第1章向量與矩陣(編輯修改稿)
2024-11-03 16:30 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ???????????????512211213102 BA ,設(shè)? ? ? ? ., BABA 3221 ??求例 2 ? ? ? ?? ? ?????????????????????????51221122123212022221 BA? ?? ?? ???????????????????????????????????????????????????????1729735153663321310253132323131321310232 BA?????????????????????????134013512211426204解 例 3 ., XBAXBAXX求，其中，滿足如果矩陣?????????????????????022021122BAXXBAX 212 ??????由已知??????????????????0220212112X解 .222201102112???????????????????????????引例 ? 矩陣的乘法 由已知得 某服裝商店一天的銷售量如下表：且知 每條 W牌牛仔褲的利潤是 15元； 每條 L 牌牛仔褲的利潤是 ； CF牌是 20元、 BO牌是 、 BA牌是 20元 . W L CF BO BA 28 30 32 34 ????????????????????????????????利潤矩陣???????????????????202015B???????????????4321????A這里問題 1. 在這一周之內(nèi) .，最小號牛仔褲的銷售利潤總和是多少？ 問題 2. 30號牛仔褲的利潤總和是多少？ W L CF BO BA 28 30 32 34 ????????????????????????????????問題 3. 所有牛仔褲的銷售利潤總和是多少？ 利潤矩陣???????????????????202015B設(shè)為 A ? ? 1 2 021031.12020151??????????????????????????????B?? ? .22020152??????????????????????????????B?????????????????????????????????????????????59752575387120205122051715301100653221685210313...... AB總利潤 問題 2. 30號牛仔褲的利潤總和是多少？ 問題 3. 所有牛仔褲的銷售利潤總和是多少？ 586259752575387120 .... ????由? ? ? ? ., nsijsmij bBaA ?? ??設(shè)矩陣矩陣 A與 B的 乘積 是一個(gè) m n矩陣 ? ? ,nmijcC ??矩陣乘法定義 注 只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣（右矩陣）的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘 . 其中 記作 C =AB. ? ?njmibabababacskkjiksjisjijiij,。, ???212112211??????? ??注 按此定義，一個(gè) 1 s矩陣與一個(gè) s 1矩陣的乘積是一個(gè) 1階方陣，也就是一個(gè)數(shù) .如前例中求得攜手銷售各個(gè)型號牛仔褲利潤總和 . 這表明乘積矩陣 AB=C的第 i行第 j列元素 cij 是 A的第 i行與 B的第 j列對應(yīng)元素乘積之和 . ? ?sjisjijisjjjisiibabababbbaaa ?????????????????????22112121即????skijkjik cba1.ABBA 的乘積與求矩陣???????????????????? ??43110231101420201301??????????????????? ???43110231101420201301ABC例 4 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??????????????????????????????????????????????????????421031023202020212202042411330013103101111231041.1199 129 ?????? ???解 .BAABBA 與的乘積與求矩陣 ??????????????????63422142由該例可知，在一般情況下，矩陣的乘法不滿足交換律，即 AB≠BA. 且兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣 . 例 5 解 (i) (AB)C=A(BC)。 (ii)A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA。 (iii) k(AB)=(kA)B=A(k B), (其中 k為數(shù) ). 矩陣的乘法不滿足交換律， .BAAB ?如果 AB = BA 時(shí) , 稱 A, B為 可交換 矩陣 . 矩陣的乘法運(yùn)算規(guī)律 （假設(shè)運(yùn)算都是可行的） 注意 ?????????????????? ?328021382201T?矩陣的轉(zhuǎn)置 定義 把矩陣 A的行列互換得到一個(gè) n m矩陣，稱為 A 的轉(zhuǎn)置 , 記作 AT . ,42 3143 21 ????????????? T例如 ? ? .931931????????????? T,212222111211?????????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????設(shè) .212221212111?????????????mnnnmmTaaaaaaaaaA???????則(i) (AT)T=A (ii) (A+B)T=AT+BT 證明 (iv) ? ? ? ?, nsijsmij bBaA ?? ??記 ? ? ,nmijcCAB ???由矩陣的乘法定義， (AB)T的 一般項(xiàng)為 運(yùn)算規(guī)律 （假設(shè)運(yùn)算都是可行的） (iii) (kA)T=k AT (iv) (AB)T=BTAT 設(shè) ,???????skkijksijsijijji babababac12211 ?對于多個(gè)矩陣相乘，有 ? ?TTTtTt AAAAAA 1221 ?? ?? ? ., TABBA 求已知?????????? ???????? ??102324171231102,1013173140102324171231102?????? ???????????? ??????? ??AB因? ?????????????????????????????????????1031314170213012131027241TTT ABAB? ? .1031314170????????????TAB故解法 1 解法 2 例 6 ? ? 1121123123443212320531112301421...,..,.XXABBABABA，求已知求設(shè)求??????????????????????????????????????? ?????????.. ??????????49911111:答案綜合練習(xí) ..)..( ????????113202 X?,.?????????????????????????????????????????????1edecbdba)1yx5 . ( A B 。1231211111111114yxfBA 求設(shè)..??????????0222644:答案.. feydxcybxyax ????? 2225 22綜合練習(xí) ? 矩陣的初等變換 定義 對 m n矩陣施以以下變換均稱為矩陣的初等變換： (ii)以非零數(shù) k乘某行的所有元素； (iii)把某一行的所有元素的 k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去 . )( ji rr ?記作)( kr i ?記作)( ji krr ?記作初等行變換： 注 將上述定義中 “行”改為“列”即為初等列變換定義 . (i)對調(diào)兩行； (i)對調(diào)兩列； (ii)以非零數(shù) k乘某列的所有元素； (iii)把某一列的所有元素的 k倍 加到另一列對應(yīng)的元素上去 . )( ji cc ?記作)( kc i ?記作)( ji kcc ?記作初等列變換 注 初等行（列）變換統(tǒng)稱初等變換 .教材重點(diǎn)討論初等行變換 . ???????????????????????32154060060054032131 rrA例如 ???????????????????????600108032160054032121rA??????????????????????
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