【文章內(nèi)容簡介】 2a5. 綜合（ 1）和（ 2），可知 a 的取值范圍為 0a5. 22.（ 2022 天津理） （ 21）（本小題滿分 14分） 已知函數(shù) ( ) ( )xf x xc x R??? （Ⅰ）求函數(shù) ()fx的單調(diào)區(qū)間和極值； （Ⅱ）已知函數(shù) ()y g x? 的圖象與函數(shù) ()y f x? 的圖象關(guān)于直線 1x? 對稱，證明當 1x? 時，( ) ( )f x g x? （Ⅲ）如果 12xx? ，且 12( ) ( )f x f x? ，證明 122xx?? 【解析】本小題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的 能力，滿分 14 分 （Ⅰ）解： f’ ( ) (1 ) xx x e??? 令 f’ (x)=0,解得 x=1 17 當 x 變化時， f’ (x)， f(x)的變化情況如下表 X ( ,1?? ) 1 (1,?? ) f’ (x) + 0 f(x) 極大值 所以 f(x)在 ( ,1?? )內(nèi)是增函數(shù)，在 (1,?? )內(nèi)是減函數(shù)。 函數(shù) f(x)在 x=1 處取得極大值 f(1)且 f(1)=1e （Ⅱ）證明：由題意可知 g(x)=f(2x),得 g(x)=(2x) 2xe? 令 F(x)=f(x)g(x),即 2( ) ( 2)xxF x x e x e??? ? ? 于是 2239。( ) ( 1 ) ( 1 )xxF x x e e??? ? ? 當 x1 時， 2x20,從而 2 x 2e 1 0 , 0 , Fxe ?? ? ?又 所 以’ (x)0,從而函數(shù) F（ x）在 [1,+∞ )是增函數(shù)。 又 F(1)= 1 1e e 0?? ， 所 以 x1 時 ， 有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x). （Ⅲ )證明：（ 1） 若 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) 0 , ) ) , 1 .x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?12由 （ ） 及 f ( x f ( x 則 與 矛 盾 。 （ 2）若 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) 0 , ) ) , .x x x x x x? ? ? ? ? ? ?12由 （ ） 及 f ( x f ( x 得 與 矛 盾 。 根據(jù)（ 1）（ 2）得 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) 0 , 1 , 1 .x x x x? ? ? ? ?不 妨 設 由（Ⅱ）可知， )2f(x )2g(x ,則 )2g(x = )2f(2x ，所以 )2f(x )2f(2x ,從而 )1f(x )2f(2x .因為 2 1x? ，所以 221x??，又由（Ⅰ）可知函數(shù) f(x)在區(qū)間（ ∞， 1）內(nèi)事增函數(shù)，所以 1x 22 x? ,即12xx? 2. 23.（ 2022 福建文） 22．（本小題滿分 14分） 已知函數(shù) f（ x） = 3213 x x ax b? ? ?的圖像在點 P（ 0,f(0)）處的切線方程為 y=3x2 (Ⅰ )求實數(shù) a,b 的值； (Ⅱ )設 g（ x） =f(x)+ 1mx? 是 [2,?? ]上的增函數(shù)。 （ i）求實數(shù) m 的最大值 ； (ii)當 m 取最大值時，是否存在點 Q，使得過點 Q 的直線若能與曲線 y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等 ?若存在，求出點 Q 的坐標；若不存在，說明理由。 18 19 24.（ 2022 全國卷 1理） (20)(本小題滿分 12分 ) 已知函數(shù) ( ) ( 1) ln 1f x x x x? ? ? ?. （Ⅰ）若 239。( ) 1xf x x ax? ? ?，求 a 的取值范圍； （Ⅱ）證明： ( 1) ( ) 0x f x?? . 25.（ 2022 湖北文） 21.（本小題滿分 14分） 設函數(shù) 321ax x b x c32f ? ? ?（ x ） = ，其中 a＞ 0，曲線 xyf?（ ） 在點 P（ 0， 0f（ ） ）處的切線方程為 y=1 （Ⅰ）確定 b、 c 的值 （Ⅱ）設曲線 xyf?（ ） 在點（ 11xxf， （ ） ）及（ 22xxf， （ ） ）處的切線都過點（ 0,2）證明：當 12xx?