【文章內(nèi)容簡介】 t? 的符號特征判斷平衡狀態(tài)的穩(wěn)定濟南大學(xué)畢業(yè) 論文 11 性，不需要求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理 定理 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 ? ?( , )X X t? ，其平衡狀態(tài)為 ? ?0?(0, ) 0t t t??。如果存在一個具有連續(xù)的 一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù) ? ?,VXt ，滿足條件： （ 1） ? ?,VXt 是正定； （ 2） ? ?,V Xt? 是負定， 則系統(tǒng)在狀態(tài)空間原點處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。如果對狀態(tài)空間中所有非零初始狀態(tài) 0()xt 滿足上述條件，且當 X ?? 時，有 ? ?,V X t ??，則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是 大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 以上定理可以作下述直觀的理解，假設(shè)存在有定號的函數(shù) ? ?1 2 3,V x x x （為了簡便，們在這里設(shè) 3n? ），其導(dǎo)數(shù) 0dVdt? ，作曲面簇 ? ? ? ?1 2 3, , 1 .4 ,V x x x c? 其中 c 是一個正的參數(shù)，在零到某個足夠小的值之間變化。曲面簇（ ）是封閉的，它們包圍坐標原點并在 c 趨向于零時， ? ?1 2 3,V x x x c? 收斂于原點。若12cc? ，則曲面 1Vc? 完全位于 2Vc? 之內(nèi)。當滿足 ??? 和 ? ?,V X t ??條件，也就是在等 V 曲面簇擴展到整個狀態(tài)空間條件下，能滿足在全局范圍內(nèi)，當t?? 時， ? ?,VXt 收斂到原點，便是系統(tǒng)具有大范圍漸近穩(wěn)定的條件。 例 已知給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 ?1 2?2 12xxx x x? ???? ?? ?? 應(yīng)用李雅普諾夫第二法分析上述系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解 由題意可得，給定線性系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)是狀態(tài)平面原點 =0X 。 選取具備正定性的二次型函數(shù) 濟南大學(xué)畢業(yè) 論文 12 ? ? ? ? 2 221 2 1 21 22V x x x x??? ? ? ? ??? 為李雅普諾夫函數(shù)，則求得 ? ? 2212()V X x x? ? ?是負定，而且當 X ?? 時有? ?,V X t ??，所以按照李雅普諾夫穩(wěn)定性定理 1 判定，上述系統(tǒng)在原點 ? ?0,0 處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定。 定理 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ? ?( , )X X t? ，其平衡狀態(tài)為 ? ?0?(0, ) 0t t t??。如果存在一個具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù) ? ?,VXt ，滿足條件： （ 1） ? ?,VXt 是正定； （ 2） ? ?,V Xt? 是負半定； （ 3） ? ?? 00,V t X t t?????， ，對任意的 0t 和任意的 0 0X? ，在 0tt? 的條件下不恒等于零，則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 因為 ? ?? ,V Xt 只是負半定而不是負定，所以典型軌跡可能和某個特定的曲面? ?? ,V X t c? 相切，在切點上 ? ?? ,0V X t ? 。又由于 ? ?? ?? 00, , ,V t X t t? 對任意的 0t 和任意的 0 0X? 在 0tt? 時不恒等于零，所以典型軌跡不是停留在切點上不動，而是隨著時間推移繼續(xù)向 原點靠近。 例 已知給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 1 22 12xxx x x? ???? ?? ?? 通過選取不同的李雅普諾夫函數(shù)分析給定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解 已知給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)是狀態(tài)平面原點 0X? 。選取具備正定性的二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)，其對時間的導(dǎo)數(shù)為 ? ?? ? ? 2121 2 22 2 2 .V X x x x x x? ? ? ? 由 ? ??VX可知，當 1200xx??， 時，則 ? ?? 0VX? ，但是當 1200xx??， 時，也可濟南大學(xué)畢業(yè) 論文 13 以得出 ? ?? 0VX? ，所以， ? ??VX是負半定的。因此，需要進一步地分析當1200xx??， 時 ? ??VX是否恒等于零。 如果要求在 0tt? 時 ? 