【文章內(nèi)容簡介】 (3) 有限元法不僅適應于復雜的幾何形狀和邊界條件，而且能處理各種復雜的材料性質(zhì)問題。如各向異性、非線性等，另外，還能解決非均質(zhì)連續(xù)介質(zhì)的很多問題。 (4) 有限元 計算在正確建模的基礎上，不僅可以得到較準確的計算結(jié)果，而且目前通用的有限元分析軟件還可以對整個結(jié)構的應力、應變和位移分布狀況進行可視化觀察。 [7,19,23] 概括起來可以分為以下六個步驟： (1) 結(jié)構的離散化 結(jié)構的離散化是有限單元法分析的第一步，它是有限單元法的 基本 概念。所謂離散化簡單的說，就是將分析的結(jié)構物分割成有限個單元體，并在單元體的指定點設置節(jié)點，使 相鄰 單元的有關參數(shù)具有一定的連續(xù)性，并構成一個單元的集合體，以它代替原來的結(jié)構。 合體，以它代替原來的結(jié)構。 (2) 選擇位移模式 在完成結(jié)構的離散化之后，就可以對典型單元進行特性分析。此時，為了能用節(jié)點位移表示單元體內(nèi)的位移、應變和應力，在分析連續(xù)體問題時，必須對單元中位移的分布做出一定的假設，也就是假定位移是坐標的某種簡單函數(shù)，這種函數(shù)稱為位移模式或插值函數(shù)。 選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元法分析中的關鍵。通常選擇多項式作上海工程技術大學畢業(yè)設計 （論文） UG離合器齒轂 的 強度 設計分析 22 為位移模式。其原因是因為多項式的數(shù)學運算 （ 微分和積分 ） 比較方便，并且由于光滑函數(shù)的局部，都可以用多項式逼近，至于多項式的項數(shù)和階次的選擇，則要考慮單元的自由度和解的收斂性要求，一 般來說，多項式的項數(shù)應等于單元自由度數(shù)，它的階次應包括常數(shù)項和線性項等。單元的自由度是指單元節(jié)點獨立位移的個數(shù)。 根據(jù)選定的位移模式，就可以導出用節(jié)點位移表示單元內(nèi)任意一點位移的關系式，其矩陣形式是 ： ? ? ? ?? ?efN?? ?? ?????????????????? ??????? () 式中： ??f 為單元內(nèi)任意一點的位移列陣； ??e? 為單元的節(jié)點位移列陣； ??N 稱為形函數(shù)矩陣，它的元素是位置坐標的函數(shù)。 (3) 分析單元的力學特性 位移模式選定以后，就可以進行單元的力學特性分析，包括三部分內(nèi)容： 1) 利用幾何方程，由位移表達式 ()導出節(jié)點位移表示單元應變的關系式： ? ? ? ?? ?eB??? ?? ????????????????????????? () 式中： ??? 為單元內(nèi)任意一點的應變列陣； ??B 稱為單元應變矩陣。 2) 利用物理方程，由應變的表達式 ()導出用節(jié)點位移表示單元應力的關系式 : ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? eD D B? ? ??? ???????????????????? ?? () 上海工程技術大學畢業(yè)設計 （論文） UG離合器齒轂 的 強度 設計分析 23 式中： ??? 為單元內(nèi)任意一點的應力 列陣； ??D 是與單元材料有關的彈性矩陣。 3) 利用 變分原理 ，建立作用于單元上的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系 式，即單元的平衡方程： ? ? ? ? ? ?e e eFK?? ?? ???????????????????????? () 式中： ? ?eK 稱為單元剛度矩陣；可導出 ? ? ? ? ? ?? ?TeK B D B d x d y d z? ??? ；上式的積分應普及整個單元的體積；利用變分原理同時導得等效節(jié)點力??eF ；在以上三式中導出單元剛度矩陣是單元特性分析的核心內(nèi)容。 (4) 集合所有單元的平衡方程，建立整個結(jié)構的平衡方 程 這個集合過程包括兩方 面 的內(nèi)容；一是各個單元的剛度矩陣，集合成整個物體的整體剛度矩陣；二是將作用于各單元的等效節(jié)點力列陣，集合成總的載荷列陣。最常用的集合剛度矩陣的方法是直接剛度法。一般來說，集合所依據(jù)的理由是要求所有相臨的單元在公共結(jié)點處的位移相等。于是得到以整體剛度矩陣 ??K 、載荷列陣 ??F 以及整個物體的結(jié)點位移列陣 ???表示的整個結(jié)構的平衡方程 ： ? ? ? ?? ?FK?? ? ?? ????????????????????????? () 這些方程還應考慮幾何邊界條件作適當?shù)男薷闹螅拍軌蚪獬鏊械奈粗Y(jié)點位移。 (5) 求解未知結(jié)點位移 由集合起來的平衡方程組 ()解出未知位移。在線性平衡問題中，可以根據(jù)方程組的具體特點選擇合適的計算方法。 上海工程技術大學畢業(yè)設計 （論文） UG離合器齒轂 的 強度 設計分析 24 (6) 計算單元應力 最后，就可利用公式 ()和已求得的結(jié)點位移計算各單元的應力，加以整理得出所要求的結(jié)果。 從有限元軟件的角度來講，有限元法可 分為 :前處理 — 計算 — 后處理。 前處理是對計算對象網(wǎng)格劃分、形成計算模型的過程，包括單元類型的選擇、材料特性的確定，實體建模，節(jié)點單元網(wǎng)格的確定、約束載荷的移置等。一些通用的有限元軟件大都已經(jīng)將常用的各 種材料及其物理參數(shù)存儲到其數(shù)據(jù)庫中，供我們選擇。 許多有限元軟件不僅提供了與主流 CAD系統(tǒng)的接口，自己本身也有很好的實體建模性能。 有限元軟件都提供了一種以上的網(wǎng)格劃分方法，以供使用者根據(jù)計算要求進行選擇，從軟件的角度看，這是分析中最重要的環(huán)節(jié)。計算則是在形成總剛度方程和約束處理后求解大型聯(lián)立方程組、最終得到節(jié)點位 移的過程。從有限元法理論角度，這是有限元分析的核心，但由于軟件已經(jīng)針對多種模型進行過驗證運算，因此我們只需要按照提示輸入各種條件，包括收斂的方法 （ 在軟件中，這常被稱為求解器 ） 等，計算機就可以為我們計算，得到計算結(jié)果。后處理則是對計算結(jié)果 （ 應力、應變或振型等 ） 的整理，形成等應力線、變形圖、振型圖等，以及結(jié)果的輸出 (圖 示 )。 圖 有限元模型的建立及仿真分析過程 上海工程技術大學畢業(yè)設計 （論文） UG離合器齒轂 的 強度 設計分析 25 有限元 離散 模型的建立及網(wǎng)格生成原則 [21,24] 問題性質(zhì)的判斷及建模原則 常用的工程問題分析方法包括對產(chǎn)品結(jié)構的 靜力分析、接觸分析、傳熱及熱應力分析、模態(tài)及響應分析、疲勞分析等方面。我們在建立有限元數(shù)值仿真模型時，應該首先判斷分析對象屬于哪一類性質(zhì)的問題 —— 是線性問題還是非線性問題，是靜力問題還是動力問題，小變形問題還是大變形大應變問題等，從而才能正確的選擇相應的分析方案及建模方法。 本課題通過對離合器齒轂 中央的花鍵齒 施加靜扭矩，在彈性形變的范圍內(nèi)分析其應力變化，屬結(jié)構靜力分析。所謂結(jié)構靜力分析是指分析由于穩(wěn)態(tài)外載荷所引起的系統(tǒng)或零部件的位移、應力、應變合作用力，很適合求解慣性及阻尼的時間相關作用對結(jié)構響應的 影響并不顯著的問題，其中穩(wěn)態(tài)載荷主要包括外部施加的力和壓力、穩(wěn)態(tài)的慣性力，如重力和旋轉(zhuǎn)速度、施加位移、溫度和熱量等。靜力分析可分為線性靜力分析和非線性靜力分析。 所謂建模就是根據(jù)工程分析精度的要求，建立合適的能模擬實際結(jié)構的有限元模型。