【文章內容簡介】 ckxx令 M 是在 I 中坐標為 (c/(1? k), d/(1? k)) 的點 , 設平面上任一點 P 在 I 中的坐標為 (x, y), 有 M f(P) = (kx+c?[c/(1? k)])e1 +(ky+d?[b/(1? k)])e2 = k ((x?[c/(1? k)])e1 +(y? [d/(1? k)])e2) = kMP 即 f 是以 M為 位似中心 , 位似系數 為 k 的位似變換 . 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結束 變換矩陣的性質 在變換公式 () 和 () 中 , 變換矩陣 A = (aij) 是關鍵因素 . 已經知道 仿射變換 f 在一個 仿射坐 標系 I 中的 變換矩陣 即為 I 到 f(I) 的過渡矩陣 , 下 面給出 變換矩陣的幾個重要性質 , 主要回答以下 兩個問題 : (1) 已知 兩個仿射變換 在一個 仿射坐標系 I 中的 變換矩陣 , 如何求它們的 乘積的變換矩陣 ? (2) 已知 仿射變換 f 在一個 仿射坐標系 I 中的 變 換矩陣 , 如何求 f 在另一個 仿射坐標系 II 中的 變 換矩陣 ? 上頁 下頁 結束 引理 設 I1和 I2是平面上的兩個仿射坐標系 , 它們分別被仿射變換 f 變?yōu)?II1和 II2, 則 I1到 I2的過渡矩陣 與 II1到 II2的過渡矩陣 相同 . I1 I2 II1 II2 f f A A A的列向量是 I2坐標向量 e1, e2的 I1坐標 過渡矩陣的列向量是 f(I2)坐標向量 f(e1), f(e2)的 f(I1)坐標 f(I1) = f(I2) = 變換矩陣的性質 上頁 下頁 結束 性質 1. 若仿射變換 f 把坐標系 I變成 II, 則 f 在 II中的變換矩陣 就是 f 在 I中的變換矩陣 . 變換矩陣的性質 I II II f(II) f f A A f(I) = = f(I) 上頁 下頁 結束 性質 2. 若仿射變換 f, g在仿射坐標系 I中的變換矩陣分別為 A, B, 則它們的乘積 g?f 在 I中的變換矩陣為 BA. I f(I) g(I) g(f(I)) A B A BA 變換矩陣的性質 上頁 下頁 結束 性質 3. 若 仿射變換 f 在仿射坐標系 I中的 變換矩陣 為 A, 則它的逆變換 f ?1在 I中的變換矩陣為 A?1. 性質 4. 設 仿射變換 f 在仿射坐標系 I中的變換矩陣為 A, I到仿射坐標系 II的 過渡矩陣 為 H, 則 f 在 II中的變換矩陣為 H?1AH. I f(I) II f(II) A H H?1AH H H?1 變換矩陣的性質 上頁 下頁 結束 性質 4表明 : 同一個仿射變換 在 不同仿射坐標系 中的變換矩陣 相似 , 并且可用這兩個坐標系間的 過渡矩陣 實現(xiàn)這個相似關系 . 性質 5. 同一個仿射變換在不同仿射坐標系中的變換矩陣的 行列式相等 . 命題 仿射變換的 變積系數 等于它的 變換矩陣的行列式的絕對值 . 仿射變換的變換矩陣的行列式 有很強的 幾何意義 : 證明 : 設在 仿射坐標系 I: [O。 e1, e2]中 , 仿射變換 f 的 變換矩陣 為 變換矩陣的性質 上頁 下頁 結束 ,???????22211211aaaaA則 f(e1) ? f(e2) = (a11e1 + a21e2) ? (a12e1 + a22e2) = (a11a22 ?a12a21) e1 ? e2 = |A| e1 ? e2 , 所以 f 的變積系數 .|||||)()(| A eeefef ????2121?因 |e1 ? e2|, | f(e1) ? f(e2) | 分別是 I 和 f(I) 的兩個坐標向量所夾平行四邊形 ? 和 ? ? 的面積 , 且顯然 ? ? = f(? ), 變換矩陣的性質 上頁 下頁 結束 定義 : 平面的 仿射變換 f , 若它在仿射坐標系中的變換公式的系數矩陣 A的行列式 |A| 0, 則稱f 為 第一類的 。 若 |A| 0, 則稱 f 是 第二類的 . 因為 f (e1) ? f (e2) = |A| e1? e2 , 所以 第一類仿射變換 仿射坐標系 I 與 f(I) 的 定向相同 . 第二類仿射變換 仿射坐標系 I 與 f(I) 的 定向相反 . 變換矩陣的性質 上頁 下頁 結束 P207. 習題 3, 5, 6, 11(1, 2). 作 業(yè) 上頁 下頁 結束 定義 : 如果 非零向量 u 與 f(u) 平行 , 則稱 u為 f 的一個 特征向量 。 此時有 唯一實數 ?使得 f(u) = ?u, 稱?為 f 的一個 特征值 , 也稱 u為 f 的 屬于特征值 ?的特征向量 . 求法 : 設 f 在仿射坐標系 I中的 公式 為 ,????????????????????????????2122211211bbyxaaaayx變換矩陣 A 仿射變換不動點特征向量 ? 仿射變換的特征值和特征向量 上頁 下頁 結束 則非零向量 u(x0, y0)是 f 的屬于 特征值 ?的 特征向量 當且僅當 ???????00220210012021yyaxaxyaxa??當且僅當下面 齊次線性方程組有非零解 : ??????????0022211211yaxayaxa)()(??當且僅當行列式 022211211 ?????aaaa??稱為 f 的特征方程 或 ,)( 0????????yxAE?即 .)( 022112 ???? A?? aa() () 仿射變換不動點特征向量 上頁 下頁 結束 步驟 1. 求 特征值 , 即 特征方程的解 . 022112 ???? A?? )( aa步驟 2. 對每一 特征值 ? , 求齊次方程組 的 非零解 , 即為 f 的屬于 特征值 ?的 特征向量 . ??????????0022211211yaxayaxa)()(?? 或 0????????yx)( AE?這樣求 仿射變換特征向量和特征值 的步驟如下 : 仿射變換不動點特征向量 上頁 下頁