【文章內(nèi)容簡介】 關(guān)函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)關(guān)系如何呢？后面將進(jìn)一步討論。 應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 41 假設(shè)模型 Yt為 ? ?20 1 2()t t t t tY V B X B B X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 設(shè) 0 1 1t k t k t k t kY X X? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 將兩邊同時(shí)乘以 Xt，則 0 1 1t k t t k t t k t t k tY X X X X X X? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?兩邊同時(shí)求數(shù)學(xué)期望，有 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )t k t t k t t k t t k tE Y X E X X E X X E X? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 42 因?yàn)樽兞?Xt與隨機(jī)干擾項(xiàng) ?t相互獨(dú)立，則有， 01( ) ( ) ( 1 )x y x xk k k? ? ? ? ?? ? ? ??,2,1,0 ???k上式兩邊同時(shí)除以 ?x和 ?y ，得互相關(guān)函數(shù)為 01( ) [ ( ) ( 1 ) ( 0) ] ( )xx y x x k xyk k k v?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?( ) 0x k?? ?應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 43 從（ ）式可以看出互相關(guān)函數(shù) ?xy(k)、脈沖響應(yīng)函數(shù) vj和 X的自相關(guān)函數(shù) ?x(k)、之間的關(guān)系。如果能從（ ）式中解出脈沖響應(yīng)函數(shù)，那么模型的傳遞函數(shù)就得到了。遺憾的是（ ）式的未知參數(shù)有無窮項(xiàng)，直接求解是不可能的。但是輸入時(shí)間序列是白噪聲序列，情況就大為不同了，因?yàn)榘自肼曅蛄械淖韵嚓P(guān)函數(shù)為 0，這時(shí)（ ）式的右邊除了 之外，其余的項(xiàng)均為零，則（ ）式可簡化。 (0)kxv ?應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 44 即簡化為如下的形式 ( ) ( )xx y kykv?? ??( ) ()yk x yxk?????應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 45 這給了我們極好的啟示，如果能夠找到新序列，其派生于 Xt，既帶有 Xt的信息，又是白噪聲序列，問題就可以得到解決。而這時(shí)模型的傳遞函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)之間僅相差一個常數(shù)因子 ， 這個常數(shù)因子是可以通過樣本估計(jì)出來的。 /yx??應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 46 如前所述，如果輸入的時(shí)間序列是白噪聲，則可以得到如（ ）和 ()式那樣簡單的脈沖響應(yīng)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系式，為了達(dá)到這個目的，我們對 Xt和 Yt做預(yù)白化處理， 即建立模型過濾 Xt和 Yt。使輸入的是 Xt和 Yt，而輸出的是兩個白噪聲序列 ?t和 ?t。 關(guān)于傳遞函數(shù)的預(yù)白化過程通過統(tǒng)計(jì)軟件可以得到。 應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 47 設(shè)傳遞函數(shù)模型為 ()t t tY B X????假定輸入序列 Xt是一個平穩(wěn)序列，其適應(yīng)的模型為 ( ) ( )ttB X B ?? ? ?() ( )()ttB XB????有應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 48 其中 ?t為白噪聲序列，由于是 Xt濾波后的結(jié)果，含有 Xt的信息 。假定輸出序列 Yt與輸入序列Xt有同樣的特征，那么用這個相同濾波器 也可以將 Yt進(jìn)行濾波，得 ( ) / ( )BB??() ( )()ttB YB????應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 49 將 代入（ ）式，則 ()t t tY B X????() [ ( ) ]()t t tB BXB? ? ?????( ) ( )[ ( ) ]( ) ( ) ttBB B? ? ???????( ) ( )kvk? ???? ???()()()ttBVBB??????應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 50 例 【 】 繼續(xù)利用例 【 】 的數(shù)據(jù)計(jì)算預(yù)白化后的序列和的互相關(guān)函數(shù)。 ( 1 0 . 4 4 9 2 )ttxB ?? ? ?( 1 49 2 )ttxB????或0 .2 7 9 3S ? ?tx?(1 49 2 )ttYB????1 .9 4 8 0S ? ?ty? 通過識別，差分后的序列 服從一階移動平均模型， 建立模型為： 預(yù)白化變換后的標(biāo)準(zhǔn)差 。 對 ?yt 施加同樣的變換，得 預(yù)白化數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差 應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 51 互相關(guān)函數(shù) Lag Covariance Correlation 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7 | . | . | 6 | . *| . | 5 | . | . | 4 | . | . | 3 | . |* . | 2 | . | . | 1 | . |**. | 0 | . |* . | 1 | . |**. | 2 | . | . | 3 | . |************** | 4 | . |********* | 5 | . |******* | 6 | . |***** | 7 | . |***** | 8 | . |**** | 9 | . |*** | 10 | . |**. | 11 | . |*** | 12 | . |* . | . marks two standard errors 圖 57 預(yù)白化變量序列 ?t和 ?t的互相關(guān)函數(shù)圖 應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 52 預(yù)白化變量序列和的互相關(guān)函數(shù)第一個顯著不為零的為 ，即滯后期是 3時(shí)， ＝ 。圖 56和圖 57的圖形略有不同，這是因?yàn)閳D 56是 ?Xt和 ?Yt的互相關(guān)圖，而圖 57是 ?Xt和 ?Yt被預(yù)白化后序列的 ?t和 ?t的互相關(guān)圖。進(jìn)一步根據(jù)式（ ）或（ ）可以計(jì)算出模型的脈沖相應(yīng)函數(shù)，以 k=7為例，計(jì)算脈沖相應(yīng)函數(shù) (3)??? (3)???71 .9 4 8 0( 7 ) ( 0 .0 0 2 4 ) 0 .0 1 6 70 .2 7 9 3v????? ??? ? ? ? ? ? ? ?應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 53 表 54 互協(xié)方差、互相關(guān)和脈沖響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算表 ()k??? 1 .9 4 8 ()0 .2 7 9 4kvk????滯后期（ k） 互相關(guān)函數(shù) 脈沖響應(yīng)函數(shù) 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 54 脈沖響應(yīng)函數(shù)10123457 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12v圖 58 脈沖響應(yīng)函數(shù)數(shù)據(jù)圖 應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 55 將表 54的脈沖響應(yīng)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中畫出，如圖 58，將圖 58和圖 57相比較，可以看出脈沖響應(yīng)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)幾乎具有相同的模式，這就從非常直觀的角度說明，我們完全可以依據(jù)互相關(guān)函數(shù)來判定傳遞函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式的階數(shù) r和 s以及延遲參數(shù) b。 應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 56 二、 傳遞函數(shù)模型的識別 傳遞函數(shù)模型有兩個部分，一個是傳遞函數(shù)部分，另一個是隨機(jī)干擾部分。所以模型的識別也包括兩個部分。其一：識別傳遞函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式的階數(shù) r和 s以及延遲參數(shù) b的階數(shù)。其二對噪聲部分模型的識別。基本步驟是先根據(jù)脈沖相應(yīng)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系估計(jì)出 ，根據(jù) 的特征確定 s、 r和ｂ，由于總體的互相關(guān)函數(shù)是未知的，用樣本的互相關(guān)函數(shù)來估計(jì)。 ? ( 1 , 2 , ...)jvj ??jv應(yīng)用時(shí)間序列分析 ● ” 十一五 “ 國家級規(guī)劃教材 57 步驟如下： ?t和 ?t，計(jì)算 ?t和 ?t的相關(guān)系數(shù) ； 然后根據(jù) 估計(jì)脈沖響應(yīng)函數(shù)