第17講交換律、單位元、零因子、整環(huán)(編輯修改稿)
2024-10-10 15:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 沒有左零因子 . 0??? cb (否則 a 就成了左零因子 )即 cb? 由 cba , 的任意性 R? 中滿足左消去律 . )(? 設 Ra??0 ,如果 0?ab 顯然 0aab? ,∵ 0?a 由左消去律 0??b ,這說明 a 不是左零因子 .由 a 的任意性 R?中沒有左零因子 . 關于 (2),同理可證 . 利用左 ,右零因子的“共存亡”的性質(zhì) .可知 推論：設 R 是環(huán)，那么下列條件是等價的： ① R 中沒有左零因子；② R 中沒有右零因子；③ R 中 滿足 左消去律；④ R 中 滿足右消去律 . 說明 : ④②①③ 定理“共存亡”定理 ??? 若 R 是環(huán) ,而含 }.0|{ ???? aRaR ,于是 ,可用 ?R 的性質(zhì)來刻劃 R 是否有零因子 . 結(jié)論 :R 是無零因子環(huán) },{ ???R 是半群 . 證明 :R 是無零因子環(huán) ),.(0,0 ????? Rbaba ,都有 0?ab 即 ?? ?? RRab 是封閉的 ??R 是半群 例 3. 在 n 階矩陣環(huán) )2(),( ?nFM n 中 .若 ).(FMA n? 那么 A 是左 (右 )零因子 0??A . 證明 : )(? 若 A 是左零因子 . ).(0 FMB n???? 使 .0?AB 如果 ????? 00|| BA . 0|| ??A )(? ∵ 0|| ?A ,構(gòu)造地個齊線性方程組 . ( * )00021???? ?????????????????????????nxxxA 第 4 頁 共 6 頁 由方程組的性質(zhì) (*)? 有非零解 . 02 ?????????????n1ccc? 即 021?????????????ncccA? ,令 )(00000021FMcccB nn??????????????????? ? 0021???????????????Bcccn? 且 0)00,00,(21???????????????????????????????? ???? AAccAAB ? A 是零因子 。 例 4. 剩余類 mZ 是無零因子環(huán) m? 為素數(shù)
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