【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 意方向面 Ⅰ 上 ， 正應(yīng)力和剪應(yīng)力都與 σ1無(wú)關(guān) 。 因此 ， 當(dāng)研究平行于 σ1的這一組方向面上的應(yīng)力時(shí) ， 所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài)： 過(guò)一點(diǎn)所有方向面中的最大切應(yīng)力 23223??? ??TSINGHUA UNIVERSITY 在平行于主應(yīng)力 σ 2方向的任意方向面Ⅱ 上 ， 正應(yīng)力和剪應(yīng)力都與 σ 2無(wú)關(guān) 。因此 ， 當(dāng)研究平行于 σ 2的這一組方向面上的應(yīng)力時(shí) ， 所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài)： σx=σ1,σ y=σ 3， τ xy＝ 0。 ? ? 22 421 xyyx ????? ??????＝Ⅱ 組方向面內(nèi)的最大切應(yīng)力 ； 過(guò)一點(diǎn)所有方向面中的最大剪應(yīng)力 23113??? ??TSINGHUA UNIVERSITY σx=σ1,σ y=σ 2， τ xy＝ 0； ? ? 22 421 xyyx ????? ??????＝在平行于主應(yīng)力 σ 3方向的任意方向面Ⅲ 上 ， 正應(yīng)力和剪應(yīng)力都與 σ 3無(wú)關(guān) 。因此 ， 當(dāng)研究平行于 σ 3的這一組方向面上的應(yīng)力時(shí) ， 所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài)： Ⅲ 組方向面內(nèi)的最大切應(yīng)力 。 過(guò)一點(diǎn)所有方向面中的最大剪應(yīng)力 22112??? ??TSINGHUA UNIVERSITY 一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)中的最大剪應(yīng)力 ， 必然是上述三者中最大的； 過(guò)一點(diǎn)所有方向面中的最大剪應(yīng)力 23223??? ??22112??? ??23113??? ??23113m ax???? ???TSINGHUA UNIVERSITY 例 1 薄壁圓管受扭轉(zhuǎn)和拉伸同時(shí)作用 （ 如圖所示 ） 。 已知圓管的平均直徑 D＝ 50 mm， 壁厚 δ＝ 2 mm。 外加力偶的力偶矩 Me＝ 600 Nm， 軸向載荷 FP＝ 20 kN。 薄壁管截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)可近似取為 2π 2P?dW ＝ 求： 1． 圓管表面上過(guò) D點(diǎn)與圓管母線夾角為 30186。的斜截 面上的應(yīng)力； 2. D點(diǎn)主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力 。 TSINGHUA UNIVERSITY 確定微元各個(gè)面上的應(yīng)力 1． 取微元： 圍繞 D點(diǎn)用橫截面 、 縱截面和圓柱面截取微元 。 σ τ 3PP 3 32 0 k N 1 0 6 3 7 M Paπ π 5 0 m m 1 0 2 m m 1 0 .FFAD? ??? ? ? ?＝ ＝ ＝ ＝? ? 22 3 3P2 2 6 0 0 N m 7 6 4 M Paπ π 5 0 m m 1 0 2 m m 1 0 .xM MeWd? ???? ? ? ?＝ ＝ ＝ ＝TSINGHUA UNIVERSITY 3． 求斜截面上的應(yīng)力 σx＝ MPa， σy＝ 0， τxy＝ 一 MPa， α ＝ 120186。 σ τ 三維投影成二維 σ τ ???????? ? s i n2c os 222 xyyxyx ??????????? ? c os 2s i n22 xyyx ???TSINGHUA UNIVERSITY ? ? ? ? ? ?M P a7101202co sM P a4761202s i n20M P a763...＝＝ ?? ?????? ? ? ? ? ?M P a3501202s i nM P a4761202co s2 0M P a7632 0M P a763....＝－－＋＋＝ ?? ????求斜截面上的應(yīng)力 ???????? s i n2c os 222 xyyxyx120 ??????????? c os 2s i n22 xyyx120 ???TSINGHUA UNIVERSITY 3． 確定主應(yīng)力與最大剪應(yīng)力 ? ? 22 4212 xyyxyx ?????? ?????＝? ? ? ?M P a6114M P a47640M P a763212 0M P a763 22....＝＝ ?????? ? 22 4212 xyyxyx ?????? ??????＝? ? ? ?M P a950M P a47640M P a763212 0M P a763 22....??????＝＝0＝? ???σ τ TSINGHUA UNIVERSITY 確定主應(yīng)力與最大剪應(yīng)力 1 1 1 4 6M P a.?? ?? ＝3 5 0 9M P a.?? ???? ＝2 0?? ???? ＝D點(diǎn)的最大切應(yīng)力為 ? ?13m a x1 1 4 . 6 M Pa 5 0 . 9 M Pa 8 2 . 7 5 M Pa22??? － －－＝ ＝ ＝TSINGHUA UNIVERSITY 例 2 已知 :應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。 試： 1．寫出主應(yīng)力 ? ? ?3的表達(dá)式； 2．若已知 ?x＝ MPa， ?xy= MPa， 當(dāng)坐標(biāo) 軸 x、 y反時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) α =120?后至 x′、 y ′ ，求 : ??、 τ? 。 TSINGHUA UNIVERSITY 應(yīng)用平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力公式 ? ? 2 21 422xy x y x y??