【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 中位數(shù) 。 ???????????????????????? ?為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)當(dāng)NXXNXMNNNe1222121未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (5個(gè)數(shù)據(jù)的算例 ) ? 原始數(shù)據(jù) : 24 22 21 26 20 ? 排 序 : 20 21 22 24 26 ? 位 置 : 1 2 3 4 5 中位數(shù) ? 22 ? 321521 ????? N位置未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (6個(gè)數(shù)據(jù)的算例 ) ? 原始數(shù)據(jù) : 10 5 9 12 6 8 ? 排 序 : 5 6 8 9 10 12 ? 位 置 : 1 2 3 4 5 6 位置 ? ? ? N+1 2 6+1 2 中位數(shù) ? ? 8 + 9 2 ? ? 中位數(shù)在第 （ ∑f)/2項(xiàng) ， 該項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值即為中位數(shù) 。 單項(xiàng)式分組資料中位數(shù)的確定 獎(jiǎng)學(xué)金金額（元 /人） 人數(shù)（人） 較小累計(jì)人數(shù) 較大累計(jì)人數(shù) 300 3 3 30 500 6 9 27 800 8 17 21 1000 7 24 13 1500 6 30 6 合計(jì) 30 — — 例：某學(xué)院 1999年到 2021年共有 30名同學(xué)獲得獎(jiǎng)學(xué)金 ， 其分布情況如表所示 。 組距數(shù)列中位數(shù)公式的推導(dǎo)： 累 計(jì) d 次 x y 數(shù) f m S m 1 ∑ f 2 L M e U 標(biāo)志值 組距數(shù)列中位數(shù)的計(jì)算公式 dfSfUMdfSfLMmmemme????????????1122上限公式：下限公式：其中： L——中位數(shù)組下限 U ——中位數(shù)組上限 Sm1 —— 中位數(shù)組以前各組的累計(jì)次數(shù) Sm+1 —— 中位數(shù)組以后各組的累計(jì)次數(shù) fm ——中位數(shù)組的次數(shù) d ——中位數(shù)組的組距 例如，某企業(yè)職工月工資資料如下表： 累計(jì)次數(shù) 月 工 資額 （元） 職工人數(shù) （人） 較小制累計(jì) 較大制累計(jì) 1500 以下 10 10 100 1500 ～ 1600 16 26 90 1600 ～ 1700 35 61 74 1700 ～ 1800 21 82 39 1800 ～ 1900 11 93 18 1900 以上 7 100 7 計(jì)算方法 35395017001002/35265016001002/11??????????????????????mmemmefsfUMfsfLM 中位數(shù)的位次： ∑f/2=100/2=50 確定中位數(shù)組： 1600—— 1700 應(yīng)用計(jì)算公式： 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的特點(diǎn)和優(yōu)缺點(diǎn) ? 在中央電視臺(tái)舉辦的一次全國(guó)業(yè)務(wù)通俗歌手大賽中，假定 11名裁判對(duì)某位歌手的評(píng)分按順序排列是： ? 初賽： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 眾數(shù) =，中位數(shù) =，平均數(shù) = ? 復(fù)賽： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 眾數(shù) =，中位數(shù) =，平均數(shù) = 粗心： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ?不存在極端值 ——平均數(shù) ?存在極端值 ——中位數(shù) ?眾數(shù)在很多情況下很方便 （ 了解最受歡迎的主持人 ） 算術(shù)平均數(shù) 應(yīng)用最廣泛的一種平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)的轉(zhuǎn)化形式，用的較少 幾何平均數(shù) 用于計(jì)算相對(duì)數(shù)（如比率、速度等）的平均數(shù) 眾數(shù) 平均數(shù)的補(bǔ)充形式，兩者都是為避免原數(shù)據(jù)中極端值的影響而采用的方法，都不受每個(gè)原數(shù)據(jù)大小的影響，而只受位置和次數(shù)的影響。 中位數(shù) 根據(jù)同一資料分別計(jì)算和確定五種平均數(shù)，得到的結(jié)果一般是不同的。 各種平均指標(biāo)的比較 數(shù)據(jù)呈現(xiàn)對(duì)稱分布或接近對(duì)稱分布 —— 均值 偏態(tài)分布 —— 中位數(shù)或眾數(shù) 不能直接計(jì)算均值的數(shù)據(jù) —— 調(diào)和平均數(shù) （ 數(shù)據(jù)中出現(xiàn) 0時(shí)不能計(jì)算 ） 比率數(shù)據(jù) —— 幾何平均數(shù) （ 數(shù)據(jù)中有 0或負(fù)數(shù)時(shí)不能計(jì)算 ） 美國(guó)新聞?dòng)浾哌_(dá)萊爾 哈夫的名著 《 統(tǒng)計(jì)陷阱 》 里的故事： 為了讓顧客購(gòu)買(mǎi)房產(chǎn) ——用算術(shù)平均數(shù)（平均年收入 15000美元） 為了降低稅率，降低財(cái)產(chǎn)估價(jià)，或降低公共交通費(fèi)用時(shí) ——用中位數(shù)（平均年收入 3500美元） 練習(xí) 1：已知 4個(gè)水果店蘋(píng)果的單價(jià)和銷售額 ， 要計(jì)算 4個(gè)商店的平均單價(jià) ， 應(yīng)采用 （ ） A、 簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù) B、 加權(quán)算術(shù)平均數(shù) C、 加權(quán)調(diào)和平均數(shù) D、 幾何平均數(shù) 練習(xí) 2：某商店在制定男式襯衫進(jìn)貨計(jì)劃時(shí) ， 需了解已售襯衫的平均尺寸 ， 則應(yīng)計(jì)算 （ ） A、 算術(shù)平均數(shù) B、 幾何平均數(shù) C、 調(diào)和平均數(shù) D、 眾數(shù) 練習(xí) 3：某籃球隊(duì)上場(chǎng)的 5名球員有 4名在 190公分至 200公分之間 ，其中有 1人身高為 ， 要說(shuō)明該隊(duì)隊(duì)員身高的一般水平 ， 應(yīng)采用 （ ） 比較合適 A、 算術(shù)平均數(shù) B、 幾何平均數(shù) C、 中位數(shù) D、 眾數(shù) 練習(xí) 4：某次歌唱比賽 ， 共有 9位評(píng)委 ， 其中歌手 A和歌手 B分別得分如下： 評(píng)委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 歌手 A 8 歌手 B 8 8 采用數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的度量 ， 對(duì)歌手 A和歌手 B來(lái)排名次 ， 誰(shuí)應(yīng)該排在前面 ， 請(qǐng)加以討論 。 