【文章內容簡介】 ??????式中 其中這里 ， [Δi]表示結點 i的位移列向量 ，、 和分別為結點 i沿結構坐標系 x、 y軸的線位移和角位移 ， 它們分別以沿坐標軸的正向和順時針方向為正 。 (非結點荷載可等效為結點荷載 ， 見167。 106)， 則與結點位移列向量相應的結點外力 (包括荷載和反力 )列向量為 ? ?? ?? ?? ?? ?1234FFFFF??????? ????????，式中， ? ? 1111xyFFFM???????????? ?2222xyFFFM???????????? ?3333xyFFFM???????????? ?4444xyFFFM???????????這里 ， [Fi]代表結點 i的外力列向量 ，、 和分別為作用于結點 i的沿 x、 y方向的外力和外力偶 ， 它們的正負號規(guī)定與相應的結點位移相同 。 在結點 3處 ， 結點外力 [F2]、 [F3]就是結點荷載 ， 它們通常是給定的 。 而在結點 4上 ， 當沒有給定結點荷載時 ， 結點外力 {F1}、 [F4]就是支座反力；當支座處還有給定的荷載作用時 ， 則應為結點荷載與支座反力的代數(shù)和 。 。 各 單元和各結點的隔離體圖如圖 106(c)所示 。 圖中各單元上的桿端力均是沿著結構坐標系的正向作用的 。 在前面單元分析中 ， 已經保證了各單元本身的平衡和變形連續(xù) ， 因此只需考慮各單元聯(lián)結處 ， 即各結點處的平衡條件和變形連續(xù)條件 。 現(xiàn)以結點 2為例 ， 由平衡條件 ΣFx=0、 ΣFy=0和 ΣM=0， 可得 寫成矩陣形式 122 2 2x x xF F F?? 122 2 2y y yF F F?? 122 2 2M M M??122 2 2122 2 2122 2 2x x xy y yF F FF F FM M M? ? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ?上式左邊為結點 2的荷載列向量 [F2]， 右邊兩列分別為單元 ① 和單元② 在 2端的桿端力列向量 [F2]① 和 [F2]② ， 故上式可簡寫為 [F2]=[F2]① +[F2]② (b) 根據(jù)式 (1022)， 上述桿端力列向量可用桿端位移列向量來表示 1 1 1 1 12 2 1 1 2 2 2F k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 22 2 2 2 2 3 3F k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (c) 再根據(jù)結點處的變形連續(xù)條件，應該有 ? ?122 2 2??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?111??????? ? ?233??????? (d) 將式 (c)和 (d)代入 (b)，則得到以結點位移表示的結點 2的平衡方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 22 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3F k k k k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?(e) 同理 ， 對結點 4都可建立類似的平衡方程 。 將所有四個結點的方程匯集在一起 ， 就有 ? ? ? ? ? ?111 1 1 1 1 2 2F k k? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 22 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3F k k k k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 3 33 3 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4F k k k k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?334 4 3 3 4 4 4F k k? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(1027) 寫成矩陣形式則為 ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?1111111 12121 1 2 22221 22 22 23232 2 332 33 3333344440000xyxyxyxyFFFkkMFFFk k k kMFk k kFFMFFFM?? ???? ???? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??????????????? ? ? ? ??????? ? ? ??????????????????????????????? ????? ? ? ?? ?? ?? ?? ?11112222333433343343 4444400uvuvukvukkv?????? ???? ?????? ?????? ?????????? ???????????? ???????????? ??????? ? ???????? ? ? ????????? ????????????????? ? ? ?????? ? ? ??????????? ????