[中考數(shù)學]二次函數(shù)知識點總結(jié)與典型例題(編輯修改稿)
2025-11-15 10:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 【答案】 ①③④ 8. 如圖，在平面直角坐標系中， O 是坐標原點，點 A 的坐標是（－ 2， 4），過點 A 作 AB⊥ y軸，垂足為 B，連結(jié) OA． (1)求 △ OAB 的面積； (2)若拋物線 2 2y x x c?? ? ? 經(jīng)過點 A． ① 求 c 的值； ② 將拋物線向下平移 m 個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在 △ OAB 的 內(nèi)部（不包括 △ OAB 的邊界），求 m 的取值范圍（直接寫出答案即可）． 解： (1) ∵ 點 A 的坐標是（－ 2， 4）， AB⊥ y 軸， ∴ AB=2， OB＝ 4， ∴ 11 2 4 422O A BS A B O B? ? ? ? ? ? ? ? (2)① 把點 A 的坐標（－ 2， 4）代入 2 2y x x c?? ? ? ， 得 2( 2 ) 2 ( 2 ) 4c? ? ? ? ? ? ?， ∴ c＝ 4 ②∵ 222 4 ( 1 ) 4y x x x? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 拋物線頂點 D 的坐標是 (－ 1， 5)， AB 的中點 E 的坐標是（－ 1， 4）， OA 的中點 F 的坐標是 （－ 1， 2）， ∴ m 的取值范圍為 lm3． 9． 已知二次函數(shù) y=? 14 x 2+ 32 x 的圖像如圖 ． （ 1）求它的對稱軸與 x 軸交點 D 的坐標； （ 2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設平移后的拋物線與 x 軸、 y 軸的交點分別為 A、 B、 C 三點，若 ∠ ACB=90176。，求此時拋物線的解析式； （ 3）設（ 2）中平移后的拋物線的頂點為 M，以 AB 為直徑， D 為圓心作 ⊙ D，試判斷直線 CM 與 ⊙ D 的位置關(guān)系，并說明理由． 解：（ 1）二次函數(shù) y=14x2+32x 的對稱軸為 x=3， ∴ D（ 3， 0） ． （ 2）設拋物線向上平移 h 個單位（ h＞ 0），則平移后的拋物線解析式為 y=14x2+32x+h． ∵∠ ACB=90176。， ∴ OC2=OAOB． 設點 A、 B 的橫坐標分別為 x x2，則 h2= x1x2． ∵ x x2 是一元二次方程 14x2+32x+h=0 的兩個根， ∴ x1x2=4h， ∴ h2=4h， ∴ h=4， ∴ 拋物線的解析式為 y=14x2+32x+4． （ 3） CM 與 ⊙ D 相切，理由如下： 連結(jié) CD、 CM，過點 C 作 CN⊥ DM 于點 D，如下圖所示： ∵ AB 是 ⊙ D 的直徑， ∠ ACB=90176。， ∴ 點 C 在 ⊙ D 上． 根據(jù)平移后的拋物線的解析式 y=14x2+32x+4 可得： OD=3， OC=4， DM=254 ， CD=5． ∴ CN=3， MN=94， ∴ CM=154 ． ∵ CM=154 ， CD=5， DM=254 ， ∴△ CDM 是直角三角形且 ∠ DCM=90176。， ∴ CM 與 ⊙ D 相切． 10. 如圖 10，在平面直角坐標系 xOy 中， AB 在 x 軸上， AB＝ 10，以 AB 為直徑的 ⊙ O′與 y軸正半軸交于點 C，連接 BC， 是 ⊙ O′的切線， AD⊥ CD 于點 D， tan∠ CAD＝ 21 ，拋物線 cbxaxy ??? 2 過 A， B， C 三點 . （ 1）求證： ∠ CAD＝ ∠ CAB； （ 2） ① 求拋物線的解析式； ② 判定拋物線的頂點 E 是否在直線 CD 上，并說明理由； （ 3）在拋物線上是否存在一點 P，使四邊形 PBCA 是直角梯形 .若存在，直接寫出點 P的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由 . （ 1）證明：連接 O′C. ∵ CD 是 ⊙ O′的切線， ∴ O′C⊥ CD． ∵ AD⊥ CD， ∴ O′C∥ AD， ∴∠ O′CA＝ ∠ CAD． ∵ O′C＝ O′A， ∴∠ O′CA＝ ∠ CAB， ∴∠ CAD＝ ∠ CAB． （ 2） ① ∵ AB 是 ⊙ O′的直徑， ∴∠ ACB＝ 90176。 ∵ OC⊥ AB， ∴∠ CAB＝ ∠ OCB， ∴△ CAO∽△ BCO， ∴OCOBOAOC? 即 OBOAOC ??2 ． ∵ tan∠ CAO＝ tan∠
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