【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ． 9． 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則 ? ?? xxf d)32( ? ?1 232 F x c?? ． 10． 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則 ? ?? xxxf d)1( 2 ? ?21 12F x c? ? ? ． 二、單項(xiàng)選擇題（每小題 2 分，共 16 分） 1．下列等式成立的是（ ）． A． )(d)(dd xfxxfx ?? B． )(d)( xfxxf ??? C． )(d)(d xfxxf ?? D． )()(d xfxf ?? 解：應(yīng)選 A 2．若 cxxxf x ??? 22 ed)( ，則 ?)(xf （ ） . A. )1(e2 2 xx x ? B. xx 22e2 C. xx2e2 D. xx2e 解：兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得： xx exxexf 222 22)( ?? ? )1(e2 x ? ， 所以應(yīng)選 A 10 3．若 )0()( ??? xxxxf ，則 ??? xxf d)( （ ） . A. cxx ?? B. cxx ??2 C. cxx ?? 23223 D. cxx ?? 2323221 解：應(yīng)選 A 4．以下計(jì)算正確的是（ ） A．3ln3dd3 xx x? B． )1(d1 d 22 xxx ??? C． xxx dd ? D． )1d(dlnxxx ? 解：應(yīng)選 A 5． ???? xxfx d)( （ ） A. cxfxfx ??? )()( B. cxfx ?? )( C. cxfx ?? )(21 2 D. cxfx ??? )()1( 解： ???? xxfx d)( ? ? ????????? cxfxfxdxxfxfxxfxd )()()()()( ， 所以應(yīng)選 A 6． ? ? xa xdd 2 =（ ）． A． xa2? B． xaa x dln2 2?? C． xa xd2? D． cxa x ?? d2 解：應(yīng)選 C 7．如果等式 ? ??? ?? Cxxf xx 11 ede)( ，則 ?)(f （ ） A. x1? B. 21x? C. x1 D. 21x 解：兩邊求導(dǎo)，得：211 1)(xeexf xx ??? ?? ， 所以 21)( xxf ?? ，故應(yīng)選 B 三、計(jì)算題（每小題 7 分，共 35 分） 1． ? ?? xx xxx dsin3 3 解： ? ?? xx xxx dsin3 3 ??? ??? x dxdxxdxx s in13 cxxx ???? c os32ln3 23 2． xx d)12( 10? ? 解： xx d)12( 10? ? cxxdx ???????? ?? 11010 )12(110 121)12()12(21 cx ??? 11)12(221 3． xx xd1sin2? 11 解： xx xd1sin2? cxxdx ???? ? 1c os)1(1s in 4． ? xxx d2sin 解： ? xxx d2sin ?? ????? )2c os2c os(212c os21 x dxxxxxd cxxx ???? 2s in412c os21 5． ? ? xxexd 解： ? ? xxexd cexedxexex d e xxxxx ????????? ????? ?? )( 四、極值應(yīng)用題（每小題 12 分，共 24 分） 1． 設(shè)矩形的周長(zhǎng)為 120 厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。 解：設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為 x 厘米，則另一邊長(zhǎng)為 x?60 厘米，以 x?60 厘米的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體，則體積 V 為： )60(2 xxV ??? ，即： 3260 xxV ?? ?? 23120 xxdxdV ?? ?? ，令 0?dxdV ，得： 0?x （不合題意，舍去）， 40?x ，這時(shí) 2060 ??x 由于根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，有最大體積，故當(dāng)矩形的一邊長(zhǎng)為 40 厘米、另一邊長(zhǎng)為 60 厘米時(shí)， 才能使圓柱體的體積最大。 2． 