數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的美學(xué)思想(編輯修改稿)
2025-02-02 15:12 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (2) 利用函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性 借助積分中函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，獲得簡(jiǎn)捷的解題途徑，這是對(duì)稱(chēng)美方法的又一妙用。 例 2 設(shè) C為對(duì)稱(chēng)于坐標(biāo)軸的平面光滑閉曲線(xiàn)，證明 ? ?????c y3y3 0dy)y2xexy(dx)eyx( 易知積分與路徑無(wú)關(guān)。 設(shè) D為曲線(xiàn) C圍成的平面閉區(qū)域 , 則由格林公式 ? ????c yy dyyxexydxeyx )2()( 33?? ?? ??????D D Ddx dyxdx dyydx dyxy ,)( 3333 返回 因?yàn)榉e分域 D關(guān)于 x軸對(duì)稱(chēng)，又 y3 是奇函數(shù)， 。03?? ?Dd x d yy同理， 所以 ?? ?D3 0d x d yx(3) 利用輪換對(duì)稱(chēng)性 根據(jù)研究問(wèn)題中解析式結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性，由一個(gè)結(jié)論迅速地得出相似結(jié)論，這不僅能縮減冗長(zhǎng)繁瑣的計(jì)算或證明過(guò)程，而且給人以對(duì)稱(chēng)美的享受。 例 3 計(jì)算 ?? ??S zdx dyydz dxxdyd z 橢球的外表面。 1: 222222???czbyaxS 返回 作廣義極坐標(biāo)變換 , 則 ???? s inbry,c o sarx? ? ?? ? ?20 10 212 drrrdcab?? ?S zdx dy ????D 2222byax1d x d yc2)1:( 2222?? byaxDcab?? ?4返回 用輪換對(duì)稱(chēng)法，即得 ?? ?S xdydz。4abc?? ?? ?S ydz dxbac4 ??于是 ?? ??S zdx dyydz dxxdyd z)(4 cabbcaabc ??? ?返回 (4) 挖掘潛在的對(duì)稱(chēng)關(guān)系 有的問(wèn)題從表面上看，似乎與對(duì)稱(chēng)無(wú)關(guān)。 但如果仔細(xì)分析，尋找潛在的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，就能很快找到突破口 , 使問(wèn)題迎刃而解。 例 4 計(jì)算 ???20 2)t g x(1dx若直接 令 , 則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。 tgxt ?因?yàn)? f(x) = 在 [0, ]上的原函數(shù)不是初等函數(shù)， 2)tg x(11? 2?所以不能用一般定積分的方法來(lái)計(jì)算。 返回 于是尋找有無(wú)對(duì)稱(chēng)點(diǎn) , 容易發(fā)現(xiàn) 1)x2(f)x(f ????即在區(qū)間 [0, ]上橫坐標(biāo)關(guān)于 的任意兩個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn) x與 相應(yīng)的函數(shù)值關(guān)于 也對(duì)稱(chēng)， 2? 4?x2 ?? 21故 ???20 2)t g x(1dx ? ??? 4024)()(? ?? dxxfdxxf?? ? ????? 4040 40 41)(1()(?? ? ?dxdxxfdxxf返回 (5) 構(gòu)造對(duì)稱(chēng)關(guān)系 有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，原來(lái)并不具有對(duì)稱(chēng)性，在解題過(guò)程中，如果善于根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，構(gòu)造出某種對(duì)稱(chēng)關(guān)系，便能使問(wèn)題很快得到解決。 例 5 計(jì)算 ?? ??D22 dx dy)]yx(yf1[x其中 D為 y = 1, x = － 1 所圍成的區(qū)域 , f是一連續(xù)函數(shù) 。 ,xy 3?積分區(qū)域不具 有對(duì)稱(chēng)性，作曲線(xiàn) , 將 D分成 D1, D2兩部分 , 3xy ?? 返回 于是 D1與 D2 分別關(guān)于 y軸和 x軸對(duì)稱(chēng)。 又因?yàn)槭?x或 y的奇函數(shù) , 所以 )yx(x y f 22 ??? ?D22 dx dy)yx(x yf ???? ??21 DD? ? ? ?? 