【文章內(nèi)容簡介】 以上過程可以看出，欲求出實驗數(shù)據(jù)列重構(gòu)系統(tǒng)的 Lypunov指數(shù)譜，就要求出（ 210）式中的每個雅科比矩陣。而系統(tǒng)雅科比矩陣具有（ 26）式所示形式，所以問題 的關(guān)鍵在于確定每個雅科比矩陣的最后一行矩陣元。下面討論小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型求解該問題。 7 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)起源于小波分解，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是多層前饋式網(wǎng)絡(luò)，由一個輸入層，一個或多個隱含層，一個輸出層組成。每層節(jié)點的輸入只接收來自上層節(jié)點的輸出信號。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層節(jié)點數(shù)和輸出層節(jié)點數(shù)由具體問題決定，隱含層數(shù)及每層節(jié)點數(shù)的選取目前還沒有確切的理論方法，通常是憑對學(xué)習(xí)樣本和測試樣本的誤差交叉評價的試錯法選取。從目前已有的國內(nèi)外資料看，還做不到實際應(yīng)用小波網(wǎng)絡(luò)。有人分析了其原因，認(rèn)為有三：一是小波網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)的 時間較晚，二是小波網(wǎng)絡(luò)需要較高的數(shù)學(xué)知識，三是沒有一個實用的小波網(wǎng)絡(luò)模型的軟件。下面簡要介紹小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)算法。 式（ 34）的連續(xù)形式可寫為： ??? ?? ?? kTk kk xwxf ),()( 1 (218) 上式表明框架 ? 在 )(2 RL 中是稠密的。式中， T 為小波基的個數(shù)。 于是有如下的所有有限和的全體 )(1)( 1kkTk kk abxawxf ?? ?? ? (219) 在 )(2RL 中是稠密的。 比較式（ 218）與式（ 219），顯然式（ 219）中的參數(shù)個數(shù)比式（ 218）多，式（ 218）與式 (219)分別稱為小波分解與小波網(wǎng)絡(luò)。在小波分解中，如果基函數(shù)固定，則只有系數(shù) kw 是可調(diào)參數(shù)，而在小波網(wǎng)絡(luò)中， kw ， ka 和 kb 均為可調(diào)參數(shù)，這使得網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)非線性函數(shù)較為靈活，可以滿足較高的逼近精度要求，這也恰恰體現(xiàn)了小波逼近的精髓。式（ 219）與下式等價 )()( 1 k kTk k a bxwxf ?? ?? ? (220) 對于具有 n 個輸入的多輸入網(wǎng)絡(luò)，式（ 420）變?yōu)椋? ???????????? ?????? kniklkiTkkl abixuwxf 11)()( ? (221) 其對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖 2－ 1所示（考慮到本論文的目的，只畫出了一個輸出值的情況）。 8 圖 2－ 1： 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖 對于輸入輸出為 ),2,1)(,( Nlyx ll ?? 的 N 個樣本對，我們的目的是確定網(wǎng)絡(luò)參 數(shù) kkkki wbau , ，使得 )(xfl 與 ly 兩序列擬 合最 優(yōu)， 其中 參數(shù)kkkki wbau , 可以通過下述誤差能量函數(shù)進行優(yōu)化 2))(( lll yxfE ?? (222) 在本文中，采用人們使用較多的 Morlet母小波，即： ) p () s ()( 2xxx ??? (223) 網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的具體算法如下： （１） 網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的初始化：將網(wǎng)絡(luò)的伸縮因子 ka ，平移因子 kb 以及網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)重 kiu 和 kw 賦予零附近的隨機的初始值； （２） 輸入學(xué)習(xí)樣本 lx 及相應(yīng)的期望輸出 ly ； （３） 利用當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)計算出網(wǎng)絡(luò)的輸出： ???????????? ?????? kniklkiTkkl abixuwxf 11)()( ? (224) 9 （４） 修改網(wǎng)絡(luò)參數(shù)值： 計算 kikkk ubaw ???? , ???????????? ?????????kniklkillklk abixuyxfwEw 1)())(( ? (225) kkllklk awyxfaEa ???????? ?))