欲用圍墻圍成面積為 216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問(wèn)這塊土地的長(zhǎng)和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為 x 米，則矩形的寬為 x216 米，從而所用建筑材料為： xxL 21632 ??? ，即： xxL 6482 ?? 26482 xdxdL ??，令 0?dxdL 得： 18?x （取正值），這時(shí) 12216?x 由于根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，確實(shí)有最小值，故當(dāng)矩形的長(zhǎng)為 18 米，寬為 12 米時(shí)，才能使所用建筑材料最省 五、證明題（本題 5 分） 函數(shù) xexxf ??)( 在（ )0,?? 是單調(diào)增加的． 證明：因?yàn)?xexf ??? 1)( ，當(dāng) ?x （ )0,?? 時(shí)， xexf ??? 1)( 0? 所以函數(shù) xexxf ??)( 在（ )0,?? 是單調(diào)增加的． 微積分初步形成性考核作業(yè)（四）解答（選擇題除外） ——— 定積分及應(yīng)用、微分方程 一、填空題（每小題 2 分，共 20 分） 12 1． .______d)2c os(s i n11 2 ???? xxxx 解：3222c oss i nd)2c os(s i n 10 21 1 21 11 1 2 ??????? ???? ??? dxxdxxx dxxxxxx 2． .______d)c os4(225 ????? xxxx?? 解： ?????? ????? 2 22 25225 c os)4(d)c os4( ?????? x dxdxxxxxxx 2s in2c os2 2020 ??? ? ?? xx dx 3． 已知曲線 )(xfy? 在任意點(diǎn) x 處切線的斜率為 x ，且曲線過(guò) )5,4( ，則該曲線的方程是 。 解：由 cxdxx ??? 2332 得所求的曲線方程由 cxy ?? 2332 確定 因?yàn)榍€過(guò) )5,4( ，所以 c??? 234325 ，解得： 31??c 因此所求的曲線方程為 3132 23 ?? xy 4．若 ????? dxxx )235(11 3 ． 解： ????? dxxx )235(11 3 442)35(101 11 1 3 ???? ??? ?? dxdxdxxx 5．由定積分的幾何意義知， xxaa d0 22? ?= 。 解：由定積分的幾何意義知， xxaa d0 22? ?就等于圓 222 ayx ?? 在第Ⅰ象限的面積，即 圓 222 ayx ?? 面積的 41 ，因此 xxaa d0 22? ? 241 a?? 6． ???e1 2 d)1ln(dd xxx . 解： ???e1 2 d)1ln(dd xxx0 7． xxde0 2???= ． 解： xxde0 2???020 20 221l i m)2(l i m21l i m bxbb xbb xb exdedxe ????????? ?? ?? 21)1(lim21 2 ?????? bb e 8．微分方 程 1)0(, ??? yyy 的特解為 . 解：由 yy?? 得 ydxdy? ， dxydy?，兩邊同時(shí)積分，得 cxy ??ln 因?yàn)?1)0( ?y ，所以 c??01ln ，所以 0?c 13 從而 xy?ln ，因此微分方程 1)0(, ??? yyy 的特解為 xey? 9．微分方程 03 ??? yy 的通解為 . 解： 03 ??? yy ， 03 ?? ydxdy， 03 ?? dxydy， 13ln cxy ?? xcy 3ln 1 ?? ， xcey 31?? ，即 xc eey 31 ??? 所以微分方程 03 ??? yy 的通解為 xcey 3?? 10．微分方程 xyxyy s in4)( 7)4(3 ???? 的階數(shù)為 ． 解：微分方程 xyxyy s in4)( 7)4(3 ???? 的階數(shù)為 4 階 二、單項(xiàng)選擇題（每小題 2 分，共 20 分） 1．在切線斜率為 2x 的積分曲線族中，通過(guò)點(diǎn)（ 1, 4）的曲線為 （ A ）． A． y = x2 + 3 B． y = x2 + 4 C． 22 ??xy D． 12 ??xy 2．若 ? ?10 d)2( xkx= 2，則 k =（ A ）． A． 1 B． 1 C． 0 D． 21 3．下列定積分中積分值為 0 的是 （ A ）． A． xxx d2ee11???? B． xxx d2ee11???? C． xxx d)cos( 3?? ??? D． xxx d)sin( 2??