【文章內(nèi)容簡介】 版。 洛必達(dá)豁達(dá)大度，氣宇不凡。由于他與當(dāng)時(shí)歐洲各國主要數(shù)學(xué)家都有交往。從而成為全歐洲傳播微積分的著名人物。 第三節(jié) 泰勒公式 對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù) ,為了便于研究 ,往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達(dá) . 多項(xiàng)式函數(shù)是最為簡單的一類函數(shù) ,它只要對(duì)自變量進(jìn)行有限次的加、減、乘三種算術(shù)運(yùn)算 ,就能求出其函數(shù)值 ,因 此 ,多項(xiàng)式經(jīng)常被用于近似地表達(dá)函數(shù) ,這種近似表達(dá)在數(shù)學(xué)上常稱為 逼近 . 英國數(shù)學(xué)家泰勒（ Taylor. Brook, 16851731）在這方面作出了不朽的貢獻(xiàn) . 其研究結(jié)果表明 : 具有直到 1?n 階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的 n 次多項(xiàng)式近似表達(dá) . 本節(jié)我們將介紹泰勒公式及其簡單應(yīng)用 . 本節(jié)主要內(nèi)容 1 問題 2 泰勒中值公式 講解提綱： 一、 問題： 設(shè) 函數(shù) )(xf 在含有 0x 的開區(qū)間 (a, b)內(nèi)具有直到 1?n 階導(dǎo)數(shù) , 問是否存在一個(gè) n 次多項(xiàng)式函數(shù) nnn xxaxxaxxaaxp )()()()( 0202020 ???????? ? () 使得 )()( xPxf n? , () 且誤差 )()()( xpxfxR nn ?? 是比 nxx )( 0? 高階的無窮小 ,并給出誤差估計(jì)的具體表達(dá)式 . 二、泰勒中值公式 202000 )(!2 )())(()()( xxxfxxxfxfxf ???????? )()(! )( 00)( xRxxn xf nnn ???? ? () 拉格朗日型余項(xiàng) 10)1( )()!1( )()( ?? ??? nnn xxnfxR ? () 皮亞諾形式余項(xiàng) ].)[()( 0 nn xxoxR ?? () 帶有皮亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式 )(! )0(!2 )0()0()0()( )(2 nnn xoxnfxfxffxf ????????? ? () 從公式 ()或 ()可得近似公式 nn xnfxfxffxf ! )0(!2 )0()0()0()( )(2 ???????? ? () 誤差估計(jì)式 ()相應(yīng)變成 9 nn xnMxR ||)!1(|)(| ?? () 例題選講： 直接展開法 ： 例 1 按 (x4)的冪展開多項(xiàng)式 435)( 234 ????? xxxxxf . 解： 432 )4()4(11)4(37)4(2156)( ?????????? xxxxxf 例 2 求 xexf ?)( 的 n 階麥克勞林公式 . 解： xn exfxfxf ???? )()()( )(39。39。39。 ? 所以 1)0()0()0( )(39。 ???? nfff ? 得 12)!1(!!21 ???????? nxnx xn enxxxe ?? 常用初等函數(shù)的麥克勞林公式 ： 12 )!1(!!21 ???????? nxnx xn enxxxe ?? )()!12()1(!5!3s i n 221253 ?? ???????? nnn xonxxxxx ? )()!2()1(!6!4!21c o s 22642 nnn xonxxxxx ???????? ? )(1)1(32)1l n ( 1132 ?? ????????? nnn xonxxxxx ? )(11 1 2 nn xoxxxx ??????? ? ??????? 2!2 )1(1)1( xmmmxx m 簡介展開法 ： 在實(shí)際應(yīng)用中 , 上述已知初等函數(shù)的麥克勞林公式常用于間接地展開一些更復(fù)雜的函數(shù)的麥克勞林公式 , 以及求某些函數(shù)的極限等 . 