【文章內容簡介】 (x)的極值點，且 f? (x0)存在，則必有 f? (x0) = 0 B． x0是 f (x)的極值點，則 x0必是 f (x)的駐點 C ． 若 f? (x0) = 0 ，則 x0 必是 f (x) 的極值點 D． 使 )(xf? 不存在的點 x0，一定是 f (x)的極值點 三、解答題（每小題 7 分，共 56 分） 1 設 xxy 12e? ，求 y? ． 解 )1(2)1(2)()()( 2121121121212 xexxexexxeexexexy xxxxxxx ?????????????xxx exexe 111 )12(2 ???? 或 ? ?1 1 12212 2 1x x xy x e x e x ex??? ? ? ? ? ????? 2．設 xxy 3cos4sin ?? ，求 y? . 解 24 c os 4 3 si n c osy x x x??? 3．設 xy x 1e 1 ?? ? ，求 y? . 解 21211 112 e1)1(e)1()e( xxxxxyxxx ??????????????? 4．設 xxxy cosln?? ，求 y? . 解 xxxxxxy c oss i n23)c os(l n)( ??????? 或 3 s in 3 ta n2 c o s 2xy x x xx? ? ? ? ? 5．設 )(xyy? 是由方程 422 ??? xyyx 確定的隱函數(shù)，求 yd . 解 對方程兩邊同時對 x求微分，得 ? ? ? ?2 2 02222x d x y d y x d y y d xx y d x x y d yxyd y d xxy? ? ? ?? ? ????? 6．設 )(xyy? 是由方程 1222 ??? xyyx 確定的隱函數(shù)，求 yd . 解 原方程可化為 ? ?21xy??， 1, 1x y y x? ? ? ? ? ? ? 1,y dy dx?? ? ? ? ? 7．設 )(xyy? 是由方程 4ee 2 ??? xx yx 確定的隱函數(shù)，求 yd .解：方程兩邊同時對 x 求微分，得 20x y ye d x e d y x e d x x d x? ? ? ? ? ?2y x yx e d y e e x d x? ? ? ? 2xyye e xd y d xxe??? ? ?. 8．設 1e)cos( ??? yyx ，求 yd ． 解：方程兩邊同時對 x 求微分，得 ? ?? ?sin 0yx y dx dy e dy? ? ? ? ? ? ?? ?s ins iny xyd y d xe x y??? ?? 一、填空題（每小題 2 分，共 20 分） 1． 若 )(xf 的一個原函數(shù)為 2lnx ，則 ?)(xf 。 答案： `x2 （ c為任意常數(shù)）或 2ln 2x x x c?? 2． 若 )(xf 的一個原函數(shù)為 xx 2e?? ，則 ?? )(xf 。 答案： xe 221 ?? 或 24 xe?? 3．若 ? ?? cxxxf xed)( ，則 ?)(xf ． 答案：xx xee ? 或 ? ?1 xxe? 4．若 ? ?? cxxxf 2sind)( ，則 )(xf ． 答案：xcos2 或 2cos2x 5．若 cxxxxf ??? lnd)( ，則 ?? )(xf ．答案：x1 6．若 ? ?? cxxxf 2cosd)( ，則 ?? )( xf ． 答案： xcon24? 7． ?? ? xx ded 2 dxex2? ．答案： dxex2? 8． ??? xx d)(sin ． 答案： cx?sin 9 ． 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則? ??xxf d)32( ．答案： cxF ?? )32(21 10 ． 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則? ?? xxxf d)1( 2 ． 答案： cxF ??? )1(21 2 二、單項選擇題（每小題 2 分，共 16 分） 1．下列等式成立的是（ ） ．答案： A A． )(d)(dd xfxxfx ?? B． )(d)( xfxxf ??? C． )(d)(d xfxxf ?? D． )()(d xfxf ?? 3．若 cxxxf x ??? 22 ed)( ，則 ?)(xf （ ） . 答案： A A. )1(e2 2 xx x ? B. xx 22e2 C. xx2e2 D. xx2e 4．若 )0()( ??? xxxxf ，則 ??? xxf d)( （ ） . 答案： A A. cxx ?? B. cxx ??2 C. cxx ?? 232 23 D. cxx ?? 232 3221 5．以下計算正確的是（ ） 答案： A A ． 3ln3dd3 xx x? B ． )1(d1 d 22 xxx ??? C． xxx dd ? D． )1d(dln xxx ? 6． ???? xxfx d)( （ ） 答案： A A. cxfxfx ??? )()( B. cxfx ?? )( C. cxfx ?? )(21 2 D. cxfx ??? )()1( 7． ? ? xa xdd 2 =（ ）． 答案： C A． xa2? B． xaa x dln2 2?? C． xa xd2? D． cxa x ?? d2 8．如果等式 ? ??? ?? Cxxf xx 11 ede)( ，則 ?)