222Vx?? 恒等 于零，那么必須滿足 2x 在 0tt? 恒等于零，而 2x 恒等于零又要求滿足 ?2x 恒等于零。但是從給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程 2 12x x x?? ?來分析，在 0tt? 時要求 ? 2 200xx??， 則意味著必須滿足 1 0x? 。因此給定系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。又因為當 X ?? 時 ? ?VX?? ，所以給定系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。圖 ? ? 所示是本題所對應(yīng)的等 V和典型軌跡。從圖中可以看出，在點 A 處 ??Xt 的運動軌跡與 V 圓? ? 221 2 2V X x x c? ? ?相切，但是狀態(tài) X 仍然隨著時間推移繼續(xù)想原點運動，并沒有在切點處停留下來 [15]。 圖 1. 等 V 圓及典型軌跡 定理 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 ? ?( , ),X X t? 0X 2X 3Vc? 1X A 濟南大學(xué)畢業(yè) 論文 14 其中 ? ?0?(0, ) 0t t t??。若存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù) ? ?VX，滿足條件： （ 1） ? ?,VXt 是正定； （ 2） ? ?,VXt 是負半定，但在原點外的某一點 X 處恒為零，則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定。那么在這種情況下，系統(tǒng)維處于一個穩(wěn)定的等幅震蕩狀態(tài)上。 例 已知給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 ? ?1 22 10x kx kxx? ???????? 試分析系統(tǒng)的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解 由題意得， 120xx??即原點為給定系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。如果選取正定的標量函數(shù) ? ? 2212V X x kx?? 為李氏函數(shù)，則 ? ?? ? ?121 2 1 2 1 22 2 2 2 0 ,V X x x k x x k x x k x x? ? ? ? ? 由上式可以得出， ? ??VX在任意的狀態(tài) X 上都能保持為零。此時系統(tǒng)在 李亞普諾夫意義下是穩(wěn)定的，但并不是漸近穩(wěn)定的。 定理 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 ? ?( , ),X X t? 其中 ? ?0?(0, ) 0t t t??。若存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù) ? ?VX，滿足條件： （ 1） ? ?,VXt 在原點附近的鄰域內(nèi)正定的； （ 2） ? ?? ,V Xt 在同一鄰域內(nèi)也是正定的。 則原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 濟南大學(xué)畢業(yè) 論文 15 例 已知給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 1 22 12xxx x x? ???? ?? ?? 試分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解 由題意得， 120xx??即原點為該系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。如果選取正定的標量函數(shù) ? ? 2212V X x x?? 為李雅普諾夫函數(shù)，則 ? ? ? ?? ? ? 2121 2 1 2 2 1 2 22 2 2 2 2 .V X x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? 由上式可以得出，當 1200xx??， 時有 ? ?? 0VX? ，所以 ? ??VX是正半定。但是可以判定 ? ??VX只有在 120xx??時恒等于零，但是在其它 0X? 的狀態(tài)上 ? ??VX均不恒為零。因此給定系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 應(yīng)用李雅普諾夫第二法判別穩(wěn)定性，需要注意選取的李氏函數(shù)是否恰當?shù)膯栴}。若根據(jù)李雅普諾夫第二法判斷系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的；但是如果判斷系統(tǒng)是不穩(wěn)定，則不能判 定系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定的。遇到這種情況，可以嘗試選取不同形式的李氏函數(shù)重新進行分析 [14]。例如，如果為例 1 給出的系統(tǒng) 1 22 12xxx x x? ???? ?? ?? 選取正定標量函數(shù) ? ? 22122V X x x?? 為李雅普諾夫函數(shù)，則由選定的 ? ?VX可求得 ? ?? ? ? 2121 2 1 2 24 2 2 2 .V X x x x x x x x? ? ? ? 在檢驗 ? ??VX的定號性時，當 120xx??時， 有 ? ?? 