時， 1239。( ) 39。( )f x f x? （Ⅲ）若過點（ 0,2）可作曲線 xyf?（ ） 的三條不同切線，求 a 的取值范圍。 20 26.（ 2022 湖南理） 20.（本小題滿分 13分） 已知函數(shù) 2( ) ( , ) ,f x x bx c b c R? ? ? ?對任意的 xR? ，恒有 39。()fx? ()fx。 （Ⅰ）證明：當 0x? 時， 2( ) ( )f x x c??； （Ⅱ）若對滿足題設條件的任意 b， c，不等式 22( ) ( ) ( )f c f b M c b? ? ?恒成立，求 M 的最小值。 解析： 21 27.（ 2022 福建理） 20．（本小題滿分 14分） （Ⅰ）已知函數(shù) 3(x)=xxf ， 其 圖 象 記 為 曲 線 C。 （ i）求函數(shù) (x)f 的單調(diào)區(qū)間； （ ii）證明：若對于任意非零實數(shù) 1x ，曲線 C 與其在點 1 1 1P(x ,f(x )) 處的切線交于另一點 2 2 2P (x ,f(x )) ，曲線 C 與其在點 2 2 2P (x ,f(x )) 處的切線交于另一點 3 3 3P (x ,f(x )) ，線段 11 2 2 3 1 22P P , P P , S ,SC S與 曲 線 所 圍 成 封 閉 圖 形 的 面 積 分 別 記 為 S 則 為 定 值 ； （Ⅱ）對于一般的三次函數(shù) 32g( x) = a x + bx + c x+ d( a 0) ,? 請 給 出 類 似 于（Ⅰ）（ ii）的正確命題，并予以證明。 【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想。 【解析】（Ⅰ）（ i）由 3(x)=xxf 得 39。2(x)=3x 1f = 333(x )(x+ )， 22 當 3x ( , )3?? 和 33 ??（ ， ） 時， 39。(x)0f ； 當 3x ( ,3? 3)3 時， 39。(x)0f ， 因此， (x)f 的單調(diào)遞增區(qū)間為 3( , )3? 和 33 ??（ ， ） ，單調(diào)遞減區(qū)間為 3( ,3 3)3 。 28.（ 2022 湖北理數(shù)） 23 29.（ 2022 安徽理） 1（本小題滿分 12分） 設 a 為實數(shù)，函數(shù) ? ? 2 2 ,xf x e x a x? ? ? ? R。 (Ⅰ )求 ??fx的單調(diào)區(qū)間 與極值； (Ⅱ )求證：當 ln2 1a??且 0x? 時， 2 21xe x ax? ? ?。 24 30.（ 2022 江蘇卷） （本小題滿分 16分） 設 )(xf 是定義在區(qū)間 ),1( ?? 上的函數(shù)，其導函數(shù)為 )(39。 xf 。如果存在實數(shù) a 和函數(shù) )(xh ，其中 )(xh對任意的 ),1( ???x 都有 )(xh 0，使得 )1)(()(39。 2 ??? axxxhxf ，則稱函數(shù) )(xf 具有性質(zhì) )(aP 。 (1)設函數(shù) )(xf 2ln ( 1)1bxxx?? ? ?? ，其中 b 為實數(shù)。 (i)求證：函數(shù) )(xf 具有性質(zhì) )(bP ； (ii)求函數(shù) )(xf 的單調(diào)區(qū)間。 (2)已知函數(shù) )(xg 具有性質(zhì) )2(P 。給定 1 2 1 2, (1, ), ,x x x x? ?? ?設 m 為實數(shù)， 21 )1( xmmx ???? ， 21)1( mxxm ???? ，且 1,1 ?? ?? ， 若 | )()( ?? gg ? || )()( 21 xgxg ? |，求 m 的取值范圍。 【解析】 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論 的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分 16 分。 （ 1） (i) 39。()fx 2221 2 1 ( 1 )( 1 ) ( 1 )b x b xx x x x?? ? ? ? ??? ∵ 1x? 時，21( ) 0( 1)hx xx???恒成立， ∴ 函數(shù) )(xf 具有性質(zhì) )(bP ； (ii)（方法一）設 222( ) 1 ( ) 124bbx x b x x? ? ? ? ? ? ? ?， ()x? 與 )(39。 xf 的符號相同。 當 21 0, 2 24b b? ? ? ? ?時， ()x? 0? ， )(39。 xf 0? ，故此時 )(xf 在區(qū)間 ),1( ?? 