輪：55數(shù)列的綜合應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-06-19 21:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 r )n， Bn＝－a1r ＋ dr2 －drn ， 則 Tn＝ An＋ Bn. 其中 { An} 是以a1r ＋ dr2 (1 ＋ r ) 為首項， 1 ＋ r ( r ＞ 0) 為公比的等比數(shù)列； { Bn} 是以－a1r ＋ dr2 －dr為首項，－dr為公差的等差數(shù)列． 點評 數(shù)列的遞推應(yīng)用問題往往是以一定的實際問題作為背景進行命題，本題以社會熱點問題 —— 養(yǎng)老儲備金為背景，綜合等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法等相關(guān)知識，考查考生閱 讀資料、提取信息、建立數(shù)學模型和應(yīng)用所學知識分析和解決實際問題的能力．在構(gòu)造數(shù)列模型時，最容易忽視的是哪一項是數(shù)列的首項，例如本題中第 n 年末是數(shù)列的第 n 項還是第 n ＋ 1 項，同時還需要弄清楚是等差數(shù)列、等比數(shù)列模型還是遞推數(shù)列模型，是求 an還是求 Sn等 . 變式遷移 3 △ OB C 的三個頂點的坐標分別為 O ( 0 , 0 ) 、 B ( 1 , 0 ) 、 C ( 0 , 2 ) ，設(shè) P1為線段 BC 的中點， P2為線段 CO 的中點， P3為線段 OP1的中點，對于每一個正整數(shù) n ， Pn ＋ 3為線段 PnPn ＋ 1的中點，令 Pn的坐標為 ( xn，yn) ， an＝12yn＋ yn ＋ 1＋ yn ＋ 2. ( 1 ) 求 a1， a2， a3及 an； ( 2 ) 證明： yn ＋ 4＝ 1 －14yn， n ∈ N*； ( 3 ) 若記 bn＝ y4 n ＋ 4－ y4 n， n ∈ N*，證明： { bn} 是等比數(shù)列． 解析 ( 1 ) 因為 y1＝ y2＝ y4＝ 1 ， y3＝12， y5＝34，所以 a1＝ a2＝ a3＝ 2 ，又由題意可知 yn ＋ 3＝y(tǒng)n＋ yn ＋ 12，得到 an ＋ 1＝12yn ＋ 1＋ yn ＋ 2＋ yn ＋ 3＝12yn ＋ 1＋ yn ＋ 2＋yn＋ yn ＋ 12＝12yn＋ yn ＋ 1＋ yn ＋ 2＝ an，所以 { an} 為常數(shù)列，即an＝ a1＝ 2 ， n ∈ N*. ( 2 ) 證明：將等式12yn＋ yn ＋ 1＋ yn ＋ 2＝ 2 兩邊同除以 2 ，得14yn＋yn ＋ 1＋ yn ＋ 22＝ 1 ， 又 yn ＋ 4＝y(tǒng)n ＋ 1＋ yn ＋ 22，所以14yn＋ yn ＋ 4＝ 1 ，即 yn ＋ 4＝ 1 －14yn， n ∈ N*. ( 3 ) 證明：因為 bn ＋ 1＝ y4 n ＋ 8－ y4 n ＋ 4＝ (1 －14y4 n ＋ 4) － (1 －14y4 n) ＝－14( y4 n ＋ 4－ y4 n) ＝－14bn， 又 b1＝ y8－ y4＝－14≠ 0 ，所以 { bn} 是首項為－1公比為－14的等比數(shù)列 . 題型四 分期付款問題 例 4. 用分期付款的方式購買家電一件，價為 1 1 5 0 元，購買當天先付 150 元，以后每月這一天都交付 50 元，并加付欠款利息，月利率為 1 % . 若從交付 1 5 0 元后的第一個月開始 算分期付款的第一月，問分期付款的第 10 個月該交付多少錢？全部貨款付清后，買這件家用電器實際花費多少錢？ 解析 購買時付出 150 元后，余欠款 1 0 0 0 元，按題意應(yīng)分 20次付清．由于每次都必須交 50 元，外加上所欠余款的利息，這樣每次交付欠款的數(shù)額順月次構(gòu)成一數(shù)列． 設(shè)每次交付欠款的數(shù)額依次為 a1， a2， ? ， a20，則 a1＝ 50 ＋ 1 0 0 0 1% ＝ 6 0 ( 元 ) a2＝ 50 ＋ ( 1 0 0 0 － 50) 1% ＝ 5 9 . 5 ( 元 ) ?? a10＝ 50 ＋ ( 1 0 0 0 － 9 5 0 ) 1% ＝ 5 5 . 5 ( 元 ) 即第 10 個月應(yīng)付款 5 5 . 5 元． 由于 { an} 是以 60 為首項， 以－ 0 . 5 為公差的等差數(shù)列， 所以有 S20＝60 ＋ ? 60 － 19 0 . 5 ?2 20 ＝ 1 1 0 5 ( 元 ) ， 即全部付清后實際共付款 1 1 0 5 ＋ 1 5 0 ＝ 1 2 5 5 元 . 變式遷移 4 某房屋開發(fā)商出售一套 50 萬元的住宅，可以首付 5 萬元，以后每過一年付 5 萬元， 9 年后付清，也可以一次付清，并優(yōu)惠 x %. 問開發(fā)商怎樣確定優(yōu)惠率可以鼓勵購房者一次付款 ( 按一年定期存款稅后利率 2% ，一年一續(xù)存方式計算， x 取整數(shù)，計算過程中可參考以下數(shù)據(jù)： 1 . 0 29＝ 1 . 1 9 , 1 . 0 210＝ 1 . 2 , 1 . 0 211＝ 1 . 2 4 ) ． 解析 由題意得 50 1 . 0 29 (1 － x %) ＜ 5 ( 1 . 0 29＋ 1 . 0 28＋ ? ＋ 1 . 0 2 ＋ 1) ， ∴ 10 1 . 0 29 (1
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