四分位數(shù) ? 集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一 ? 排序后處于 25%和 75%位置上的值 不受極端值的影響 Q1 Q2 Q3 25% 25% 25% 25% 四分位數(shù) (位置的確定 ) 未分組數(shù)據(jù)： 分組數(shù)據(jù)： 第一四分位數(shù) (Q1)位置 = 第三四分位數(shù) (Q3)位置 = 3(N+1) 4 第一四分位數(shù) (Q1)位置 = N 4 第三四分位數(shù) (Q3)位置 = 3N 4 N+1 4 數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (7個(gè)數(shù)據(jù)的算例 ) ? 原始數(shù)據(jù) : 23 21 30 32 28 25 26 ? 排 序 : 21 23 25 26 28 30 32 ? 位 置 : 1 2 3 4 5 6 7 N+1 QL= 23 7+1 Q1位置 = 4 = 4 = 2 Q3位置 = 3(N+1) 4 3(7+1) 4 = = 6 QU = 30 ? ? 數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (6個(gè)數(shù)據(jù)的算例 ) ? 原始數(shù)據(jù) : 23 21 30 28 25 26 ? 排 序 : 21 23 25 26 28 30 ? 位 置 : 1 2 3 4 5 6 Q1= 21+(2321) = 22. 5 Q1位置 = N+1 4 = 6+1 4 = Q3位置 = 3(N+1) 4 3(6+1) 4 = = Q3 = 28+(3028) = ? ? 數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (計(jì)算公式 ) 331311113311434dfSfXQdfSfXlQl?????????????XL XL3 ——Q Q3所在組下限 ? f3 ——Q Q3所在組次數(shù) ? d d3 ——Q Q3所在組組距 ?SQ1 SQ31 ——QQ3所在組以前各組的 累計(jì)次數(shù) 數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (計(jì)算示例 ) ?Q1位置＝ 50/4＝ ? Q3位置＝ 3 50/4＝ 表 某車(chē)間 50名工人日加工零件數(shù)分組表 按零件數(shù)分組 頻數(shù)（人） 累積頻數(shù) 105~110 110~115 115~120 120~125 125~130 130~135 135~140 3 5 8 14 10 6 4 3 8 16 30 40 46 50 合計(jì) 50 — 根據(jù)下表中的數(shù)據(jù) ， 計(jì)算 50 名工人日加工零件數(shù)的四分位數(shù) )( 1 75884501 1 51 個(gè)????? ??Q)(304 5031253 個(gè)?????? ??Q六、算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系 對(duì)于同一次數(shù)分布數(shù)列 ， 適宜計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的 ， 就可以找到眾數(shù)和中位數(shù) 。次數(shù)分布特征不同 ， 三者的關(guān)系就不同 。 鐘形對(duì)稱分布時(shí) ， X = Me = Mo 鐘形左偏分布時(shí) ， X Me Mo 鐘形右偏分布時(shí) ， Mo Me X 當(dāng)偏度適宜 ， 三者之間有數(shù)量關(guān)系： eMXMX ??? 30算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系 MoMe MeMo Me Mo xxMo Me xxxMo= Me= 根據(jù)皮爾遜的經(jīng)驗(yàn)公式，在輕微偏態(tài)的頻數(shù)分布中，一旦三者之中兩者已知時(shí)，可利用公式近似估計(jì)第三者： )3(21)2(3123000MMXXMMXMMeee??????某科考試結(jié)果 ， 有半數(shù)考生成績(jī)?cè)?80分以上 ， 得 84分最多 ，試估計(jì)平均成績(jī) 。 78)84803(21)3(210?????? MMXe練習(xí) 5：某工廠工人日產(chǎn)量分布情況如下： 日產(chǎn)量（件） 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 工人數(shù)（人） 50 140 230 500 320 220 90 要求：計(jì)算工人日產(chǎn)量的算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)， 并說(shuō)明工人日產(chǎn)量的分布類型。 46101802702704050042021550402104521101?????????????????????????????? ?????????????????????dLMdfSfLMffxaffaxxmme七、計(jì)算和應(yīng)用平均指標(biāo)的原則 注意社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的同質(zhì)性 所謂同質(zhì)性 ， 就是社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的各個(gè)單位在被平均的標(biāo)志上具有同類性 ， 不同質(zhì)的現(xiàn)象 ， 不能用來(lái)計(jì)算平均指標(biāo) ， 這是計(jì)算平均指標(biāo)的基本前提 。 否則 ， 平均數(shù)不僅不能反映總體的本質(zhì)特征 ， 而且還會(huì)抹煞現(xiàn)象之間的本質(zhì)區(qū)別 ， 歪曲現(xiàn)象真相 。 甲企業(yè) 乙企業(yè) 職工人數(shù)（人） 比重 （ % ） 工資總額 （元） 平均工資 （元） 職工人數(shù)（人） 比重 （ % ） 工