現(xiàn)代控制理論-41g線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性(編輯修改稿)
2024-11-12 14:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 某個狀態(tài) x(t0)不滿足上述條件 ,稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的 ,簡稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能控。 ? 即 ,若邏輯關(guān)系式 t0?T ?x(t0) ?t1?T ?u(t) (t1t0)?(t?[t0,t1])?(x(t1)?0) 為真 ,則稱系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。 狀態(tài)能控性的定義 (4/5) ? 對上述狀態(tài)能控性的定義有如下討論 : 1. 控制時間 [t0,t1]是系統(tǒng)狀態(tài)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)所需的有限時間。 ? 對時變系統(tǒng) ,控制時間的長短 ,即 t1t0的值 ,與初始時刻t0有關(guān)。 ? 對于定常系統(tǒng) ,該控制時間與 t0無關(guān)。 所以 ,對于線性定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性 ,可不必在定義中強(qiáng)調(diào)“ 在所有時刻狀態(tài)完全能控 ” ,而為“ 某一時刻狀態(tài)完全能控 ,則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控 ”。 ? 即 ,若邏輯關(guān)系式 ?t0?T ?x(t0) ?t1?T?(t1t0) ?u(t) ?(t?[t0,t1]) (x(t1)=0) 為真 ,則稱線性定常連續(xù)系統(tǒng) ?(A,B)狀態(tài)完全能控。 狀態(tài)能控性的定義 (5/5) 2. 在上述定義中 ,對輸入 u(t)沒有加任何約束 ,只要能使?fàn)顟B(tài)方程的解存在即可。 ? 如果矩陣 A(t)和 B(t)以及向量 u(t)的每個元素都是 t的分段連續(xù)函數(shù) ,則狀態(tài)方程存在唯一解。 ? u(t)為分段連續(xù)的條件 ,在工程上是很容易滿足的。 3. 在狀態(tài)能控性定義中 ,對輸入 u(t)和狀態(tài) x(t)所處的空間都沒有加任何約束條件。 ? 在實(shí)際工程系統(tǒng)中 ,輸入變量空間和狀態(tài)空間都不為無限制條件的線性空間 ,因此上述能控性的定義對工程實(shí)際系統(tǒng)還需作具體的分析。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù) (1/1) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判別 ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性判據(jù)有許多不同形式 ,下面分別討論常用的 ? 代數(shù)判據(jù) 和 ? 模態(tài)判據(jù) 。 代數(shù)判據(jù) (1/18)— 代數(shù)判據(jù)定理 1. 代數(shù)判據(jù) ? 定理 41(線性定常連續(xù)系統(tǒng)能控性秩判據(jù) ) 線性定常連續(xù)系統(tǒng) ?(A,B)狀態(tài)完全能控的充要條件為下述條件之一成立 : 1. 矩陣函數(shù) eAtB的各行函數(shù)線性獨(dú)立 ,即不存在非零常數(shù)向量 f?Rn,使得 f?eAtB?0 2. 如下定義的能控性矩陣 Qc=[B AB … An1B] 滿秩 ,即 rankQc=rank[B AB … An1B]=n □ 代數(shù)判據(jù) (14/18) ? 定理 41給出的是線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性充要的兩個判據(jù) ,可直接用于能控性判定。 ? 由于檢驗(yàn) eAtB的各行是否函數(shù)線性獨(dú)立相對困難一些 ,因此實(shí)際應(yīng)用中通常用定理 41的條件 2。 ? 條件 2我們亦稱為線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù)。 代數(shù)判據(jù) (15/18)例 41 3 2 100 1 00 0 1 01a a a? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?x x u? 例 41 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性 ? 解 由狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù)有 ?????????????????????????????????????212121110100aaaAaA bbb代數(shù)判據(jù) (16/18)例 41 2121 2 10 0 1r a n k r a n k r a n k 0 1 31cQ A A a na a a??????? ? ? ? ?????? ? ???b b b? 故 ? 因此 ,該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。 代數(shù)判據(jù) (17/18)例 42 uxx???????????????????????111112310020231? 例 42 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性 代數(shù)判據(jù) (18/18) ???????????442244224523111112][ 2 BAABB? 將上述矩陣 的第 3行加到第 2行中去 ,則可得矩陣 ??????????000044224523001112顯然其秩為 2。而系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù) n=3,所以狀態(tài)不完全能控。 ? 解 由狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù)有 模態(tài)判據(jù) (1/14) 2. 模態(tài)判據(jù) ? 在給出線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性模態(tài)判據(jù)之前 ,先討論狀態(tài)能控性的如下性質(zhì) : ? 線性定常系統(tǒng)經(jīng)線性變換后狀態(tài)能控性保持不變。 ? 下面對該結(jié)論作簡單證明。 ? 設(shè)線性變換陣為 P,則系統(tǒng) ?(A,B)經(jīng)線性變換 后為 ,并有 BPBAPPA 11 ~~ ??( , )AB??x Px模
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