10 223 3 )(y y dxyxxyfdy ? ?? ? ?? 0 1 2233 )(xxdyyxx y fdx=0 從上述解題過(guò)程中都放射出對(duì)稱(chēng)美思想的光芒，正如 德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾 (Weyl)所說(shuō)： “美和對(duì)稱(chēng)緊密相關(guān)” 。 返回 三、和諧美 數(shù)學(xué)中的和諧美是指數(shù)學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、部分與整體之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系或共同規(guī)律，從而形成本質(zhì)上的嚴(yán)謹(jǐn)與統(tǒng)一。 和諧指事物之間具有勻稱(chēng)、有序、明確的變化規(guī)律。 1. 嚴(yán)謹(jǐn)是和諧的基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)自然顯現(xiàn)出它的和諧。為了追求嚴(yán)謹(jǐn)，消除數(shù)學(xué)中的不和諧因素，數(shù)學(xué)家們一直在努力。 數(shù)學(xué)史上所謂的 “ 數(shù)學(xué)危機(jī) ” 正是某些數(shù)學(xué)理論不和諧所致。 返回 第一次危機(jī) 無(wú)理數(shù)的誕生。 第二次危機(jī) 實(shí)數(shù)理論得以建立 , 導(dǎo)致集合論的誕生。 第三次數(shù)學(xué)危機(jī) “羅素悖論”和其它悖論的產(chǎn)生，為了避免悖論，策梅洛 (Zermelo)在 1908年提出了一種公理系統(tǒng)，后經(jīng)弗蘭克爾 (Fraenkel)在 1921年加以改進(jìn)，形成了目前公認(rèn)的彼此無(wú)矛盾的公理系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng) ZF公理系統(tǒng)。 函數(shù)的連續(xù)性，是當(dāng)今數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要基本概念，然而它的現(xiàn)代定義的形成，也經(jīng)歷了一個(gè)從不和諧到和諧的漫長(zhǎng)過(guò)程。 18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為，由一個(gè)單獨(dú)表達(dá)式給出的函數(shù)是連續(xù)的，而由幾個(gè)表達(dá)式給出的函數(shù)是不連續(xù)的。例如 , 歐拉函數(shù) 返回 ???????.0xx,0xx)x(f是不連續(xù)的，而由兩個(gè)分支組成的雙曲線(xiàn) (反比例函數(shù) )， 因?yàn)樗怯梢粋€(gè)表達(dá)式 給出的，就認(rèn)為它是連續(xù)的。 x1y ?19世紀(jì)，傅立葉證明：定義在某個(gè)區(qū)間上的任意函數(shù)可表示成該區(qū)間上的正弦與余弦的無(wú)窮級(jí)數(shù)。 比如， ???????????????.x01,0x0,0x1)x(f返回 可表示為 )5 x5s i n3 x3s i n1 xs i n(4)x(f ?? ?????? ),(x ???? 這樣一來(lái)，上述函數(shù)依照歐拉的見(jiàn)解既不是連續(xù)的，同時(shí)又是連續(xù)的。 1821年，柯西對(duì)“連續(xù)”概念重新敘述，直至 1850年魏爾斯特拉斯給出“”形式的定義，才使得“連續(xù)”這一概念有了新的解釋。 2. 統(tǒng)一是和諧的標(biāo)志 統(tǒng)一是指數(shù)學(xué)中內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、章節(jié)與章節(jié)之間客觀存在的相互聯(lián)系。 返回 解析幾何中 , 引入極坐標(biāo)之后，橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)統(tǒng)一于公式 ???? c ose1ep平面上的二次曲線(xiàn)方程 0FEyDxCyB x yAx 22 ?????? 由于系數(shù) A, B, C, …, F 不同，其形態(tài)萬(wàn)千，但是歐拉通過(guò)坐標(biāo)變換，將它們化為下面九種標(biāo)準(zhǔn)形狀 : 返回 。1)4( 2222??byax (雙曲線(xiàn) ) 。0)3( 2222??byax (兩虛直線(xiàn)相交 ) 。1)2( 2222???byax(虛橢圓 ) 。1)1( 2222??byax (橢圓 ) 返回 .0)9( 2 ?x(兩重合直線(xiàn) ) 。0)8( 22 ?? ax (兩平行虛直線(xiàn) ) 。02)7( 2 ?? pxy (兩平行直線(xiàn) ) 。02)6( 2 ?? pxy (拋物線(xiàn)
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