【正文】 t?? 時(shí)， ? ?,VXt 收斂到原點(diǎn)，便是系統(tǒng)具有大范圍漸近穩(wěn)定的條件。 例 已知給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 1 22 12xxx x x? ???? ?? ?? 通過選取不同的李雅普諾夫函數(shù)分析給定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。圖 ? ? 所示是本題所對(duì)應(yīng)的等 V和典型軌跡。此時(shí)系統(tǒng)在 李亞普諾夫意義下是穩(wěn)定的，但并不是漸近穩(wěn)定的。因此給定系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。所 以，因?yàn)槔钛牌罩Z夫函數(shù)選取得不同，可能得出完全不同的結(jié)論。但矩陣 P 的正定性是必要條件。 tspan = [0 15]。,)。x(1)39。 線性時(shí)變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 ? ? ? ?? ( ) ( ) ,X t A t X t? 其中， X 為該系統(tǒng)的狀態(tài)向量，是 1n? 矩陣； ??At 為系統(tǒng)矩陣，是 nn? 常數(shù)非奇異矩陣，其元素為時(shí)間 t 的函數(shù)。當(dāng)滿足條件? ? 時(shí)，稱矩陣對(duì) ? ?AB能控。 C — 輸出矩陣，是 ln? 常數(shù)矩陣； D — 直接傳遞矩陣，是 lr? 常數(shù)矩陣。 定理 n 階線性定常連續(xù)系統(tǒng) ? X AX BUy CX??? 狀態(tài)完全能觀測(cè)的充要條件是 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 23 ? ?1 1 .2 2 ,nCCAr a n kCA ????????????? 滿足條件 ? ? 時(shí)，則表示矩陣對(duì) ? ?AC能觀測(cè)。 當(dāng)系統(tǒng)的部分狀態(tài)變量不可測(cè)應(yīng)用狀態(tài)反饋受到限制時(shí)可以采用輸出反饋改善系統(tǒng)的 性能。下面介紹基于輸出反饋、狀態(tài)反饋和李雅普諾夫穩(wěn)定定理的幾種鎮(zhèn)定方法。 輸入上述程序代碼后，將文件保存為“ ”，該函數(shù)是微分方程組函數(shù)。,39。,)。,39。1。 hold on。b.39。加入輸出反饋后系統(tǒng)微分方程的解 39。對(duì)于單輸入單輸出情況，輸出反饋只能使極點(diǎn)在根軌跡曲線上變動(dòng)，而不能把它們移到其它位置上去。 對(duì) 于單輸入 — 單輸出系統(tǒng)來(lái)說(shuō)。 輸入上述程序代碼后，將文件保存為“ ”，該函數(shù)是微分方程組函數(shù)。,39。,)。,39。1。 hold on。b.39。加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng) 微分方程的解 39。x(3)39。 hold on。LineWidth39。 tspan = [0 10]。,39。,39。 plot(t,x(:,1),39。所以，通過狀態(tài)反饋可以任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)。也就是說(shuō)鎮(zhèn)定只要求閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)的實(shí)部。 對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，能否和如何用比例反饋方法把極點(diǎn)移置到指定濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 29 的位置，這既是一個(gè)理論問題，同時(shí)也是一個(gè)方法問題。x(3)39。 hold on。LineWidth39。 tspan = [0 20]。,39。,39。 plot(t,x(:,1),39。 設(shè)輸出反饋矩陣為 ? ?12TH h h? ，那么閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為 ? ? 11 12220 0 5 2 0 0 0 5 2 1 0 1 1 2 0 0 1 1 0 2 1 ,0 1 3 0 1 0 1 3hhA BHC h hhh??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 則閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?32 2 1 2 1 3 1 2 2 5 .nf s s I A B H C s h s h h s h? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由勞斯判據(jù)得系統(tǒng)的特征方程都具有負(fù)實(shí)部即能夠鎮(zhèn)定的 1h 及 2h 的取值范圍是 1 2 1 25 2 3 2 1 .h h h h? ? ? ? ? ? ?， ， 如果取 1232hh? ? ? ?， ，那么閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 ? ? 32 2 1,Hf s s s s? ? ? ? 那么其特征根是 120. 57 0. 22 1. 3 .s s j? ? ? ? ?， 所以原系統(tǒng)經(jīng)過輸出反饋 ? ?32TH ? ? ? 能夠鎮(zhèn)定。 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 25 4 鎮(zhèn)定 控制器的設(shè)計(jì) 通過狀態(tài)反饋 (或者輸出反饋 ),使得閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到漸近穩(wěn)定的問題稱為鎮(zhèn)定問題。 具有狀態(tài)反饋與輸出反饋的線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 輸出反饋 方框圖 ? ? ? ? ? ?? ?1 1 . 2 3 1 .2 4G s C s I A BU K y v??? ? ? 