[工學(xué)]第六章非線性方程組求解(編輯修改稿)
2024-11-09 16:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 在實際使用中，牛頓法最好與逐步掃描法結(jié)合起來，先通過逐步掃描法求出根的近似值，然后用牛頓公式求其精確值，以發(fā)揮牛頓法收斂速度快的優(yōu)點 39。( ) 0 , ( )f x f x?00( ) ( ) 0f x f x ?牛頓迭代法收斂速度快，但它要求計算函數(shù)導(dǎo)數(shù)的值 弦截法 ? 牛頓迭代法收斂速度快，但它要求計算函數(shù)導(dǎo)數(shù)的值。在科學(xué)與工程計算中，常會碰到函數(shù)導(dǎo)數(shù)不易計算或者算式復(fù)雜而不便計算的情況 ? 弦截法的基本思想與牛頓法相似，即將非線性函數(shù)線性化后求解。兩者的差別在于弦截法實現(xiàn)函數(shù)線性化的手段采用的是兩點間的弦線（用差商代替導(dǎo)數(shù)），而不是某點的切線 ? ?? ? ? ? ? ?11 1kk k k kkkfxx x x xf x f x?? ?? ? ??弦截法示意圖 弦截法注意事項 ? 與牛頓法只需給出一個初值不同，弦截法需要給出兩個迭代初值。如果與逐步掃描法結(jié)合起來，則最后搜索的區(qū)間的兩個端點值?？勺鳛槌踔? ? 弦截法雖比牛頓法收斂速度稍慢，但在每次迭代中只需計算一次函數(shù)值，又不必求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且對初值要求不甚苛刻，是工程計算中常用的有效計算方法之一 弦截法雖比牛頓法收斂速度稍慢，但計算量小 逆二次插值 (IQI) ? 若已知三個點 a,b,c，及其函數(shù)值 f(a),f(b),f(c)，可以將這三點插值為關(guān)于 y的二次函數(shù)。此拋物型一定與 x軸有交點，在交點處 y=0，對應(yīng)點x=P(0)為下一步迭代解。 IQI法在迭代終點時收斂速度很快，但整個過程中速度不穩(wěn)定 松弛迭代法 ? 有些非線性方程用前面的不動點迭代法求解時，迭代過程是發(fā)散的。這時可以引入松弛因子，利用松弛迭代法。通過選擇合適的松弛因子，就可以使迭代過程收斂 ? ?? ?1n n n nx x x x??? ? ? ?迭代法是計算數(shù)學(xué)的一種重要方法，用途很廣，求解線性方程組和矩陣特征值時也要用到這種方法 松弛法注意事項 ? 由上式可知，當(dāng)松弛因子 ω=1時，松弛迭代法變?yōu)椴粍狱c迭代法；當(dāng)松弛因子 ω1時，松弛法使迭代步長加大，可加速迭代，但有可能使原理收斂的迭代變?yōu)榘l(fā)散；當(dāng) 0ω1時，松弛法使迭代步長減小，這適合于迭代發(fā)散或振蕩收斂的情況，可使振蕩收斂過程加速；當(dāng) ω0時，將使迭代反方向進(jìn)行，可使一些迭代發(fā)散過程收斂 ? 松弛迭代法是否有效的關(guān)鍵因素是松弛因子的值能否正確選定。如果值選用適當(dāng)，能使迭代過程加速，或者使原來不收斂的過程變成收斂；但如果值選用不合適，則效果相反，有時甚至?xí)乖瓉硎諗康倪^程變得不收斂。 松弛因子的數(shù)值往往要根據(jù)經(jīng)驗選定 ，但選用較小的松弛因子，一般可以保證迭代過程的收斂 威格斯坦法 ? 威格斯坦法在化工流程模擬中得到了廣泛應(yīng)用 ? 威格斯坦法是一種迭代加速方法 )]()([)()()(11111????? ?????nnnnnnnnn xxxxxxxxx????Wegstein法注意事項 ? 應(yīng)注意，如果 x1和 x2兩點選擇不當(dāng)，則連線的斜率等于 1，與直線 y=x無交點，從而迭代無法進(jìn)行，這就是 Wegstein法應(yīng)當(dāng)避免的陷井。引入一個量 C SC ?? 1111 )()(?????nnnnxxxxS ??)()1(1 nnn xCxCx ?????Wegstein法注意事項 令 q＝ 1C 1. 當(dāng) q＝ 0時， Wegstein法退化為簡單的不動點迭代 2. 當(dāng) 0q1時，則變?yōu)橛凶枘岬牡?。通?q0時，迭代能穩(wěn)定收斂，但收斂較慢 3. 當(dāng) q0可以加速收斂，但易導(dǎo)致不穩(wěn)定 4. 為了加速收斂又避免不穩(wěn)定，常取 5q0，這是稱為有界的 Wegstein法 MATLAB求解非線性方程方法 MATLAB求解非線性方程函數(shù) 非線性方程 非線性方程組 非線性方程 多項式函數(shù) roots fzero fsolve 多項式求根函數(shù) roots ? 多項式的表達(dá)式約定如下： ? 對于多項式，用以下行向量表示： 這樣就把多項式問題轉(zhuǎn)化為向量問題 ? Matlab提供了多種多項式計算函數(shù)，如 多項式求根函數(shù)roots，求多項式的值， polyval；多項式乘法， conv；多項式除法， deconv；多項式微分， polyder；多項式擬合，polyfit nnnno axaxaxaxP ????? ?? 111)( ?],[ 110 nn aaaaP ?? ?函數(shù) roots ? r = roots(c)，用于求解多項式的根 ? 其中，行向量 c的元素是多項式的系數(shù)，按多項式次數(shù)降序排列 ? 如果 c中含有 n+1個元素，則多項式為 n次 ? roots可以獲得多項式的所有根 ? 其算法為計算伴隨矩陣的特征值 例題 6： ? 求方程 的根 32 1xx??c = [1 1 0 1]。 r = roots(c) r = + polyval(c, r(1)) ans = 非線性方程求解函數(shù) fzero ? fz
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