例 3 求函數(shù) ? ? xxexf ? 的 n 階麥克勞林公式。 解： )()(,),2()(),1()( )(39。39。39。 nxexfxexfxexf xnxx ?????? ? 則)!1( 1! )0(,)0(,2)0(,1)0(,0)0( )()(39。39。39。 ?????? nnfnffff nn? 因此 )()!1( 1!31!21 432 nnx xoxnxxxxxe ???????? ? 例 4 求 )]1ln ([co slim2202xxx exxx ??? ?? 解 )]1ln ([co slim 2202xxx exxx ??? ?? 10 = )](2/1([ )]()2(21211[)](!41211[l i m 22242224420 xoxxxxxoxxxoxxx ???????????? = 6/12181241??? 課堂練習(xí) 1. 利用泰勒公式求極限 x xxxx 30 sin cossinlim ??. 泰勒 （ Taylor, Brook， 1685~1731）簡介： 泰勒 (Taylor,Brook)英國數(shù)學(xué)家。 1685 年 8 月 18 日生于英格蘭德爾塞克斯郡的 埃德蒙頓市； 1731 年 12 月 29 日卒于倫敦。 泰勒出生于英格蘭一個(gè)富有的且有點(diǎn)貴族血統(tǒng)的家庭。父親約翰來自肯特郡的比夫隆家庭。泰勒是長子。進(jìn)大學(xué)之前，泰勒一直在家里讀書。泰勒全家尤其是他的父親，都喜歡音樂和藝術(shù)，經(jīng)常在家里招待藝術(shù)家。這時(shí)泰勒一生的工作造成的極大的影響，這從他的兩個(gè)主要科學(xué)研究課題：弦振動(dòng)問題及透視畫法，就可以看出來 。 1701 年，泰勒進(jìn)劍橋大學(xué)的圣約翰學(xué)院學(xué)習(xí)。 1709年，他獲得法學(xué)學(xué)士學(xué)位。 1714 年獲法學(xué)博士學(xué)位。 1712 年，他被選為英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，同年進(jìn)入促裁牛頓和萊布尼茲發(fā)明微 積分優(yōu)先權(quán)爭論的委員會(huì)。從 1714 年起擔(dān)任皇家學(xué)會(huì)第一秘書， 1718 年以健康為由辭去這一職務(wù)。 泰勒后期的家庭生活是不幸的。 1721 年，因和一位據(jù)說是出身名門但沒有財(cái)才的女人結(jié)婚，遭到父親的嚴(yán)厲反對(duì)，只好離開家庭。兩年后，妻子在生產(chǎn)中死去，才又回到家里，1725 年，在征得父親同意后，他第二次結(jié)婚，并于 1729 年繼承了父親在肯特郡的財(cái)才。 1730年，第二個(gè)妻子也在生產(chǎn)中死去，不過這一次留下了一個(gè)女兒。妻子的死深深地刺激了他，第二年他也去了，安葬在倫敦圣 .安教堂墓地。 由于工作及健康上的原因，泰勒曾幾次訪問法國 并和法國數(shù)學(xué)家蒙莫爾多次通信討論級(jí)數(shù)問題和概率論的問題。 1708 年， 23 歲的泰勒得到了“振動(dòng)中心問題”的解，引起了人們的注意，在這個(gè)工作中他用了牛頓的瞬的記號(hào)。從 1714 年到 1719 年，是泰勒在數(shù)學(xué)牛頓產(chǎn)的時(shí)期。他的兩本著作：《正和反的增量法》及《直線透視》都出版于 1715年，它們的第二版分別出于 1717 和 1719 年。從 1712 到 1724 年，他在《哲學(xué)會(huì)報(bào)》上共發(fā)表了 13篇文章，其中有些是通信和評(píng)論。文章中還包含毛細(xì)管現(xiàn)象、磁學(xué)及溫度計(jì)的實(shí)驗(yàn)記錄。 在生命的后期，泰勒轉(zhuǎn)向宗教和哲學(xué)的寫作，他的第三本著作《哲學(xué)的沉思》在他死后由外孫 1793 年出版。 泰勒以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世。這條定理大致可以敘述為：函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點(diǎn)的值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的無窮級(jí)數(shù)表示出來。