(xf （） 答案 B A. x1? B. 21x? C. x1 D. 21x 三、計算題（每小題 7 分，共 35 分） 1． ? ?? xx xxx dsin3 3 解 cxxxdxxxxxx xxx ????????? ?? c os32ln3)s i n3(ds i n3 233或 32s in 3 l n c o s3x x d x x x x x cx??? ? ? ? ? ?????? 2． xx d)12( 10? ? 解 ? ? ? ? ? ? ? ?10 1 1 1 11 1 1 12 1 2 1 2 1 2 12 2 1 1 2 2x d x x c x c? ? ? ? ? ? ? ? ?? 3 ． xx xd1sin2? 解 cxxdxdxx x ???? ?? 1c o s)1(1s i n1s i n2 4． ? xxx d2sin 1 1 1 1 1c o s 2 c o s 2 c o s 2 c o s 2 s in 22 2 2 2 4x d x x x x d x x x x c? ? ? ? ? ? ? ???5． ? ? xxexd 解 ? ?1x x x x x xx d e x e e d x x e e c x e c? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 四、極值應用題（每小題 12 分，共 24 分） 1． 設矩形的周長為 120 厘米，以矩形的一邊為軸旋轉一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時，才能使圓柱體的體積最大。 1． 解： 設矩形 ABCD 的一邊 AB x? 厘米，則60BC x??厘米， 當它沿直線 AB 旋轉一周后，得到圓柱的體積 ? ? ? ?260 , 0 60V x x x?? ? ? ? 令 ? ? ? ?26 0 2 6 0 0V x x x? ??? ? ? ? ? ???得 20x? 當 ? ?0,20x? 時， 0V?? ；當 ? ?20,60x? 時， 0V?? . 20x?? 是函數(shù) V 的極大值點，也是最大值點 . 此時 60 40x?? 答：當矩形的邊長分別為 20厘米和 40厘米時，才能使圓柱體的體積最大 . )(3 2 0 01 6 0 0204020)2060(20 22 立方厘米???? ???????V2． 欲用圍墻圍成面積為 216 平方米的一成矩 形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 2. 解：設成矩形有土地的寬為 x 米，則長為 216x米， 于是圍墻的長度為 ? ?4323 , 0L x xx? ? ? 令243230L x?? ? ?得 ? ?12x ? 取 正 易知，當 12x? 時， L 取得唯一的極小值即最小值，此時 216 18x ? 答：這塊土地的長和寬分別為 18米和 12米時，才能使所用的建筑材料最省 . 五、證明題（本題 5 分） 1 函數(shù) xexxf ??)( 在（ )0,?? 是單調增加的． ? ?? ?? ? ? ?1 0 , 0 1 0 , 0 , 0 .xxxf x exex f xf x x e? ??? ? ??? ? ?? ? ??證 ：當 時當 時從 而 函 數(shù) 在 區(qū) 間 是 單 調 增 加 的 一、填空題（每小題 2 分，共 20 分） 1． .______d)2c os(s i n11 2 ???? xxxx答案： 32? 2． .______d)c os4(225 ????? xxxx??答案： 2? 或 2 3． 已知曲線 )(xfy? 在任意點 x 處切線的斜率為 x ，且曲線過 )5,4( ，則該曲線的方程是 。答案： 32 ??? xy 或322 1633yx?? 4．若 ????? dxxx )235(11 3 ． 答案： 2 或 4 5．由定積分的幾何意義知， xxaa d0 22? ?= 。答案： 24a? 6． ???e1 2 d)1ln(dd xxx . 答案： 0 7． xxde0 2???= ．答案： 21 8．微分方程 1)0(, ??? yyy 的特解為 . 答案： 1或 xye? 9．微分方程 03 ??? yy 的通解為 . 答案： xe3? 或3xy ce?? 10．微分方程 xyxyy s in4)( 7)4(3 ???? 的階數(shù)為 ．答案： 2或 4 二、單項選擇題（每小題 2 分，共 20 分） 1．在切線斜率為 2x 的積分曲線族中，通過點（ 1, 4）的曲線為（ ）． 答 案： A A ． y = x2 + 3 B ． y = x2 + 4 C． 22 ??xy D． 12 ??xy 2．若 ? ?10 d)2( xkx= 2，則 k =（ ）． 答案： A A． 1 B． 1 C． 0 D． 21 3．下列定積分中積分值為 0的是 （ ）． 答案： A A ． xxx d2ee11???? B． xxx d2ee11???? C． xxx d)cos( 3?? ??? D． xxx d)sin( 2?? ??? 4．設 )(xf 是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分 ??aa xxf d)(（ ） 答 案： D 5． ?? xxdsin22??（ ）． 答案： D A． 0 B． ? C．2? D． 2 6．下列無窮積分收斂的是（ ）．答 案： B A． ???0 de xx B． ??? ?0 de