大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及參考答案(編輯修改稿)
2025-01-04 08:42 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0， 2]上的均勻分布，求 在 (0,4)內(nèi)的概率密度函數(shù)。 2XY ?解 , 的分布函數(shù)隨機(jī)變量對(duì)于任意的實(shí)數(shù) Yy? ? ? ?yYPyF Y ?? ? ?yXP ?? 2? ? ,X 20的取值區(qū)間是因?yàn)?? ? .,Y 40的取值區(qū)間是所以。0)(,0 )1( ?? yFy Y時(shí)當(dāng)? ? 。)y(F,y Y 142 ?? 時(shí)當(dāng)? ? ,y 時(shí)當(dāng) 40 3 ??? ? ? ? ? ?yXyPyXPyF Y ?????? 2 ? ?dxxfyy X???221000ydxdx yy??? ??27 的分布函數(shù)所以，隨機(jī)變量 Y????????????.y,。y,y。y,)y(F Y4140200上式兩邊對(duì) y 求導(dǎo)數(shù)，即得 Y 的概率密度 ????? ???.,。y,y)y(f Y其它0404128 二、 4 一批產(chǎn)品中有 a件合格品與 b件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取兩次，方式為：（ 1）放回抽樣；（ 2）不放回抽樣。設(shè)隨機(jī)變量 X 及 Y寫(xiě)出上述兩種情況下二維隨機(jī)變量 (X,Y)的概率分布及邊緣分布 分別表示第一次及第二次取出的次品數(shù)， 并說(shuō)明 X與 Y是否獨(dú)立。 （ 1）放回抽樣 解 1122)( baa??j?i00XY2)( baab? )( baa?)( bab?)( baa? )( bab?2)( baab? 22)( bab?11)1)(( )1( ??? ? baba aa?j?i00XY)1)(( ??? baba ab )( baa?)( bab?)( baa? )( bab?)1)(( ??? baba ab )1)(( )1( ??? ? baba bb（ 2）不放回抽樣 X與 Y相互獨(dú)立 . X與 Y不獨(dú)立 . ? ?01, ?? jippp jiij ? ?01, ?? jippp jiij29 二、 ，每個(gè)球投入盒子的可能性 是相同的。設(shè)隨機(jī)變量 X及 Y分別表示投入第一個(gè)及第二個(gè)盒子 球的個(gè)數(shù)，求 (X,Y )的概率分布及邊緣分布 解 ),2,1,0,( 3),( 333 ??????? ? jijiCCjYiXPjii271273?j?i2732712782712732732732762730 0000027827122712276276271271XY11220033由此得 (X,Y)的二維概率分布如下： 30 二、 ，設(shè)隨機(jī)變量 X 表示第一次出現(xiàn) 的點(diǎn)數(shù) ,Y 表示兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的最大值，求 (X,Y)的概率分 布及 Y 的邊緣分布。 解 即 ? ? ? ?jijijiijijYiXP ???????????? .6,2,1,36,361, ?X， Y 的所有可能的取值為 1， 2， … ， 6. （ i i ）當(dāng) ji? 時(shí)， ? ? ? ? 36,12ijXiXPjYiXP ij?????? ??3616161 ???（ i）當(dāng) ji ? 時(shí)， ? ? ? ?jXiXPjYiXP ????? 2,)()( 2 jXPiXP ???X2 表示第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) , 31 Y X 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1/36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 2/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3/36 1/36 1/36 4/36 1/36 1/36 5/36 6/36 Y 的邊緣分布為： Y? ?jyP21 3 4 5 636112136536741361132 二、 7. 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X,Y）在矩形域 dycbxa ???? ,上服從均勻分布，求（ X,Y）的概率密度及邊緣概率密度。 X與 Y是 否獨(dú)立？ 解 （ X,Y）的概率密度 其它dycbxacdabyxf????????????, 0))((1),(X邊緣概率密度 ? ????? dyyxfxf X ),()(其它bxaab????????? 01Y邊緣概率密度 ? ????? dxyxfyf Y ),()( 其它 dyccd ????????? 01故 X與 Y是 相互獨(dú)立。 ? ? ),y(f)x(fy,xfYX ??因33 二、 8. 設(shè)二維隨機(jī)變量 （ X,Y） 在聯(lián)合分布列為 2 1 3 2 1 619118131 ? ?YX試問(wèn) 為何值時(shí)， X,Y才能獨(dú)立？ ??，? ? ? ? ?????? ??????? ??????? ?911819161219121 YX pp)Y,X(P解 ? ? ? ? ?????? ??????? ??????? ?18 118 191613118 131 YX pp)Y,X(P解得 ., 9192 ?? ??要使 X,Y獨(dú)立需滿(mǎn)足 34 二、 9：設(shè) (X,Y）的分布函數(shù)為： )3a r c t a n)(2a r c t a n(),( yCxBAyxF ???（ 1）確定常數(shù) A, B, C； （ 2）求 (X,Y）的概率密度； （ 3）求邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度。 X、 Y是否獨(dú)立？ 解 0)2)(2ar c tan(),( ?????? ?CxBAxF0)3ar c tan)(2(),( ?????? yCBAyF ?對(duì)任意的 x與 y，有 ,2,1 2 ?? ???? CBA（ 1） 1)2)(2(),( ???????? ?? CBAF? )0( ?A35 )3a r c t a n2)(2a r c t a n2(1),( 2 yxyxF ??? ???（ 2） ),(),( yxFyxf yx??????????????? 22 93)2a r c t a n2(1yxdxd ??222 93421yx ????? ?? ?xFX ),( ??? xF )2a r c t a n2(1 x?? ??? ?yFY ),( yF ??? )3a r c t a n2(1 y?? ???)( xf X ? ?xFX?)4(22x?? ??)( yf Y ? ?yFY?)9(32y?? ?X與 Y 的 邊緣密度函數(shù)為： X的 邊緣分布： （ 3） Y的 邊緣分布函數(shù)為： ∴ X與 Y是相互獨(dú)立的。 ).()(),( yfxfyxf YX??36 二、 (X,Y）的密度函數(shù)為： ?????????.yx.。y,xAe )yx(00 000 32或當(dāng)當(dāng)，?),( yxf求：（ 1）常數(shù) A； （ 4）求 (X,Y)落在區(qū)域 R： （ 2）分布函數(shù) F(x, y)； 解 ? ????????? d xd yyxf ),(?（ 1） ? ??? ?? ???0 0)32( dx dyAe yx?? ?? ??? ? ?? 0 30 2 dyedxeA yx 13121 ??? A 6?? A（ 2） 632,0,0 ???? yxyx 內(nèi)的概率。 （ 3）邊緣密度函數(shù)； 時(shí)，且當(dāng) ???????? yx 00? ? ??? y x vu d u dveyxF 0 0 )32(6),()1)(1( 32 yx ee ?? ????? ?? ?? y vx u dvedue 0 30 26時(shí)，或當(dāng) 00 ?? yx 顯然， F(x,y)=0 37 （ 3 ） ? ????? dyyxfxf X ),()( xyx edye 20 )32( 26 ??? ?? ?? ?時(shí)，當(dāng) ???? x0時(shí)，當(dāng) 0?x 。0)( ?xf X??????? ?0,00,2)( 2xxexf xX同理： ??????? ?0,00,3)( 3yyeyf yY38
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