然而，在半個(gè)世紀(jì)里，數(shù)學(xué)家們并沒有認(rèn)識(shí)到泰勒定理的重大價(jià)值。這一重大價(jià)值是后來由拉格朗日發(fā)現(xiàn)的，他把這一定理刻畫為微積分的基本定理。泰勒定理的嚴(yán)格證明是在定理誕生一個(gè)世紀(jì)之后，由柯西給出的。 11 麥克勞林（ Maclaurin, Colin， 1689~1746）簡介： 麥克勞林（ Maclaurin,Colin）是英國數(shù)學(xué)家。 1689 年 2 月生于蘇格蘭的基爾莫登； 1746年 1 月卒于愛丁堡。 麥克勞林是一位牧師的兒子，半歲喪父， 9 歲喪母。由其叔父撫養(yǎng)成人。叔父也是一位牧師。麥克勞林是一個(gè)“神童”，為了當(dāng)牧師，他 11 歲考入格拉斯哥大學(xué)學(xué)習(xí)神學(xué)，但入校不久卻對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生了濃厚的興趣，一年后轉(zhuǎn)攻數(shù)學(xué)。 17 歲取得了碩士學(xué)位并為自己關(guān)于重力作功的論文作了精彩的公開答辯； 19 歲擔(dān)任阿伯丁大學(xué)的數(shù)學(xué)教授并主持該校馬里歇爾學(xué)院數(shù)學(xué)第工作；兩年后被選為英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員； 17221726 年在巴黎從事研究工作，并在 1724 年因?qū)懥宋矬w碰撞的杰出論文而榮獲法國科學(xué)院資金，回車后任愛丁堡大學(xué)教授。 1719 年，麥克勞林在訪問倫敦時(shí)見到了牛頓，從此便成為牛頓的門生。 1724 年，由于牛頓的大力推薦，他繼續(xù)獲得教授席位。 麥克勞林 21 歲時(shí)發(fā)表了第一本重要著作《構(gòu)造幾何》，在這本書中描述了作圓錐曲線的一些新的巧妙方法，精辟地討論了圓錐曲線及高次平面曲線的種種性質(zhì)。 1742 年撰寫的《流數(shù)論》以泰勒級(jí)數(shù)作為基本工具，是對(duì)牛頓的流數(shù)法作出符合邏輯的、系統(tǒng)解釋的第一本書。此書之意是為牛頓流數(shù)法提供一個(gè) 幾何框架的，以答復(fù)貝克來大主教等人對(duì)牛頓的微積分學(xué)原理的攻擊。 麥克勞林也是一位實(shí)驗(yàn)科學(xué)家，設(shè)計(jì)了很多精巧的機(jī)械裝置。他不但學(xué)術(shù)成就斐然，而且關(guān)于政治， 1745 年參加了愛丁堡保衛(wèi)戰(zhàn)。 麥克勞林終生不忘牛頓對(duì)他的栽培，并為繼承、捍衛(wèi)、發(fā)展牛頓的學(xué)說而奮斗。他曾打算寫一本《關(guān)于伊薩克 .牛頓爵士的發(fā)現(xiàn)說明》，但未能完成便去世了。死后在他的墓碑上刻有“曾蒙牛頓推薦”，以表達(dá)他對(duì)牛頓的感激之情。 第四節(jié) 函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性 我們已經(jīng)會(huì)用初等數(shù)學(xué)的方法研究一些函數(shù)的單調(diào)性和某些簡單函數(shù)的性質(zhì)，但這 些方法使用范圍狹小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性 . 本節(jié)將以導(dǎo)數(shù)為工具，介紹判斷函數(shù)單調(diào)性和凹凸性的簡便且具有一般性的方法 . 本節(jié)主要內(nèi)容 1 函數(shù)的單調(diào)性 2 曲線的凹凸性 3 拐點(diǎn) 講解提綱： 一、函數(shù)的單調(diào)性 ：設(shè)函數(shù) )(xfy? 在 [a, b]上連續(xù) , 在 (a, b)內(nèi)可導(dǎo) . (1) 若在 (a, b)內(nèi) 0)( ?? xf , 則函數(shù) )(xfy? 在 [a, b]上單調(diào)增加 。 (2) 若在 (a, b)內(nèi) 0)( ?? xf