閉環(huán)系統(tǒng)為 ? ? ? ?? 5X A B KC X B vy CX?? ? ? ????? 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 24 輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)就是確定 ? 使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，也就是 使得 A BKC? 穩(wěn)定即 Hurwitz 穩(wěn)定或其它性能指標(biāo)。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程分別是 ? ?? ?? 0 1 ,X A X B Uy CX??? 其中 X — 狀態(tài)向量，是 1n? 矩陣； U — 控制作用，是 1r? 矩陣； y — 輸出（被控制）向量，是 1l? 矩陣； A — 系統(tǒng)矩陣，是 nn? 非奇異常數(shù)矩陣； B — 控制矩陣，是 nr? 常數(shù)矩陣。因此研究系統(tǒng)的輸出能控性是十分有必要 的。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性 （ 1）設(shè)單輸入 n 階線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ? ?? ,X AX Bu?? 其中， X — 狀態(tài)向量，是 1n? 矩陣； u — 控制作用，是輸入到系統(tǒng)的標(biāo)量函數(shù)； A — 系統(tǒng)矩陣，是 nn? 非奇異常數(shù)矩陣； B — 控制矩陣，是 1n? 常數(shù)矩陣。同樣，如果按照式 ? ? 選取李雅普諾夫函數(shù) ? ?VX，即 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 19 ? ? ? ? ? ?1 221 2 1 1 2 2231122 3 2 2 ,1 212xV X x x x x x xx??????? ? ? ????????? 則由 ? ?VX求得 ? ? ? ?? 2212 0V X x x? ? ? ? 為負(fù)定。,)。,39。2*x(1)x(2)]。特是選取 QI? ，再由 TA P PA I? ?? 確定矩陣 P 的各個(gè)元素尤其方便，其中 I 是單位矩陣。這表明當(dāng)初始狀態(tài) 0X 超出一定范圍時(shí)系統(tǒng)將不穩(wěn)定。如果選取正定的標(biāo)量函數(shù) ? ? 2212V X x x?? 為李雅普諾夫函數(shù)，則 ? ? ? ?? ? ? 2121 2 1 2 2 1 2 22 2 2 2 2 .V X x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? 由上式可以得出，當(dāng) 1200xx??， 時(shí)有 ? ?? 0VX? ，所以 ? ??VX是正半定。 解 由題意得， 120xx??即原點(diǎn)為給定系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。因此給定系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。 因?yàn)?? ?? ,V Xt 只是負(fù)半定而不是負(fù)定，所以典型軌跡可能和某個(gè)特定的曲面? ?? ,V X t c? 相切，在切點(diǎn)上 ? ?? ,0V X t ? 。曲面簇（ ）是封閉的，它們包圍坐標(biāo)原點(diǎn)并在 c 趨向于零時(shí)， ? ?1 2 3,V x x x c? 收斂于原點(diǎn)。也就是說(shuō) 如果一個(gè)系統(tǒng)被激勵(lì)后，其儲(chǔ)存的能量隨著時(shí)間的推移逐漸衰減，到達(dá)平衡狀態(tài)時(shí)，能量將達(dá)最小值，那么，這個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。 例 2 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 ? ?? 1 0 10 1 110X X uyX? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ????? 試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性。 （ⅲ）若一次近似式的系統(tǒng)狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣 A 包含有等于零的特征值，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性由高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ? ?BX 決定。如果 ? ?VX? 是正半定，濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 8 那么標(biāo)量函數(shù)是負(fù)半定。用? ?VX表示不含 t 的李雅普諾夫函數(shù)。如果線性系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則一定是大范圍漸近穩(wěn)定。 在介紹穩(wěn)定性定義之前首先引入一個(gè)定義歐幾里德范數(shù)，即應(yīng)用范數(shù)表示以平衡狀態(tài) eX 為圓心，半徑是 k 的球域 ,eX X k?? 式中 eXX? 稱為歐幾里德范數(shù)，? ?2 221 1 2 2( ) ( )e e e n e nX X x x x x x x? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)滿足 0eX? 及 2n? 時(shí)，2211X x x c? ? ?即 2 2 212x x c??，其表示狀態(tài)平面上以原點(diǎn)為圓心 c 為半徑的圓；當(dāng)滿足 0eX? 及 3n? 時(shí) 2 2 21 2 3X x x x? ? ?，其表示以狀態(tài)空間原點(diǎn)為球心 c 為半徑的球域。一般用 t 表示時(shí)間。只有滿足一定條件下兩種定義的同一線性系統(tǒng)才具有等價(jià)性。