【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2131xxxxxx????????,0,0,0321xxx解得 故 ?1, ?2, ?3線(xiàn)性無(wú)關(guān) . 167。 2 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 ?例 討論向量組 的線(xiàn)性相關(guān)性。 ?解 ,000210111),( 321???????????? ???A,021 ,011 ,001321????????????????????????????????? ???,32)( ??AR. , , 321 線(xiàn)性相關(guān)故 ???167。 2 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 ?例 討論向量組 的線(xiàn)性相關(guān)性。 ?又解 ,021 ,011 ,001321????????????????????????????????? ???. , , 321 線(xiàn)性相關(guān)故 ???,0000210112001 2 321???????????????????????????????????????????? ???因167。 2 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 ?例 討論向量組 的線(xiàn)性相關(guān)性。 ?解 ??????????????????????322210111321???A)3 ,2 ,2( ,)2 ,1 ,0( ,)1 ,1 ,1( 321 ??? ???,3)( ?AR. , , 321 線(xiàn)性無(wú)關(guān)故 ???????????????100210111312 rr167。 2 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 ? ?定理 向量組 ?1, ?2,… ,?s(s≥2)線(xiàn)性相關(guān) ? ?1, ?2,… ,?s中至少有一個(gè)向量可由其余 s1個(gè)向量 線(xiàn)性表示。 ?證 ： ?) 設(shè) ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性相關(guān) ，則存在不全為 零的數(shù) ?1, ?2,… ,?s，使得 ?1?1+?2?2+… +?s?s=0, 不妨設(shè) ?1≠0，則有 即 ?1可由 ?2, ?3,… ,?s線(xiàn)性表示。 ss ??????????13132121 ????? ?167。 2 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 ?定理 若向量組 ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性無(wú)關(guān)，向量 ?可由 ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性表示，則表示法是惟一的。 ?證 ：設(shè) ?=k1?1+k2?2+… +ks?s 且 ?=?1?1+?2?2+… +?s?s 則 (k1?1)?1+(k2?2)?2+… +(ks?s)?s=0 由 ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性無(wú)關(guān)，得 k1?1=k2?2=… =ks?s=0 即 k1=?1, k2=?2,… , ks=?s, 故表示法是惟一的。 167。 2 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 ? ?) 設(shè) ?1, ?2,… ,?s中至少有一個(gè)向量可由其余 s1個(gè)向量線(xiàn)性表示，不妨設(shè) ?1可由 ?2, ?3,… ,?s線(xiàn) 性表示，即 ?1=k2?2+k3?3+… +ks?s 則 ?1+k2?2+k3?3+… +ks?s=0 故向量組 ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性相關(guān) . 167。 2 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 ?定理 若向量組 ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性無(wú)關(guān)，向量組 ?, ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性相關(guān)，則 ?可由 ?1, ?2,… ,?s惟一線(xiàn) 性表示。 ?證 ：向量組 ?,?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性相關(guān)，存在不全為 零的數(shù) k, k1, k2,… ,ks，使得 k?+k1?1+k2?2+… +ks?s=0 若 k=0, 則 k1?1+k2?2+… +ks?s=0， 由 ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性無(wú)關(guān)，得 k1=k2=… =ks=0 ，矛盾 . 故 k≠ 0, 由定理 。 sskkkkkk ???? ????? ?2211167。 2 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 ? ?定理 設(shè) r維向量組 線(xiàn)性相關(guān)，那么去掉每個(gè)向量的最后一個(gè)分量，所得到的 r1維向量組 仍是線(xiàn)性相關(guān)的。 ?證 ：設(shè) A=(?1, ?2,… ,?s), B=(?1, ?2,… ,?s)， 則 R(B) ≤R(A)s, 故 ?1, ?2,… ,?s也線(xiàn)性相關(guān)。 ,2,1,),( 21 siaaa Tiriii ?? ???,2,1,),( 121 siaaa Tiriii ?? ?? ??167。 2 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 ?推論 若 r1維向量組 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則 r維向量組 也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 ?證 ：設(shè) A=(?1, ?2,… ,?s), B=(?1, ?2,… ,?s)，則 s≥R(A)≥R(B)=s, 即 R(A) =s, 故 ?1, ?2,… ,?s也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 ,2,1,),( 121 siaaa Tiriii ?? ?? ??,2,1,),( 21 siaaa Tiriii ?? ???167。 2 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 ?定理 若 向量組 ?1, ?2,… ,?s可由 ?1, ?2,… ,?t 線(xiàn)性 表示，且 st，則 ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性相關(guān) . ?證 ： 設(shè) ?i=ki1?1+ki2?2+…+ kit?t， i=1,2,… ,s. 