【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 茲力提供。（ 3）若帶電粒子的速度方向與磁場(chǎng)方向成一夾角 θ（ θ≠0176。， θ≠90176。），則粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是一螺旋線（其軌跡如圖）：粒子垂直磁場(chǎng)方向作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，平行磁場(chǎng)方向作勻速運(yùn)動(dòng)，螺距 S=v∥ T。 2．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)基本公式。（ 1）向心力公式： qvB＝ mv2/r；（ 2）軌道半徑公式： r＝ mv/qB；（ 3）周 期、頻率公式： T＝ 2πr/v＝ 2πm/qB， f＝ qB/2πm；（ 4）角速度公式： ω＝ 2π/T＝ qB/m；（ 5）動(dòng)能公式 Ek＝ mv2/2＝ P2/2m＝ (BqR)2/2m（其中 P 為粒子動(dòng)量的大?。?。從以上五個(gè)公式可以看出 T、 f、 ω的大小與粒子的速度 v 及半徑 r 無(wú)關(guān)，只與磁場(chǎng) B 及粒子的荷質(zhì)比（ q/m）有關(guān)。 二、 高考攻略 （一）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法 研究帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律時(shí)，關(guān)鍵是：定圓心，求半徑，找回旋角，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間。 1．圓心的確定。（ 1）由于洛侖茲力方向總是 垂直于速度指向圓心，則圓心必在垂直于速度并指向洛侖茲力方向的直線上。（ 2）從幾何知識(shí)可知：圓心必定在弦的中垂線上。所以已知圓弧上任意兩點(diǎn)的速度方向可以確定圓心；已知圓弧上某一點(diǎn)的速度方向和該段圓孤的弦（或該圓弧上的兩點(diǎn)）也可以確定圓心。 2．半徑的計(jì)算。圓心確定后，尋找與半徑和已知量相關(guān)的直角三角形，利用幾何知，求解圓軌跡的半徑。 3．偏向角、回旋角、弦切角。偏向角（ β）是指末速度與初速度之間的夾角；一段圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角叫回旋角（ α）；圓弧的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)處的切線之間的夾角叫弦切角（ θ）；由幾何知識(shí)可知 ： α＝ β＝ 2θ。 4．運(yùn)動(dòng)時(shí)間的求解。由 α＝ ωt可知 t＝ α/ω＝ αT/2π。如圖，在粒子運(yùn)動(dòng)的圓軌跡上任取兩點(diǎn) A、 B，粒子從 A 經(jīng) N 運(yùn)動(dòng)到 B 過(guò)程中回旋角為 α，則 tAB＝ αT/2π；粒子從 B 經(jīng)M 運(yùn)動(dòng)到 A過(guò)程中回旋角為 2π－ α，則 tBA＝（ 2π－ α） T/2π，同時(shí)還滿足 tAB＋ tBA＝ T； （二） “電偏轉(zhuǎn) ”與 “磁偏轉(zhuǎn) ”的比較 1．概念：帶電粒子垂直電場(chǎng)方向進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力作用下的偏轉(zhuǎn)叫 “電偏轉(zhuǎn) ”。帶電粒子垂直磁場(chǎng)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，在洛倫茲力作用下的偏轉(zhuǎn)叫 “磁偏轉(zhuǎn) ”。 2． “電偏轉(zhuǎn) ”和 “磁偏轉(zhuǎn) ”的比較。 （ 1）帶電粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同。電偏轉(zhuǎn)中：粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡為拋物線，研究方法為運(yùn)動(dòng)分解和合成，加速度 a＝ Eq/m， （粒子的重力不計(jì)） 側(cè)移量（偏轉(zhuǎn)量） y＝ at2/2＝ qEt2/2m；磁偏轉(zhuǎn)中：帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從時(shí)間看 T=2πm/qB，從空間看： R=mv/qB。 αβθABNMvvθBSVVVV0O xEθ Eθ E VxVy VyYX電偏轉(zhuǎn)θBO XYV0VθBO′B磁偏轉(zhuǎn) （ 2）帶電粒子偏轉(zhuǎn)程度的比較。電偏轉(zhuǎn)：偏轉(zhuǎn)角（偏向角） θE＝ tan－ 1(VY/VX)＝ tan－ 1（ Eqt/mv0），由式中可知：當(dāng)偏轉(zhuǎn)區(qū)域足夠大，偏轉(zhuǎn)時(shí)間 t充分長(zhǎng)時(shí)，偏轉(zhuǎn)角 θE接近 π/2，但不可能等于 π/2。磁偏轉(zhuǎn)的偏轉(zhuǎn)角 θB＝ ωt＝ Vt/r＝ qBt/m，容易實(shí)現(xiàn) 0—π角的偏轉(zhuǎn)。三、 典型例析例 1： 在邊長(zhǎng)為 L 的正方形 abcd區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里，兩個(gè)電子 1 和 2 各以不同的速率從 a 點(diǎn)沿 ab 方向垂直磁場(chǎng)射入磁場(chǎng)區(qū)域，電子 1 和 2分別從 bc 和 cd 邊的中點(diǎn) M 和 N 射出，如圖所示。