0VX? ；當 120xx??時則濟南大學(xué)畢業(yè) 論文 16 ? ?? 0VX? ，而當 210xx??時則 ? ?? 0VX? 。所以， ? ??VX為不定的。這表明當初始狀態(tài) 0X 超出一定范圍時系統(tǒng)將不穩(wěn)定。但是在例 1 中分析得，該系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。所 以，因為李雅普諾夫函數(shù)選取得不同，可能得出完全不同的結(jié)論。 應(yīng)用李雅普諾夫第二法分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 李雅普諾夫第二法是分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的實用方法，對于線性定常系統(tǒng)、線性時變系統(tǒng)以及離散系統(tǒng)都可以給出相應(yīng)的穩(wěn)定判據(jù)。下面將分別介紹線性定常系統(tǒng)、線性時變系統(tǒng)以及離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。 線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 設(shè)線性連續(xù)定常系統(tǒng)： ?X AX? 其中 X 是狀態(tài)向量，為 nn? 矩陣； A 為是系統(tǒng)矩陣，為 nn? 常數(shù)矩陣。線性定常系統(tǒng)在平衡狀態(tài) 0eX? 處漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個正定對稱矩陣 Q ，存在一個正定實對稱矩陣 P ，使?jié)M足： ? ? 1 . 5TA P P A Q? ? ? 且標量函數(shù) ? ? ? ? 1 . 6TV X X P X? 就是系統(tǒng)的一個李氏函數(shù)。 通常情況下，判斷 ? ??VX的符號特征時，先指定一個正定的矩陣 Q ，然后檢驗滿足等式 TA P PA Q? ?? 的 P 是否是正定的方法要方便的多。特是選取 QI? ，再由 TA P PA I? ?? 確定矩陣 P 的各個元素尤其方便，其中 I 是單位矩陣。 如果 ? ? TV X X QX?? 沿任意一條軌跡不恒等于零，那么 Q 也可選取正半定矩陣。但矩陣 P 的正定性是必要條件。 濟南大學(xué)畢業(yè) 論文 17 例 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 1 22 12xxx x x? ???? ?? ?? 試分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解 根據(jù)給定的狀態(tài) 方程求得系統(tǒng)矩陣為 01,11A ????????? 若選取 QI? ，并且設(shè)矩陣 P 具有下面的對稱形式，即 11 1212 22.ppP pp??? ???? 則由 ,TA P PA Q? ? ? 即 1 1 1 2 1 1 1 21 2 2 2 1 2 2 20 1 0 1 1 0 ,1 1 1 1 0 1p p p pp p p p??? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 求得 1211 12 2212 222102 2 1pp p ppp? ? ?? ? ?? ? ? 由上面的方程組解出 1 1 1 2 2 23 2 1 2 1p p p? ? ?， 。將計算結(jié)果代入矩陣 P ，得 3122.1 12P????????? 因為 1 1 1 2111 2 2 23131220 1 0 ,124 12ppppp? ? ? ? ?， 所以 P 為正定。所以，給定系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 濟南大學(xué)畢業(yè) 論文 18 例 Matlab 仿真程序如下： function dxdt = exam(t,x) dxdt = [ x(2)。2*x(1)x(2)]。 輸入上述程序代碼后，將文件保存為“ ”，該函數(shù)是微分方程組函數(shù)。 tspan = [0 15]。 x0 = [0。1]。 [t,x] = ode45(@exam,tspan,x0)。 plot(t,x(:,1),39。r39。,39。LineWidth39。,)。 hold on。 plot(t,x(:,2),39。g.39。,39。LineWidth39。,)。 axis([0 15 ]) legend(39。x(1)39。,39。x(2)39。) grid on title(39。系統(tǒng)微分方程的數(shù)值解 39。) 圖 系統(tǒng)微分方程的數(shù)值解 由圖 可以看出系統(tǒng)微分方程的數(shù)值解由最初的震蕩逐漸趨于穩(wěn)定，所以給定系統(tǒng)是穩(wěn)定的。同樣，如果按照式 ? ? 選取李雅普諾夫函數(shù) ? ?VX，即 濟南大學(xué)畢業(yè) 論文 19 ? ? ? ? ? ?1 221 2 1 1 2 2231122 3 2 2 ,1 212xV X x x x x x xx??????? ? ? ????????? 則由 ? ?VX求得 ? ? ? ?? 2212 0V X x x? ? ? ? 為負定。根據(jù)李雅普諾夫定理 1，給定系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的。 線性時變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 設(shè)