【文章內容簡介】 矩陣 A 的第一行為 (a,b,c),a,b,c不全為 0,矩陣 ???????????KB63642321 ,并且0?AB , 求齊次線性方程組 0?AX 的通解 . (2022) 由 0?AB 得，Ⅰ） ? ? ? ? 3?? BrAr Ⅱ） B 的 3 個列 向量都是 0?AX 的解 ⑴ 9?k ，則 ? ? ? ? 12 ??? ArBr 2)( ?? Arn (1,2,3)T和 (3,6,k)T 構成基礎解系 （注： (1,2,0)T和 (0,0,1)T也構成基礎解系！ 由于 (3,6,k)T－ 3(1,2,3)T＝ (0,0,k9)T是解，故 (0,0,1)T也是解 (1,2,0)T＝ (1,2,3)T－ 3(0,0,1)T也是解） ⑵ 9?k ，則 ? ? 1?Br ，得 ? ? 21或?Ar ① ? ? 2?Ar ，則 ? ? 1n ?Ar－ ， (1,2,3)T是基礎解系 ② ? ? 1?Ar 則 ? ? 2n ?Ar－ ????????????????????????????000000cbacbaA 0?AX 與 0321 ??? cxbxax 同解 (b,a,0)T, (c,0,a)T 都是解，取其中非零解與 (1,2,3)T 構成基礎解系 （注：因為 (1,2,3)T是解， a+2b+3c=0,a,b,c 中不能有兩個為 0 所以 (b,a,0)T， (c,0,a)T都非零解） 問題：是否可以用 (b,a,0)T, (c,0,a)T構成基礎解系 答案：可能有危險 第 四 講 向量組的 線性關系與秩 例 下列各選項中哪個成立 ,哪個不成立 ? (A) 如果 ???1,?2,… ,?s,則對任意數(shù) c, c???1,?2,… ,?s. (B) 如果存在 c,使得 c???1,?2,… ,?s,則 ???1,?2,… ,?s. (C) 如果 ???1,?2,… ,?s,????1,?2,… ,?s,則 ?+???1,?2,… ,?s. (D) 如果 ???1,?2, … ,?s,?? ??1,?2, … ,?s, 則?+???1,?2,… ,?s. 如果 ???1,?2, … ,?s,???? ??1,?2, … ,?s, 問 題 ：?+???? ?1,?2,… ,?s. 答 :??+? ??1,?2,… ,?s. 例 14已知 ?可用 ?1,?2,…,?s 線性表示，但 不可用 ?1,?2,…,?s1線性表示．證明 ⑴ ?s不可用 ?1,?2,…,?s1線性表示； ⑵ ?s可用 ?1,?2,…,?s1,?線性表示． （ 2） 解：設 ????? ssss cccc ????? ?? 112211 ? 0?cs ????? ssss cccc ????? ?? 112211 ? ????? ssss cccc ????? ?? 112211(1 ? （ 1）用反證法 如果 ,1111 ????? ????? sss ?則 ??????? 11111111 ???? ????? ssssss cccc ?? 例 15??1,?2,?3,?線性無關 ,而 ?1,?2,?3,?線性相關 ,則 ?A) ?1,?2,?3,c?+?線性相關 . (B) ?1,?2,?3,c?+?線性無關 . (C) ?1,?2,?3,?+c?線性相關 . (D????1,?2,?3,?+c?線性無關 . 2022 年的一個題中 :??1?0, A?1=0, A?2=?1, A2?2=?1, 證明?1,?2,??3線性無關 . (看題解 ) 證明： A 是 3 階矩陣， ?1 是 3 維非零列向量，使得 01??A ，又 ?? 32, 滿足 ?? 12?A ， ?? 132 ?A ，證明 ??? 321 , 線性無關。 證：方法一（用定義法） 設 0332211 ??? ??? ccc （ 1） :)1(2A 0323222121 ??? ??? AcAcAc ，即 013 ??c ，得 03?c （ 1）化為 02211 ?? ?? cc A（ 1）： 012 ??c ，得 02?c （ 1）化為 011 ??c ，得 01?c 方法二： 01?? ， ?1 無關 ?? 12? （否則 ?? 12 c? ， ??2A ?? 11?cA ） 所以 ?? 21, 線性無關 又 ??? 213 ,? （否則 ??? 22113 cc ?? ， )0 132 ?? ??A 例 14已知 ?可用 ?1,?2,…,?s 線性表示，但 不可用 ?1,?2,…,?s1線性表示．證明 ⑴ ?s不可用 ?1,?2,…,?s1線性表示； ⑵ ?s可用 ?1,?2,…,?s1,?線性表示． ⑴ ? r(?1,?2,… ,?s1,?s,?)=r(?1,?2,… ,?s1,?s). ⑵ ? r(?1,?2,… ,?s1,?)=r(?1,?2,… ,?s1)+1. 例 15中的向量組的秩 : ????????????????1001424527121203121301?????????????????04000101103133021301????????????????00000010003133021301 r(?1,?2,??3,?4,?5)=3. 例 2 已知 (2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)線性相關 ,并且 a?1,求 a. (05) ?????????????????????????????????????????????????????????aaaaaaa2100021001110321111001110210032111121132114322 秩 4 得 12a=0 a=21 例 3 設 ?1=(1+a,1,1)， ?2=(1,1+b,1)， ?3=(1,1,1b)，問 a,b 滿足什么條件時 r(?1,?2,?3)=2? BabababbbbbaTTT ??????????????????????????????00111111111111),( 321 ??? 1) 若 b=0 Ｂ＝??????????????????????? 00001110000111aaaa 0,0 ?? ab 時秩＝２ ２） 0?b?????????????????????????????????????????100110111001101110110111abbabbabababB ??? ??? 10ab時秩為２ 例 4 設 ?1=(1+λ， 1， 1)， ?2=(1， 1+λ， 1)， ?3=(1， 1， 1+λ )，?=(0，λ ,λ 2)． ① λ為何值時， ?可用 ?1， ?2， ?3線性表示，并且表示方式唯一？ ② λ為何值時， ?可用 ?1， ?2， ?3 線性表示 ，并且表示方式不唯一？ ③ λ為何值時， ?不可用 ?1， ?2， ?3線性表示？ ??????????????????????????????????????????????????????????????????????