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? 2 21 422xy x y x y??? ? ? ???? ? ? ? ?因?yàn)??y＝ 0，所以有 04212 22 ???? xyxx ???? ＝ 04212 22 ????? xyxx ???? ＝又因?yàn)槭瞧矫鎽?yīng)力狀態(tài)，故有 0?????? ? ? ? ? ? 2 2 3 4 2 1 2 xy x x ? ? ? ? ? ＝ ? ? ? 2 0 ? ? ＝ ? ? ? ? 2 2 1 4 2 1 2 xy x x ? ? ? ? ? ＝ TSINGHUA UNIVERSITY ?x＝ MPa， ?y＝ 0； ? ? ? ?6666 3 7 0 1 0 c o s 2 1 2 0 2 7 6 4 1 0 sin 2 1 2 028 2 .1 1 0 Pa 8 2 .1 M Pax? ????? ? ? ? ? ? ?????? ? ?. .? ? ? ?666 3 7 0 1 0 s i n 2 1 2 0 7 6 4 1 0 c o s 2 1 2 02xyτ ?? ???? ? ? ? ? ? ?????. .M P a865Pa10865 6 .. ??????xy＝－ ?yx= MPa， α =120? α TSINGHUA UNIVERSITY 試求 （ 1） ? 斜面上的應(yīng)力； （ 2）主應(yīng)力、主平面； （ 3）繪出主應(yīng)力單元體。 例題 3：一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)如圖。 y?? x?xy?。?30??M P a ，60?x? M P a ,30xy ??,M P a40y ??已知 TSINGHUA UNIVERSITY （ 1） ? 斜面上的應(yīng)力 ???????? ? 2s i n2c os22 xyyxyx ?????)60s i n(30)60c os (2 40602 4060 ?? ???????M ??????? ? 2c os2s i n2 xyyx ???)60c os (30)60s i n(2 4060 ?? ?????M ??y?? x?xy?α =30 。?30??MPa，60?x?M Pa,30xy ??,MPa40y ??TSINGHUA UNIVERSITY （ 2）主應(yīng)力、主平面 2yx ?? ??xyyx 22)2( ??????max?M ?2yx ?? ??xyyx 22)2( ??????min?M ??M ,0M Pa , 321 ???? ???y?? x?xy?MPa，60?x?M Pa,30xy ??,MPa40y ??TSINGHUA UNIVERSITY 主平面的方位： yxxytg???????22 0 60 ?????, ?????? ????y?? x?xy?代入 表達(dá)式可知 ??主應(yīng)力 方向： 1? ? ??主應(yīng)力 方向： 3? ? ??MPa，60?x?M Pa,30xy ??,MPa40y ??TSINGHUA UNIVERSITY （ 3）主應(yīng)力單元體： y?? x?xy??1?3?TSINGHUA UNIVERSITY 求下列主單元體的方位、主應(yīng)力的大小、最大剪應(yīng)力（應(yīng)力單位取 MPａ） 40 60 50 70 70 TSINGHUA UNIVERSITY 50 20 求下列主單元體的方位、主應(yīng)力的大小、最大剪應(yīng)力（應(yīng)力單位取 MPａ） 40 20 40 TSINGHUA UNIVERSITY 求主應(yīng)力的大小及方向 60○ 2P 2P TSINGHUA UNIVERSITY 圖示中單元體，求 σ 30 30 150 120 80 σ TSINGHUA UNIVERSITY σx+σy=120MPa， σα=50MPa，求單元體的三個(gè)主應(yīng)力及最大剪應(yīng)力 σ x=80 60 τ xy σ y τ α σ α TSINGHUA UNIVERSITY 等腰直角三角形單元體上，二直邊上只有剪應(yīng)力，那么斜邊表示的截面上的正應(yīng)力 σ、剪應(yīng)力 τ各有多大？ TSINGHUA UNIVERSITY 167。 74 二向應(yīng)力狀態(tài)分析 圖解法 一、 應(yīng)力圓方程 二、 應(yīng)力圓的畫法 三、 應(yīng)力圓的應(yīng)用 四、 三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓 TSINGHUA UNIVERSITY 一、 應(yīng)力圓方程 ???????? ? 2s i n2c os2)2( xyyxyx ??????????? ? 2c os2s i n2 xyyx ??????????? ? 2s i n2c os22 xyyxyx ?????xyyxyx 2222 )2()2( ????????? ??????TSINGHUA UNIVERSITY R ? ?R x y xy? ? ?12 42 2? ? ?? ?x y?2? ?O C TSINGHUA UNIVERSITY —— 半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是方向面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍； —— 半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致； —— 應(yīng)力圓上某 一點(diǎn)的坐標(biāo)值 對(duì)應(yīng)著微元某一 方向面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力； 二、 應(yīng)力圓的畫法 點(diǎn)面對(duì)應(yīng) 轉(zhuǎn)向?qū)?yīng) 二倍角對(duì)應(yīng) TSINGHUA UNIVERSITY 點(diǎn)面對(duì)應(yīng) ?y?yx?xy?x??C E e TSINGHUA UNIVERSITY ??C D ?y?yx?xy?xe n ? E 2? 轉(zhuǎn)向?qū)?yīng) 二倍角對(duì)應(yīng) 與二倍角對(duì)應(yīng) x d TSINGHUA UNIVERSITY ??O C D(?x ,?xy) D’(?y ,?yx) 建立坐標(biāo)系 由面找點(diǎn) 確定圓心和半徑 ?xyA ?y?yx