上遞增； 25 當 2b?? 時，對于 1x? ，有 )(39。 xf 0? ，所以此時 )(xf 在區(qū)間 ),1( ?? 上遞增； 當 2b?? 時， ()x? 圖像開口向上，對稱軸 12bx? ??，而 (0) 1? ? ， 對于 1x? ，總有 ()x? 0? ， )(39。 xf 0? ，故此時 )(xf 在區(qū)間 ),1( ?? 上遞增； （方法二）當 2b? 時，對于 1x? ， 2 2 2( ) 1 2 1 ( 1 ) 0x x b x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 )(39。 xf 0? ，故此時 )(xf 在區(qū)間 ),1( ?? 上遞增； 當 2b? 時， ()x? 圖像開口向上，對稱軸 12bx??，方程 ( ) 0x? ? 的兩根為： 2244,b b b b? ? ? ?，而 2224 4 21 , ( 0 , 1 )4b b b b bb? ? ? ?? ? ??? 當 2 4(1, )2bbx ??? 時， ()x? 0? ， )(39。 xf 0? ，故此 時 )(xf 在區(qū)間 2 4(1, )2bb?? 上遞減；同理得： )(xf 在區(qū)間 2 4[ , )2bb????上遞增。 綜上所述，當 2b? 時， )(xf 在區(qū)間 ),1( ?? 上遞增； 當 2b? 時， )(xf 在 2 4(1, )2bb??上遞減； )(xf 在 2 4[ , )2bb????上遞增。 (2)（方法一）由題意，得： 2239。( ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 1 )g x h x x x h x x? ? ? ? ? 又 )(xh 對任意的 ),1( ???x 都有 )(xh 0， 所以對任意的 ),1( ???x 都有 ( ) 0gx? ? ， ()gx 在 (1, )?? 上遞增。 又 1 2 1 2, ( 2 1 ) ( )x x m x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?。 當 1,12mm??時， ??? ，且 1 1 2 2 1 2( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 )x m x m x x m x m x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 26 綜合以上討論，得：所求 m 的取值范圍是（ 0， 1）。 （方法二）由題設知， ()gx 的導函數(shù) 239。( ) ( ) ( 2 1)g x h x x x? ? ?，其中函數(shù) ( ) 0hx? 對于任意的 ),1( ???x都成立。所以，當 1x? 時， 239。( ) ( )( 1) 0g x h x x? ? ?，從而 ()gx 在區(qū)間 ),1( ?? 上單調(diào)遞增。 ①當 (0,1)m? 時，有 1 2 1 1 1( 1 ) ( 1 )m x m x m x m x x? ? ? ? ? ? ? ?， 1 2 2 2 2( 1 ) ( 1 )m x m x m x m x x? ? ? ? ? ? ? ?，得 12( , )xx?? ，同理可得 12( , )xx?? ，所以由 ()gx 的單調(diào)性知 ()g? 、 ()g? 12( ( ), ( ))g x g x? ， 從而有 | )()( ?? gg ? || )()( 21 xgxg ? |，符合題設。 ②當 0m? 時， 1 2 2 2 2( 1 ) ( 1 )m x m x m x m x x? ? ? ? ? ? ? ?， 1 2 1 1 1( 1 ) ( 1 )m x m x m x m x x? ? ? ? ? ? ? ?，于是由 , 1????及 ()gx 的單調(diào)性知12( ) ( ) ( ) ( )g g x g x g??? ? ?，所以 | )()( ?? gg ? |≥ | )()( 21 xgxg ? |，與題設不符。 ③當 1m? 時，同理可得 12,xx????，進而得 | )()( ?? gg ? |≥ | )()( 21 xgxg ? |，與題設不符。 因此綜合①、②、③得所求的 m 的取值范圍是（ 0， 1）。 2022年高考題 一、選擇題 1.(2022 年廣東卷 文 )函數(shù) xexxf )3()( ?? 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( ) A. )2,(?? B.(0,3) C.(1,4) D. ),2( ?? 答案 D 解析