求這兩個(gè)電子的速度大小 之比 V1： V2以及兩個(gè)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比 t1： t2。 解析 :先確定電子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心。（ 1）對(duì)電子 1：圓心必在 ad 直線上，也必在 aM的中垂線上，連 aM，作 aM的中垂線 PO1交 ad的延長(zhǎng)線于 O1，則 O1為電子 1軌道圓心。設(shè)電子 1的軌道 半徑為 R1，過(guò) M作 MM1⊥ad 交 ad于 M1，在 Rt△O 1M1M中，有 R12＝（ R1－ L/2） 2+L2? R1＝ 5L/4； （ 2）對(duì)電子 2：連 aN，作 aN的中垂線 QO2交 ad于 O2點(diǎn)，則 O2為電子 2的圓心。設(shè)電子 2的軌道半徑為 R2，連 O2N，在 Rt△O 2dN中有： R22＝（ L/2） 2＋ （ L－ R2） 2? R2＝ 5L/8。由 R1＝ mV1/qB， R2＝ mV2/qB，有 V1： V2＝ R1： R2＝ 2： 1。 由于兩電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期 T＝ 2π m/qB 相同，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t＝ θT/2π ，關(guān)鍵是求出兩個(gè)電子軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角 θ θ 2，由圖示和幾何關(guān)系可知：在 Rt△O 1M1M 中， tanθ 1＝M1M/O1M1＝ L/(R1－ L/2)＝ 4/3， 故 θ 1＝ tan－ 1（ 4/3）；在 Rt△O 2dN 中： tan（ π － θ 2）＝ dN/O2d＝ 4/3? θ 2＝ π － tan－ 1（ 4/3）， 故： t1： t2＝ θ 1:θ 2＝ tan－ 1（ 4/3）： [π － tan－ 1（ 4/3） ] 例 2： （ 05廣東物理卷）如圖所示，在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)方向相反且都垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在以直徑 A2A4為邊界的兩個(gè)半圓形區(qū)域 Ⅰ 、 Ⅱ 中，直徑 A2A4與 A1A3的夾角為 60176。一質(zhì)量為 m、帶電量為 +q 的粒子以某一速度從 Ⅰ 區(qū)的邊緣點(diǎn) A1處沿與 A1A3成 30176。角的方向射入磁場(chǎng)，隨后該粒子以垂直于A2A4的方向經(jīng)過(guò)圓心 O 進(jìn)入 Ⅱ 區(qū)，最后再?gòu)?A4 處射出磁場(chǎng)。已知該粒子從射入到射出磁場(chǎng)所用的時(shí)間為 t，求 Ⅰ 區(qū)和 Ⅱ 區(qū)中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小 B1和 B2（忽略粒子重力）。 解析 ： 設(shè)粒子的速度為 V，在 Ⅰ 區(qū)中運(yùn)動(dòng)半徑為 R1，周期為 T1，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t1；在 Ⅱ 區(qū)中運(yùn)動(dòng)半徑為 R2，周期為 T2，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t2；磁場(chǎng)的半徑為 R。 （ 1）粒子在 Ⅰ 區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)：軌跡的圓心必在過(guò) A1點(diǎn)垂直速度的直線上，也必在過(guò) O 點(diǎn)垂直速度的直線上，故圓心在 A2點(diǎn)，由幾何知識(shí)和題意可知，軌道半徑 R1=R，又 R1＝ mV/qB1， 則： R＝ mV/qB1 ? ① ，軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角 θ 1＝ π/3 ，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t1＝T1/6＝ 2πm/6qB 1＝ πm/3qB 1? ② （ 2）粒子在 Ⅱ 區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)：由題意及幾何關(guān)系可知： R2＝ R/2，又 R2＝ mv/qB2，則 R＝ 2mV/qB2? ③ ，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角 θ 2＝ π ，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t2＝ T2/2＝ πm/qB 2? ④ 又 t1＋ t2＝ t，將 ②④ 代入得： πm/3qB 1＋ πm/qB 2＝ t? ⑤ ，由 ①③ 式聯(lián)立解得 B2＝ 2B1，代入 ⑤ 式解得： B1＝ 5πm/6qt, B 2＝ 5πm/3qt 。 例 3． （ 04 全國(guó)理綜卷 Ⅳ ）空間中存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B，一帶電量為 ＋ q、質(zhì)量為 m 的粒子，在 P 點(diǎn)以某一初速開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，初速方向在圖中紙面內(nèi)如圖中 P 點(diǎn)箭頭所示。