(1028) 上式便是用結點位移表示的所有結點的平衡方程 ， 它表明了結點外力與結點位移之間的關系 ， 通常稱為結構的 原始剛度方程 ，“ 原始 ” 之意是指尚未引入支承條件 。 上式可簡寫為 [F]=〔 K〕 [Δ] (1229) 式中 稱為結構的原始剛度矩陣 ， 也稱結構的總剛度矩陣 (簡稱總剛 )。 它的每個子塊都是 3 3階方陣 ， 故 為 12 12階方程 。其中的每一個元素的物理意義就是當其所在列對應的結點位移分量等于 1(其余結點位移分量均為零 )時 ， 其所在行對應的結點外力分量的數(shù)值 。 結構的原始剛度矩陣 具有如下性質： (1) 對稱性 。 原始剛度矩陣 是一個對稱方陣 ， 這可由反力互等定理得知 。 ? ?K? ?K? ?K? ?K (2) 奇異性 。 原始剛度矩陣是奇異的 ， 其逆陣不存在 。 這是由于建立方程式 (1029)時 ， 沒有考慮結構的約束條件 ， 結構還可以有任意剛體位移 ， 結點位移的解答不是唯一的 。 故還不能由式 (1029)來求結點位移 ， 只能在引入支承條件 ， 對結構的原始剛度方程進行修改后 ， 才能求解未知的結點位移 ， 這將在下一節(jié)中討論 。 下面討論如何由單元剛度矩陣直接形成結構原始剛度矩陣 。 考察前面式 (a)及式 (1028)可知 ， 結構的原始剛度矩陣是由每個單元剛度矩陣的四個子塊按其兩個下標號碼送入結構剛度矩陣中的相應位置上而形成的 。 也就是將各單元子塊 “ 對號入座 ”即形成總剛 。 以單元 ③ 的四個子塊為例 ， 其入座位置如圖 107所示 。 一般而言 ， 某單剛子塊 就應被送入總剛 (以子塊形式 ][ eijK形式表示 )中第 i行第 j列的位置上去 。 這種利用結構坐標系中的單元剛度矩陣子塊對號入座直接形成總剛的方法 ， 稱為 直接剛度法 。 [ K ]=[ k ]=22k 22 k 232k 322 2k 331 2 3 412342 323圖 107 在對號入座時 ， 具有相同下標的各單剛子塊 ， 在總剛中被送到同一位置上 ， 各單剛子塊要進行疊加 ， 而沒有單剛子塊送入的位置上則為零子塊 。 位于主對角線上的子塊稱為 主子塊 ；其余子塊稱為 副子塊 。 同交于一個結點上的各桿件稱為該結點的 相關單元 ；兩個結點之間有桿件直接相聯(lián)者稱為 相關結點 。 則由單剛子塊對號入座形成總剛具有如下規(guī)律 (1) 總剛中的主子塊 是由結點 i的各相關單元的主子塊疊加求得的 ， 即 。 (2) 總剛中的副子塊 ， 當 i、 m為相關結點時即為聯(lián)結它們的單元的相應副子塊 ， 即 ；當 i、 m為非相關結點時為零子塊 ， 即 =[0]。 ? ?iiK? ? eii iiKk???? ??? ?imK? ? eim imKk??? ??? ?imK例 101 試求圖 108所示剛架的原始剛度矩陣 。 各桿材料及截面均相同 ， EA= 107kN， EI= 106kNm2。 324 xyxxx4m21314m圖 108 解： (1) 將各單元 、 結點編號 ， 并選取結構坐標系及各單元局部坐標系 (圖中剪頭所示方向 為方向 ， 其坐標原點在各桿的始端 )如圖中所示 。 各單元始末端的結點編號見表 102。 x表 102 各單元始末端的結點編號 單元 始末端結點號 i j ① ② ③ 2 3 1 2 4 3 (2) 各單元在整體坐標系中的單元剛度矩陣按式 (1023)計算 。 將有關數(shù)據(jù)計算如下 6 2 2 2 3( 2 0 0 1 0 / ) ( 1 1 0 ) 5 0 0 1 0 /4E A k N m m k N mlm?? ? ?? ? ?6 2 5 4 3331 2 1 2 ( 2 0 0 1 0 / ) ( 3 2 1 0 ) 1 2 1 0 /( 4 )E I k N m m k N mlm?? ? ? ?? ? ?326 2 4 1 0EI kNl ??34 6 4 1 0EI k N ml ? ? ?32 3 2 1 0EI k N ml ? ? ?對于①單元， α=0176。 ， sinα=0， cosα=1，可算得 1122 23131132 33500 0 0 500 0 00 12 24 0 12 240 24 64 0 24 3210500 0 0 500 0 00 12 24 0 12 240 24 32 0 24 64kkkkk????????? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ???? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ??????對于②單元和③， α=90176。 ， sinα=1， cosα=0，可算得 2 2 3 311 12 44 432 3 32 2 3 321 22 34 3312 0 24 12 0 240 500 0 0 500 024 0 64 24 0 321012 0 24 12 0 240 500 0 0 500 024 0 32 24 0 64k k k kkkk k k k? ? ??????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???????(3) 將各單剛子塊對號入座形成總剛 。 167。 105 支承條件的引入 上節(jié)中建立的圖 106所示結構的原始剛度方程式 (1028)并沒有考慮支承條件 ， 結構還可以有任意的剛體位移 ， 所以原始剛度矩陣是奇異的 ， 其逆矩陣不存在 ， 因而不能由式 (1028)來求解結點位移 。 在式 (1028)中 [F2]、 [F3]是已知的結點荷載 ， 與之相應的 [Δ2]、[Δ3]是待求的未知結點位移；而 [F1]、 [F4]是未知的支座反力 ，