高階系統(tǒng)的時(shí)域分析(課程設(shè)計(jì))(編輯修改稿)
2025-07-13 13:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 一個(gè)極點(diǎn)（或一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）離虛軸最近，且其附近又無零點(diǎn)存在，而其他所有極點(diǎn)與虛軸 的距離都在此極點(diǎn)與虛軸的距離的五倍以上，則可近似地 認(rèn)為系統(tǒng)的瞬態(tài) 響應(yīng) 特性由這個(gè)（或這對(duì)）極點(diǎn)來確定，而其它極點(diǎn)的影響可以忽略不計(jì)，這個(gè)（或這對(duì)）極點(diǎn)就稱為高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。 下面以選取的系統(tǒng) 進(jìn)行分析， 其 閉環(huán)傳遞函數(shù)為上面的式 (5)。在單位階躍輸入作用下，系統(tǒng)輸出為 4 3 2 21 1 5 ( 2 ) 1 5( ) ( ) ( ) 6 1 6 3 1 3 0 ( 3 ) ( 5 )sC s R s s s s s s s s s s s?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 對(duì)上式進(jìn)行部分分式展開： 21 0 . 4 5 4 5 0 . 5 4 5 5 1 . 9 0 9 2() 35sCs s s s s?? ? ?? ? ? 對(duì)部分分式進(jìn)行 拉普拉斯 反變換，并設(shè)初始條件全部為零，得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)： 1 3 0 . 5 0 . 5( ) [ ( ) ] 1 0 .4 5 4 5 0 .5 4 5 5 c o s( 2 .1 7 9 4 ) 0 .7 5 0 9 sin( 2 .1 7 9 4 )t t tc t L C s e e t e t? ? ? ?? ? ? ? ? (6) 對(duì)于高階系統(tǒng)，用上述解析法求解系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)比較復(fù)雜，若借助 MATLAB 軟件將十分簡單。 MATLAB 中 tf2zp()函數(shù) 能將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為零極點(diǎn)模型 ， residue()函數(shù)可以直接求出傳遞函數(shù)部分分式展開，由這些結(jié)果可以直接寫出系統(tǒng)的輸出解析解。 另外， 利用 step()函數(shù) 還 能準(zhǔn)確繪制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線 。 式 (5)所表示系統(tǒng) 可以用下面的 MATLAB 語句 求解 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。 num=[15 30]。den=[1 6 16 31 30]。 %描述閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式 sys=tf(num,den)。 %高階系統(tǒng)建模 [z,p,k]=tf2zp(num,den)。 %對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行因式分解 zpk(z,p,k) %給出閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式 [r,p,k]=residue(num,[den,0]) %對(duì) C(s)部分分式展開 %在分母多項(xiàng)式后補(bǔ)零相當(dāng)于乘以 s step(sys) %繪制 高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 曲線 grid %添加?xùn)鸥? title(‘單位階躍響應(yīng) ’)。 %標(biāo)注標(biāo)題 xlabel(‘t’)。 ylabel(‘c(t)’)。 %標(biāo)注橫、縱坐標(biāo)軸 程序運(yùn)行后得到系統(tǒng) 零極點(diǎn)形式 、 部分分式展開式 ，這里不列出。繪制的單位階躍響應(yīng)曲線如圖 1 所示。 6 0 2 4 6 8 10 12 1400 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 4單位階躍響應(yīng)t ( s e c )c(t) 圖 1 單位階躍響應(yīng)曲線 由 (6)式 單位階躍響應(yīng)時(shí)域表達(dá)式 可知系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)，單位階躍響應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)和阻尼正弦余弦項(xiàng)均趨 近 于零，穩(wěn)態(tài)輸出為常數(shù)項(xiàng) 1，這與用 MATLAB 繪制的 響應(yīng) 曲線相符。 現(xiàn)將 (6)式中 三個(gè)瞬態(tài)分量曲線用 MATLAB 軟件畫出，如圖 2 所示。其中曲線 1 為瞬態(tài)分量 31 tye??? ，曲線 2 為分量 0. 52 0 .5 4 5 5 c o s( 2 .1 7 9 4 )ty e t??? ，曲線 3 為分量0. 53 0 .7 5 0 9 sin ( 2 .1 7 9 4 )ty e t??? .由比較曲線可以看到，各分量的衰減速率和初始值都與相應(yīng)的極點(diǎn)到虛軸的距離密切相關(guān)。與 e3t 項(xiàng)相比， 項(xiàng)具有慢得多的衰減速率 。因此，對(duì)于除了 t 趨近于零以外的所有時(shí)間， e3t 項(xiàng)在合成的時(shí)域響應(yīng)中的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)。所以 可以說， 項(xiàng)在響應(yīng)中起著主導(dǎo)作用，相應(yīng)地， s = 177。 是該系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 4t ( s e c )y123 圖 2 單位階躍響應(yīng) 瞬態(tài)分量比較 單位階躍響應(yīng) 動(dòng)態(tài)性能 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)是指穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間 t 的變化 狀況的指標(biāo) ，體現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程特征。用解析法求解高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)很困難，這里用MATLAB 編程 求解。 調(diào)用單位階躍響應(yīng)函數(shù) step()，獲得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，當(dāng)采用[y,t]=step(sys)的調(diào)用格式時(shí)，將返回值 y 及相應(yīng)的時(shí)間 t，通過對(duì) y 和 t 進(jìn)行計(jì)算，可以得到高階系統(tǒng)各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。 利用 MATLAB 編程求取系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)流程圖如圖 3 所示。 8 開 始系 統(tǒng) 建 模調(diào) 用 d c g a i n （ ） 求 終 值 C 并 輸 出調(diào) 用 s t e p （ ） 返 回 響應(yīng) 值 y 及 相 應(yīng) 時(shí) 間 t調(diào) 用 m a x （ ） 求 峰 值 Y及 相 應(yīng) 位 置 kt p = t ( k ) , M p = ( Y C ) / C ,輸 出 t p 、 M p初 始 化 n = 1Y （ n ） Cn = n + 1Y輸 出 t r = t （ n ）N調(diào) 用 l e n g t h （ ） 求仿 真 時(shí) 間 序 列 長 度 i0 . 9 8 C y ( i ) 1 . 0 2 Ci = i 1Y輸
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