(yùn)動(dòng)的方向，都是等效的或無(wú)差異的。”?？纯礉M足這一要求的幾何變換是什么？考慮坐標(biāo)系K’{0’。v’,u’}→K{0。 v,u }的運(yùn)動(dòng)；跟這個(gè)運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)的變換為A。ds圖4－2 運(yùn)動(dòng)合同過(guò)程K’→Ki1KuvA0ds’1iK’u’0’v’在K’{0’。v’,u’}中，存在復(fù)數(shù)ds’與標(biāo)積ds’2， ds’= dv’1’+du’i’. ，ds’2=12dv’2+2dv’du’1i +i2du’2；在K{0。 v,u }中，存在復(fù)數(shù)ds 與標(biāo)積ds2 ，ds= dv1+dui.，ds2=12dv2+2dvdu1i +i2du2。由于 K’→K與 K’→K的過(guò)程是等效的；所以有ds’=Ads ；dz=Ads’ ；于是ds’=Ads =AAds’=A2ds’ ；從而A2=1。當(dāng)A=1時(shí)，幾何變換為反演變換；而當(dāng)A=+1時(shí)，幾何變換為對(duì)稱變換。由于在平面上，對(duì)稱變換可以定義為一個(gè)平移加一個(gè)旋轉(zhuǎn)；而反演過(guò)程是一個(gè)1800的旋轉(zhuǎn)；因此，A2=1