簡(jiǎn)而言之，符合第一類的運(yùn)動(dòng)稱之為穩(wěn)定的；而第二類的運(yùn)動(dòng)則稱之為不穩(wěn)定的。經(jīng)典的例子是太陽(yáng)系的穩(wěn)定性， 旋轉(zhuǎn)流體所構(gòu)成的穩(wěn)定性等。 研究方法與手段 熟悉畢業(yè)論文的要求和內(nèi)容，采用文獻(xiàn)研究法，根 據(jù)一定的研究目的通過調(diào)查文獻(xiàn)獲得資料從而全面地、正確地了解掌握所要研究的問題，進(jìn)行畢業(yè)論文總體框架的構(gòu)思。 現(xiàn)代控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，大都存在非線性或時(shí)變因素，即使是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身，往往也需要根據(jù)性能指標(biāo)的要求而加以改變才能適應(yīng)新的情況，保證系統(tǒng)的正常獲最佳運(yùn)行狀態(tài)。1967 年， 方法。 由初步的理解開始到真正形成穩(wěn)定性理論其間經(jīng)歷了近一千五百年。最后，我們結(jié)合具體的實(shí)例，建立系統(tǒng)的模型 ,通過 Matlab 仿真 驗(yàn)證了上述理論。 stabilization。不少學(xué)者遵循李雅普諾夫所開辟的研究路線對(duì)第二方法作了一些新的發(fā)展。此時(shí)，李雅普諾夫函數(shù)被推廣為向量形式，稱為向量李雅普諾夫函數(shù)。李雅普諾夫第二方法的局限性，是運(yùn)用時(shí)需要有相當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn)和技巧，而且所給出的結(jié)論只是系統(tǒng)為穩(wěn)定或不穩(wěn)定的充分條件；但在 用其他方法無(wú)效時(shí)，這種方法還能解決一些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。應(yīng)用數(shù)學(xué)模擬法結(jié)合具體的工業(yè)過程建立系統(tǒng)的模型，并進(jìn)行 Lyapunov 穩(wěn)定性研究和控制器設(shè)計(jì)， Matlab 仿真驗(yàn)證研究結(jié)果。 李雅普諾夫意義下的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論研究的是干擾性因素對(duì)物質(zhì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。所以，對(duì)于自動(dòng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究，一直是控制理論研究的重要課題。而對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，上面所提及的各種穩(wěn)定判據(jù)就不能直接應(yīng)用，在這種情況下李雅普諾夫第二法，又稱李雅普諾夫直接法，則是確定線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性更為一般的方法。 由（ ）給出的系統(tǒng)，對(duì)于所有的 t ，如果總存在 ? ? ? ?? , 0 1 .2eXt ? ， 那么 eX 則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。 定義中 ? 與 ? 、 0t 有關(guān)，當(dāng) ? 與 0t 無(wú)關(guān)時(shí)平衡狀態(tài) eX 稱為一致穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。為了解決這一問題，李雅普諾夫引入了一個(gè)虛構(gòu)的能量函數(shù)，稱為李雅普諾夫函數(shù)。對(duì)于非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō) ? ?VX不一定都是這種簡(jiǎn)單形式。對(duì)于線性定常系統(tǒng)只要解出特征方程的根就可以判斷出系統(tǒng)的穩(wěn)定性；而非線性不嚴(yán)重的系統(tǒng)可以先進(jìn)行線性化處理，得到與之相似的線性化方程，進(jìn)而再根據(jù)其特征根來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。運(yùn)用此法可以在不求出狀態(tài)方程解的條件下，直接確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 (2)由系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ? ? ? ? ? ?11 1 0 1 11( ) ( ) 1 0 ,0 1 1 1 1 1s sW s C sI A B s s s s?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 可見傳遞函數(shù)的極點(diǎn) 1s?? 位于 s 的左半平面，故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。在李雅普諾夫第二法中，根據(jù)李雅普諾夫函數(shù) ? ?,VXt 和對(duì)時(shí)間 t 的導(dǎo)數(shù) ? ? ? ?, dV X tV X t dt? 的符號(hào)特征判斷平衡狀態(tài)的穩(wěn)定濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 11 性，不需要求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 例 已知給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 ?1 2?2 12xxx x x? ???? ?? ?? 應(yīng)用李雅普諾夫第二法分析上述系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解 已知給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)是狀態(tài)平面原點(diǎn) 0X? 。從圖中可以看出，在點(diǎn) A 處