該粒子運(yùn)動(dòng)到圖中 Q點(diǎn)時(shí)速度方向與 P 點(diǎn)時(shí)速度方向垂直，如圖中 Q點(diǎn)箭頭所示。已知 P、 Q間的距離為 L。若保持粒子在 P 點(diǎn)時(shí)的速度不變，而將勻強(qiáng)磁場(chǎng)換成勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)方向與紙面平行且與 粒子在 P 點(diǎn)時(shí)速度方向垂直，在此電場(chǎng)作用下粒子也由 P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 QA1A2A3A4OⅠⅡ30 0 60 0A 1A 2A 3A 4OⅠⅡ30 0 600O 1O 2R 1R 2ad cbNMV1V2O2 θ 2Qθ 1O1PM1ad cbNMPQL 點(diǎn)。不計(jì)重力。求： （ 1）電場(chǎng)強(qiáng)度 E 的大小。（ 2）兩種情況中粒子由 P 運(yùn)動(dòng)到 Q 點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間之差 △ t。 解析： （ 1）當(dāng)只存在磁場(chǎng)時(shí)，粒子由 P到 Q作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度為 v0，半徑為 R，由題意可知弧PQ為 1/4圓弧，則： R＝ 2 L/2? ① ，又 R＝ mv0/qB，兩式聯(lián)立解得： V0＝ 2 BqL/2m? ② ；當(dāng)只存在電場(chǎng)時(shí)，粒子作類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 tE，則：平行于電場(chǎng)方向： R＝ EqtE2/2m? ③ 垂直于電場(chǎng)方向有： R＝ V0 tE?④ ，聯(lián)立 ①③④ 消去 R及 tE解得： V02＝ 2 EqL/4m? ⑤ ，聯(lián)立 ②⑤ 解得： E =錯(cuò)誤！鏈接無(wú)效。 B2Lq/m? ⑥（ 2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間 tB＝ T/4＝ πm/2qB ? ⑦ ，粒子在電場(chǎng)中運(yùn) 動(dòng)時(shí)間 tE由 R＝ mV0/qB 及 R＝ V0tE聯(lián)立解得： tE＝ m/qB? ⑧ 則兩種情況下運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差： △t ＝ tB－ tE＝（ π/2 － 1） m/qB。 第四課時(shí) 帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 一、 高考攻略 （一）帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題 有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)是指在局部空間內(nèi)存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)。對(duì)磁場(chǎng)邊界約束時(shí)，可以使磁場(chǎng)有著多種多樣的邊界形狀，如：?jiǎn)沃本€邊界、平行直線邊界、矩形邊界、圓形邊界、三角形邊界等。這類問(wèn)題中一般設(shè)計(jì)為：帶電粒子在磁場(chǎng)外以垂直磁場(chǎng)方向的速度進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)內(nèi)經(jīng)歷一段勻速圓周運(yùn)動(dòng)后離開(kāi)磁場(chǎng)。粒 子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與磁場(chǎng)邊界夾角不同，使粒子運(yùn)動(dòng)軌跡不同，導(dǎo)致粒子軌跡與磁場(chǎng)邊界的關(guān)系不同，由此帶來(lái)很多臨界問(wèn)題。 1．基本軌跡。（ 1）單直線邊界磁場(chǎng)（如圖 1所示）。帶電粒子垂直磁場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，①如果垂直磁場(chǎng)邊界進(jìn)入，粒子作半圓運(yùn)動(dòng)后垂直原邊界飛出；②如果與磁場(chǎng)邊界成夾角θ進(jìn)入，仍以與磁場(chǎng)邊界夾角θ飛出（有兩種軌跡，圖 1中若兩軌跡共弦，則θ 1＝θ 2）。 （ 2）平行直線邊界磁場(chǎng)（如圖 2所示）。帶電粒子垂直磁場(chǎng)邊界并垂直磁場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，①速度較小時(shí)，作半圓運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時(shí)，粒子 作部分圓周運(yùn)動(dòng)其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)后從另一邊界飛出。 （ 3）矩形邊界磁場(chǎng)（如圖 3所示）。