考察 x1?1+x2?2+… +xs?s=0 即 有 令 故 ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性相關(guān) . 01122111 ???? ??????tjjsjstjjjtjjj kxkxkx ??? ?0)()()(1122111 ???? ??????sitiijsiiisiii xkxkxk ??? ?,2,1 ,01tjxksiiij ?????因 st，它有非零解。 167。 2 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 ?推論 若 向量組 ?1, ?2,… ,?s可由 ?1, ?2,… ,?t 線(xiàn)性 表示， ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則有 s≤ t . ?推論 若 向量組 ?1, ?2,… ,?s與 ?1, ?2,… ,?t 等價(jià)， 且都線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則有 s= t . 167。 2 向量組的線(xiàn)性相關(guān)性 本節(jié)學(xué)習(xí)要求 ? 線(xiàn)性組合、線(xiàn)性表示、等價(jià)關(guān) 系、線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān) 的概念； ? 向量組線(xiàn)性相關(guān)的有關(guān)定理，會(huì)判斷、證 明向量組的線(xiàn)性無(wú)關(guān) (或線(xiàn)性相關(guān) )。 ?作業(yè) ：習(xí)題 (A) 第 2,4,9題 167。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 ? 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容 ? ? 167。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 ? ?定義 若向量組 ?1, ?2,… ,?s的部分 向量組 的個(gè)數(shù) r稱(chēng)為向量組 ?1, ?2,… ,?s的 秩 ，記作 R(?1, ?2,… ,?s). 滿(mǎn)足rjjj ??? , 21 ?。 , )1( 21 線(xiàn)性無(wú)關(guān)rjjj ??? ?, , , )2( 2121 線(xiàn)性表示可由向量組 rjjjs ?????? ??的一個(gè)為則稱(chēng)向量組 sjjj r ?????? ,, 2121 ??極大線(xiàn) 性無(wú)關(guān)組 ， 簡(jiǎn)稱(chēng) 極大無(wú)關(guān)組 ； 極大無(wú)關(guān)組所含向量 167。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 ?注 ⑴ 只含零向量的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組，規(guī) 定它的秩為 0； ⑵ 定義 中的條件 (2) ? ?1, ?2,… ,?s的任意 r+1個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān) 。 ⑶ ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性無(wú)關(guān) ? R(?1, ?2,… ,?s)=s。 ⑷ ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性相關(guān) ? R(?1, ?2,… ,?s)s。 ⑸ R(?1, ?2,… ,?s)=r ? ?1, ?2,… ,?s的任意 r個(gè)線(xiàn)性 無(wú)關(guān)向量都是它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 (r0) ⑹ 向量組的極大無(wú)關(guān)組未必惟一 . , , , 2121 線(xiàn)性表示可由向量組 rjjjs ?????? ??167。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 ?定理 向量組與它的任一極大無(wú)關(guān)組等價(jià) . ?證 : ?推論 一向量組的任兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià) . ?推論 一向量組的秩是惟一確定的 . ,大無(wú)關(guān)組的一個(gè)極為向量組設(shè) sjjj r ?????? ,, 2121 ??,, 2121 線(xiàn)性表示可由則 rjjjs ?????? ??,, 2121 線(xiàn)性表示可由又 sjjj r ?????? ??.,, 2121 等價(jià)與 rjjjs ?????? ??故向量組167。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 ?定理 若 向量組 ?1, ?2,… ,?s可由向量組 ?1, ?2, … ,?t 線(xiàn)性表示，則 R(?1, ?2,… ,?s)≤R(?1, ?2,… ,?t ). ?證 ： ts ?????? ,, 2121 ?? 可由rjjjs ?????? ,, 2121 ?? 的極大無(wú)關(guān)組向量組, 21 線(xiàn)性表示可由 s??? ?,線(xiàn)性表示kiiit ?????? ,, 2121 ?? 可由其極大無(wú)關(guān)組,線(xiàn)性表示 ,,2121 線(xiàn)性表示可由則 kr iiijjj ?????? ??),(),( 2121 rjjjs RR ?????? ?? ?所以).,(),( 2121 tiii RR k ?????? ?? ??167。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 ?定理 等價(jià)的 向量組有相同的秩。 ?證 ：設(shè) ?1, ?2,… ,?s)與 ?1, ?2,… ,?t 等價(jià)， 則 ?1, ?2,… ,?s可由 ?1, ?2,… ,?t線(xiàn)性表示， 且 ?1, ?2,… ,?t可由 ?1, ?2,… ,?s線(xiàn)性表示， 所以 R(?1, ?2,… ,?s)≤R(?1, ?2,… ,?t )， 且 R(?1, ?2,… ,?t )≤R(?1, ?2,… ,?s )， 故 R(?1, ?2,… ,?s)=R(?1, ?2,… ,?t ). 167。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 ?例 設(shè) 向量組 ?1, ?2,… ,?s可由向量組 ?1, ?2,… ,?t 線(xiàn)性表示，且 R(?1, ?2,… ,?s)=R(?1, ?2,… ,?t )=r， 試證： ?1, ?2,… ,?s與 ?1, ?2,… ,?t 等價(jià) . ?證 ： ,, 2121 的極大無(wú)關(guān)組為設(shè) sjjj r ?????? ??所以,),(),,( 212121 rRR ttjjj r ?? ????????? ???,, 2121 線(xiàn)性表示可由因?yàn)?ts ?????? ??,,, 212121 等價(jià)與所以 ttjjj