在連續(xù)體離散化及用有限個參數(shù)特征表征無限個形態(tài)自由度過程中，不可避免的引入了近似。為使分析結(jié)果 具備 足夠的精度，所建立的有限元模型必須在能量上與連續(xù)系統(tǒng)等價。具體的講，有限元模型應滿足：平衡條件，即結(jié)構的整體和任一單元在節(jié)點上都必須保持靜力平衡；變形協(xié)調(diào)條件，交匯于一點的各元素 在外力作用下，引起元素變形后必須仍保持交匯于一個節(jié)點，協(xié)調(diào)元元素也應在邊界上滿足相應的位移協(xié)調(diào)條上海工程技術大學畢業(yè)設計 （論文） UG離合器齒轂 的 強度 設計分析 26 件；邊界條件和材料的本構關系；剛度等價原則及幾何逼近真實結(jié)構等。 有限元模型在幾何上逼近原結(jié)構，即選取的有限元網(wǎng)格應盡可能的與原結(jié)構相一致；但事實上的不一致性，導致有限元在模擬實際結(jié)構時，幾何上引入了近似。 在結(jié)構有限元模型簡化方面，一個復雜的幾何結(jié)構，應該按照各個部分在幾何及載荷分布上的特點，將它簡化成桿、梁、板、殼和體等典型構件來處理；同時考慮模型的幾何上和邊界中是否具有對稱性或反對稱性的特點，這樣既減少了計 算工作量，又不會失去構件本來的力學特性，使計算模型簡單。 幾何簡化方面，主要是修改或者去除幾何結(jié)構中不太重要的短邊、小曲面、小倒角、小圓角，以及其他影響網(wǎng)格分布但對分析結(jié)果影響不大的結(jié)構，以保證網(wǎng)格生成器能夠成功的劃分出有限元網(wǎng)格，同時也可以避免非重要部位的局部網(wǎng)格過細致使計算經(jīng)濟性不高。 網(wǎng)格生成原則 劃分網(wǎng)格是建立有限元模型的一個重要環(huán)節(jié)，它要求考慮的問題較多，需要的工作量較大，所劃分的網(wǎng)格形式對計算精度和計算規(guī)模將產(chǎn)生直接影響。為建立正確、合理的有限元模型這里介紹劃分網(wǎng)格時應考慮的一些基本 原則： (1) 網(wǎng)格數(shù)量 網(wǎng)格數(shù)量的多少將影響計算結(jié)果的精度和計算規(guī)模的大小。網(wǎng)格數(shù)量增加，計算精度會有所提高，但同時計算規(guī)模也會增加，所以在確定網(wǎng)格數(shù)量時應權衡兩個因數(shù)綜合考慮。 上海工程技術大學畢業(yè)設計 （論文） UG離合器齒轂 的 強度 設計分析 27 圖 位移精度和計算時間隨網(wǎng)格數(shù)量的變化 圖 中的曲線 1 表示計算精度隨網(wǎng)格數(shù)量的變化，曲線 2 表示計算時間隨網(wǎng)格數(shù)量的變化，可以看出網(wǎng)格較少時增加網(wǎng)格數(shù)量可以使計算精度明顯提高，而計算時間不會有大的增加。當網(wǎng)格數(shù)量增加到一定程度后，再繼續(xù)增加網(wǎng)格時精度提高甚微，而計算時間卻有大幅度增加，所以應注意增加網(wǎng)格的經(jīng)濟性。 在決定網(wǎng)格數(shù)量時應考慮分析數(shù)據(jù)的類型。在靜力分析時如果僅僅是計算結(jié)構的變形，則網(wǎng)格數(shù)量可以少一些。如果需要計算應力，則在精度要求相同的情況下應取相對較多的網(wǎng)格。 (2) 網(wǎng)格疏密 網(wǎng)格疏密是指在結(jié)構不同部位采用大小 不同的網(wǎng)格，這是為了適應結(jié)構上不同應力分布特點 （ 圖 ） 。網(wǎng)格劃分的不當，可能會引起比較壞的結(jié)果，所以網(wǎng)格的選擇一定要根據(jù)力學性能進行合理的剖分。劃分疏密不同的網(wǎng)格主要用于應力分析，在應力變化梯度較大的部位（如應力集中處）為了較好地反映應力分布規(guī)律，需要采用比較密集的網(wǎng)格。而在應力變化梯度較小的 部位，為減小模型規(guī)模則應劃分相對稀疏的網(wǎng)格。