帶電粒子垂直磁場(chǎng)邊界并垂直磁場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，①速度較小時(shí)粒子作半圓運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)時(shí)從側(cè)面邊界飛出；③速度為某臨界值時(shí)，粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)其軌跡與對(duì)面邊界相切；④速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)從對(duì)面邊界飛出。（ 4）圓形邊界磁場(chǎng)（如圖 4所示）。帶電粒子垂直磁場(chǎng)并對(duì)著磁場(chǎng)圓心進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，必定背離磁場(chǎng)圓心飛出。 2．基本方法。帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作部分圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往聯(lián)系臨界和 多解問(wèn)題，分析解決這類問(wèn)題的基本方法是：（ 1）運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維，確定臨界狀態(tài)。從速度的角度看，一般有兩種情況：①粒子速度方向不變，速度大小變化；此時(shí)所有速度大小不同的粒子，其運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心都在垂直于初速度的直線上，速度增加時(shí)，軌道半徑隨著增加，尋找運(yùn)動(dòng)軌跡的臨界點(diǎn)（如：與磁場(chǎng)邊界的切點(diǎn)，與磁場(chǎng)邊界特殊點(diǎn)的交點(diǎn)等）；②粒子速度大小不變，速度方向變化；此時(shí)由于速度大小不變，則所有粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑相O 1O 2OV 1 V 2VV V 1 V 2θ 1 θ 2θ 1 θ 2圖（ 1）OVVθ圖 (4)qV1V2V3O1O2O3圖（ 3）O4V4qV1V2V3O1O2O3圖（ 2）q 同，但不同粒子的圓心位置不同，其共同規(guī)律是：所有粒子的圓心都在以入射點(diǎn)為圓心，以軌道半徑為半徑的圓上，從而找出動(dòng)圓的圓 心軌跡，再確定運(yùn)動(dòng)軌跡的臨界點(diǎn)。（ 2）確定臨界狀態(tài)的圓心、半徑和軌跡，尋找臨界狀態(tài)時(shí)圓弧所對(duì)應(yīng)的回旋角求粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（見(jiàn)前一課時(shí)）。 （二）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，可能磁場(chǎng)方向不定、電荷的電性正負(fù)不定、磁場(chǎng)邊界的約束、臨界狀態(tài)的多種可能、運(yùn)動(dòng)軌跡的周期性以及粒子的速度大小和方向變化等使問(wèn)題形成多解。 1．帶電粒子的電性不確定形成多解。當(dāng)其它條件相同的情況下，正負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡不同，形成雙解。 2．磁場(chǎng)方向不確定形成多解。當(dāng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小不變，磁場(chǎng)方向發(fā) 生變化時(shí)，可以形成雙解或多解。 3．臨界狀態(tài)不唯一形成多解。帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，可能出現(xiàn)多種不同的臨界狀態(tài)，形成與臨界狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的多解問(wèn)題。 4．帶電粒子運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解。粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果改變其運(yùn)動(dòng)條件（如：加檔板、加電場(chǎng)、變磁場(chǎng)等）可使粒子在某一空間出現(xiàn)重復(fù)性運(yùn)動(dòng)而形成多解。 （三）磁場(chǎng)最小范圍問(wèn)題 近年來(lái)高考題中多次出現(xiàn)求圓形磁場(chǎng)的最小范圍問(wèn)題，這類問(wèn)題的求解方法是：先依據(jù)題意和幾何知識(shí)，確定圓弧軌跡的圓心、半徑和粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，再用最小圓覆蓋粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡（一般情況下是圓形磁場(chǎng)的直 徑等于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弦），所求最小圓就是圓形磁場(chǎng)的最小范圍。 二、 典型例析 例 1： 如圖所示，矩形區(qū)域 abcd 內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為 m，帶電量為＋ q 的粒子（不計(jì)重力），以速度 V0從 ad 邊的中點(diǎn) O 處，垂直磁場(chǎng)進(jìn)入，已知 ad 邊長(zhǎng)為 L， ab、 dc足夠長(zhǎng)。試求：（ 1）粒子能從 ab 邊射出磁場(chǎng)的 V0值。（ 2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間 t