電大復(fù)變函數(shù)形成性考核冊參考答案(1)(編輯修改稿)
2025-07-11 17:57 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 nzz dzzz ze 作區(qū)域 D: 1?z 積分途徑在 D內(nèi)被積函數(shù)的奇點 Z=2與 Z=3 均不在 D內(nèi) ,所以被積函數(shù)在 D 內(nèi)解析 . 由定理 : ?? ???1 2 12102 sinz z dzzz ze =0 3. 計算積分 ? ???c zcdzzz 41:,)1)(1( 1 32 . 解 : ? ??c dzzz )1)(1( 1 32 ∵ 奇點 z=1和 z=1 不在區(qū)域 D, 1?z 內(nèi) 013 ??z 的三個根 2,1,0,32 ?? kez ikk ? 也不在 D內(nèi) ∴ 由定理 得 ? ??c dzzz )1)(1( 1 32 =0 4. 計算積分 ?czdzze5 , 5: ?zc . 解 : 由定理 得 0)4(5 ])[(!42 ??? zzcz eidzze ? ? 12i? 四、證明題 1. 計算積分 ?? ?1 21z dzz ，并由此證明 0c os45 c os210 ???? ??? dn . 證明：∵ 21)( ?? zzf 在圓域 |z|≤ 1 內(nèi)解析 ∴ ?? ?1 21z dzz = ?? ??1 021z dzz 另一方面 ,在圓 |z|= )2)(s in( c o s1 ???? ??? zi ∴ ?? ?1 21z dzz =?? ????? ???? )s i n(c os2s i nc os 1 id(實部和虛部為 0) =? ?? ? ???? ??????? ???? ?? ????? ??????? ?? dii iicdi ]s i n)c os2][(s i n)c os2[( ]s i n)c os2[(c oss i n2s i nc os c oss i n = ???? ???? di?? ??? ??? s inc osc os44 )1c os2(s in2 = dzi?? ? ????? ? ?? c os45 )c os21(s in2 = ?????? ???? did ?? ?? ????? c os45 c os21c os45 s i n2 ∵ ?? ?1 21z dzz =0 ∴ 0c os45 sin2 ????? ????? d ∴ 0c os45 c os21 ????? ????? d 而 ??cos45 cos21?? 為偶函數(shù) ∴ 0= ????? d?? ?? cos45 cos21 = ???? d? ??0 cos45 cos212 ∴ 0c os45 c os210 ???? ???? d 復(fù)變函數(shù)課程作業(yè)參考解答 3 第 5 章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示 一、單項選擇題 1. 冪級數(shù) ???0n nz 的收斂半徑等于 ( B ) ( A ) 0 (B) 1 ( C ) 2 (D) 3 2. 點 z=1是 f(z)= 5105 2 ?? zz r ( B )級零點 . ( A ) 1 (B)2 (C)3 (D)5 3. 級數(shù) ???0n nz 的收斂圓為 ( D ). (A) | z1| 3 (B) |z|3 (C) |z1| 1 (D) |z| 1 4. 設(shè) f(z)在點 a 解析 , 點 b 是 f(z)的奇點中離點 a 最近的奇點 ,于是 ,使f(z)=??? ?0 )(n nn azc 成立的收斂圓的半徑等于 ( C ). (A) a+b+1 (B) ba+1 (C) |ab| (D) |a+b| 二、填空題 1+z+ ??????? !!22 nzz n 的收斂圓 R=+? ．即整個復(fù)平面 ． f(z)= sinzk? (k 為常數(shù) ),則 z=m? (m=0, 2,1?? …… )為 f(z)的 1 級零點 . ???0 !n nzn 的收斂半徑等于 0 . =0是 f(z)=ez1的 1 級零點 . 三、計算題 f(z)= ? ?? ?? ?121 ??? zz 在點 z=0 展開冪級數(shù) . 解 : f(z)= ? ?? ? 21161312131113121111110 zzzzzzzznn??????????????? ?????? ???? =??? ??????????????? ?????????? ????000 261312116131nnnnnn zzzz 1?z f(z)=(1z)2在點 z=0展開成冪級數(shù) . 解： ? ? ? ?? ?????? ?? 12 11f( z ) zz? 而 (1z)1= ?????? 01 1 n nzz ? ?? ? ?? ??? ?????? ???????? 0 1012 ))((1)1( n nn n nzzzz =???? ?0 )1(n nzn 1?z 3．將函數(shù) f(z)=(z+2)1在點 z=1展開成冪級數(shù) . 解： f(z)=(z+2)1= ? ? 3 )1(11)1(3 113 12 1 ????????????? zzzz = ?? ?????? ????????? ??? 00 3 )1()1(313 )1(31 n nnnnn zz 31??z 4．將函數(shù) f(z)=ez在點 z=1展開成冪級數(shù) . 解： f(z)=ez f(n)=ez ? ? ef n ?? 1)( nnnz znfe )1(!f(z ) 0)1()( ????? ???? ＝ ???? ?0 )1(!nnzne 四、證明題 1．證明 :1ei2z=2isinzeiz 證： eiz=cosz+isinz ?eiz=cosisinz ?eizeiz=2isinz ?2isinz=( eizeiz) = eizeiz ?2isinz eiz =( eiz eiz) eiz =e0 e2iz=1 e2iz 2．試用解析函數(shù)的唯一性定理證明等式 : cos2z= cos2zsin2z 證 ① f1(z)=cos2z,則 f1(z)復(fù)平面 G解析 設(shè) f2(z)＝ cosz－ sin2ｚ，則 f2(z)也在整個復(fù)平面 G解析 ②取 E=K 為實數(shù)軸 ,則 E 在 G 內(nèi)有聚點 . ③當(dāng) E 為實數(shù)時 ,知 cos2z=cos2zsin2z,即 f1(z)= f2(z) ?由解析函數(shù)唯一性定理 ,由以上三條知 f1(z)= f2(z) GZ? 成立 即 cos2z= cos2zsin2z GZ? 第 6 章 解析函數(shù)的羅朗級數(shù)表示 一、單項選擇題 1．函數(shù) f(z)= 2312 ?? zz 在點 z=2的去心鄰域 ( D ) 內(nèi)可展成羅朗級數(shù) . (A) 0 3?z
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