這樣，整個結(jié)構便表現(xiàn)出疏密不同的網(wǎng)格劃分形式，而在疏密相交區(qū)域可以使用上海工程技術大學畢業(yè)設計 （論文） UG離合器齒轂 的 強度 設計分析 28 過渡單元。采用疏密不同的網(wǎng)格劃分，既可以保持相當?shù)挠嬎憔?，又可使網(wǎng)格數(shù)量減小。因此網(wǎng)格數(shù)量應增加到結(jié)構的關鍵部位，在次要部位增加網(wǎng)格是不必要的，也是不經(jīng)濟的。除此以外，在分析結(jié)構變形問題的網(wǎng)格需要比分析應力問題的網(wǎng)格粗；分析 模態(tài)問題 的網(wǎng)格需要比動力相應問題的網(wǎng)格粗；對于面和體元素，應合理調(diào)整單元的形狀，使之外形上盡量靠近正多邊形及正多面體。 圖 粗細不等的網(wǎng)格模型 (3) 單元階 次 許多單元都具有線性二次和三次形式，二次以上形式的單元稱為高階單元。選用 高階單元 可提高計算精度，因為高階單元的曲線或曲面邊界能夠更好地逼近結(jié)構的曲線和曲面邊界，且高次插值函數(shù)可更高精度地逼近復雜場函數(shù)，所以當結(jié)構形狀不規(guī)則、應力分布或變形很復雜時可以選用上海工程技術大學畢業(yè)設計 （論文） UG離合器齒轂 的 強度 設計分析 29 高階單元。但高階單元的節(jié)點數(shù)較多，在網(wǎng)格數(shù)量相同的情況下由高階單元組成的模型規(guī)模要大得多，因此在使用時應權衡考慮計算精度和時間。增加網(wǎng)格數(shù)量和單元階次都可以提高計算精度。因此在精度一定的情況下，用高階單元離散結(jié)構時應選擇適當?shù)木W(wǎng)格數(shù)量，太多的網(wǎng)格并不能明顯 提高計算精度。采用不同階次的單元，即精度要求高的重要部位用高階單元，精度要求低的次要部位用低階單元。不同階次單元之間要采用特殊的過渡單元連接，或采用多點約束等式連接。 (4) 網(wǎng)格質(zhì)量 網(wǎng)格質(zhì)量是指網(wǎng)格幾何形狀的合理性。質(zhì)量好壞將影響計算精度。質(zhì)量太差的網(wǎng)格甚至會中止計算。直觀上看，網(wǎng)格各邊長或各個內(nèi)角相差不大、網(wǎng)格面不過分扭曲、邊節(jié)點位于邊界等分點附近的 網(wǎng)格質(zhì)量較好。網(wǎng)格質(zhì)量可用細長比、錐度比﹑內(nèi)角﹑翹曲量﹑拉伸值、 邊節(jié)點位置偏差等指標度量。劃分網(wǎng)格時一般要求網(wǎng)格質(zhì)量能達到某些指標要求。在重點研究的結(jié)構關 鍵部位，應保證劃分高質(zhì)量網(wǎng)格，即使只有個別質(zhì)量很差的網(wǎng)格也會引起很大的局部誤差。而 在結(jié)構次要部位，網(wǎng)格質(zhì)量可適當降低。當模型中存在質(zhì)量很差的網(wǎng)格（ 稱為畸形網(wǎng)格）時，計算過程將無法進行。 (5) 網(wǎng)格分界面和分界點 結(jié)構中的一些特殊界面和特殊點應分為網(wǎng)格邊界或節(jié)點。以便定義材料特性、物理特性、載荷和位移約束條件。即應使網(wǎng)格形式滿足邊界條件特點，而不應讓邊界條件來適應網(wǎng)格。常見的特 殊界面和特殊點有不同材料分界面、幾何尺寸突變面、分布載荷分界線（點） 、集中載荷作用點和位移約束作用點等。 上海工程技術大學畢業(yè)設計 （論文） UG離合器齒轂 的 強度 設計分析 30 有限元分析的誤差 形成 [23] 有限元計算模型的精確性與計算過程的每個環(huán)節(jié)的誤差性質(zhì)和大小有關，這些誤差主要包括： (1) 理論模型本身的誤差，例如克?；舴蚣僭O、幾何變形線性化假設對于薄板彎曲問題的誤差 。 (2) 理論模型有限元離散近似誤差，其中包括低維模型近似、邊界條件近似、載荷條件近似和幾何形狀近似 等引起的誤差，以及幾何方程、物