(( (226) kkllkk bwyxfbEb ???????? ?))(( (227) )())(( 39。 ixxwyxfuEu llkllkilki ???????? ? (228) 其中： )(139。 ixux lni kil ??? (229) 令 kkln a bxt ?? 39。39。 (230) （ 225） ~（ 227）中39。, lkk xba ?????? ???由下面式子確定： 2239。39。239。239。39。 1) xp() i n() xp() os (knnknnnk attattta ?????? ? (231) knnknnnk attatttb 1) xp () i n () xp () os ( 239。39。39。239。39。 ?????? ? (232) knnknnnl attatttx 1) xp() i n() xp() os ( 239。39。39。239。39。39。 ??????? ? (233) 網(wǎng)絡(luò)參數(shù)值修改如下： kkk ???? ? (234) 10 kkk aaa ???? ? (235) kkk bbb ???? ? (236) kikiki uuu ???? ? (237) ? 為學(xué)習(xí)速率，由人為設(shè)定。 （５） 計算誤差和： 2))(( ?? ???l lll l yxfEE (238) （６） 返回第（ 2）步，向網(wǎng)絡(luò)加下一個模式對，直到 N 個模式對均循環(huán)一遍，再進行第（ 7）步； 若 maxEE? （預(yù)先設(shè)定的某值）或達到最大訓(xùn)練步數(shù)，則停止訓(xùn)練；否則，令 0?E ，返回第（ 2）步。 基于 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的 Lyapunov 指數(shù)譜計算方法 本文采用具有 d 個輸入節(jié)點，一個輸出節(jié)點和一個隱含層的三層小波網(wǎng)絡(luò)。對一個一維的時間序列通過重構(gòu)產(chǎn)生訓(xùn)練樣本集合： ),2,1)(,( Njyx jj ?? ，RxyRxxxx dTjjdTdjjjj ???? ? ,2,1, ,),( ?初始化網(wǎng)絡(luò)的伸縮因子 ka ，平移因子 kb 以及網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)重 kiu 和 kw 賦予零附近的隨機的初始值。通過對樣本的學(xué)習(xí)，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實際輸出 y 在一定的精度范圍內(nèi)與理想輸出 dTjx ,? 相同，這樣可以利用此小波網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出關(guān)系 (239) 代表實際的映射關(guān)系式。 若小波網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)訓(xùn)練完成，就可以計算輸出函數(shù)對自變量的一階偏導(dǎo)數(shù)： （ 240） ???????????? ??????? kdikijkiTkkdjjj abxuwxxxy 1,1,2,1, ),( ?? ??)()([ 2,1, ikjikjTk kij ttwx y ????? ??kikikjikjikj auttt ,2,, )]()( ?? 11 其中 (241) 這樣，通過（ 240）式可計算雅科比矩陣（ 246）式中最后一行矩陣元的數(shù)值。按同樣的方法計算所有雅科比矩陣最后一行矩陣元，也就確定了所有的雅科比矩陣，進而可以按式（ 28）～（ 218）計算實驗觀察數(shù)據(jù)所反映系統(tǒng)的 Lyapunov指數(shù)譜。 Lyapunov 指數(shù)實驗計算代碼 function It=Correlation(X,Taomax) I=zeros(Taomax,1)。 L=length(X)。 for t=1:Taomax I(t)=((X(1+t:L)mean(X))39。*(X(1:Lt)mean(X))/(Lt))/((Xmean(X))39。*(Xmean(X))/L)。 end plot(I)。 for i=1:Taomax if I(i)1/ It=i。 break end end function EmbedingDimensional(X,tao,M) % E=zeros(M,1)。 U=E。 L=length(X)。 for m=1:M Y=[]。 kdi kijkiikj abxut ???? 1 , 12 N0=tao*m+1。 for i=1:m+1 Y=[Y X(N0(i1)*tao:L(i1)*tao)]。 end for i=1:length(Y) d0=10000。J=1。 for j=1:length(Y) if j~=i