【導(dǎo)讀】用李雅普諾夫第二法分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，引出了鎮(zhèn)定的概念，并基于李雅。普諾夫第二法，通過(guò)輸出反饋、狀態(tài)反饋進(jìn)行了鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計(jì)。具體的實(shí)例，建立系統(tǒng)的模型,通過(guò)Matlab仿真驗(yàn)證了上述理論。2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論基礎(chǔ)......……李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義……………李雅普諾夫函數(shù)和標(biāo)量函數(shù)定號(hào)性………線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性…兩種控制率的比較………………………

　　

【正文】 ? ? ? ? ? ? ? ?32 2 1 2 1 3 1 2 2 5 .nf s s I A B H C s h s h h s h? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由勞斯判據(jù)得系統(tǒng)的特征方程都具有負(fù)實(shí)部即能夠鎮(zhèn)定的 1h 及 2h 的取值范圍是 1 2 1 25 2 3 2 1 .h h h h? ? ? ? ? ? ?， ， 如果取 1232hh? ? ? ?， ，那么閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 ? ? 32 2 1,Hf s s s s? ? ? ? 那么其特征根是 120. 57 0. 22 1. 3 .s s j? ? ? ? ?， 所以原系統(tǒng)經(jīng)過(guò)輸出反饋 ? ?32TH ? ? ? 能夠鎮(zhèn)定。 例 Matlab 仿真程序如下： function dxdt = exam1(t,x) dxdt = [ 5*x(3)2 x(1)x(3)1 x(2)3*x(3)+1 ]。 輸入上述程序代碼后，將文件保存為“ ”，該函數(shù)是微分方程組函數(shù)。 tspan = [0 5]。 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 27 x0 = [0。1。5]。 [t,x] = ode45(@exam1,tspan,x0)。 plot(t,x(:,1),39。r39。,39。LineWidth39。,)。 hold on。 plot(t,x(:,2),39。g.39。,39。LineWidth39。,)。 hold on。 plot(t,x(:,3),39。b.39。) axis([0 5 50 50]) legend(39。x(1)39。,39。x(2)39。,39。x(3)39。) grid on title(39。給定系統(tǒng)微分方程的解 39。) 圖 給定 系統(tǒng)微分方程的解 function dxdt = exam1(t,x) dxdt = [ x(3) x(1)2*x(3) x(2)x(3) ]。 輸入上述程序代碼后，將文件保存為“ ”，該函數(shù)是微分方程組函數(shù)。 tspan = [0 20]。 x0 = [0。1。5]。 [t,x] = ode45(@exam1,tspan,x0)。 plot(t,x(:,1),39。r39。,39。LineWidth39。,)。 hold on。 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 28 plot(t,x(:,2),39。g.39。,39。LineWidth39。,)。 hold on。 plot(t,x(:,3),39。b.39。) axis([0 20 6 6]) legend(39。x(1)39。,39。x(2)39。,39。x(3)39。) grid on title(39。加入輸出反饋后系統(tǒng)微分方程的解 39。) 圖 加入輸出反饋后系統(tǒng)微分方程的解 通過(guò)原給定系統(tǒng)的微分方程的解如圖 與輸出反饋后系統(tǒng)的微分方程的解如圖 的對(duì)比，我們可以看出系 統(tǒng)由最初的發(fā)散到穩(wěn)定。所以，例 1中加入輸出反饋 ? ?32TH ? ? ? 達(dá)到了使系統(tǒng)鎮(zhèn)定的目的。 線性系統(tǒng) 狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能的品質(zhì)指標(biāo)，在很大程度上是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位置所決定的。因此在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，為了有效地改善系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)可以設(shè)法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于 s 平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質(zhì)指標(biāo)的極點(diǎn)位置上。這樣的方法稱為極點(diǎn)配 置。 對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，能否和如何用比例反饋方法把極點(diǎn)移置到指定濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 29 的位置，這既是一個(gè)理論問(wèn)題，同時(shí)也是一個(gè)方法問(wèn)題。傳統(tǒng)的輸出反饋方法雖然也能改變系統(tǒng)極點(diǎn)的位置來(lái)改善性能指標(biāo)，但是有很大的局限性。對(duì)于單輸入單輸出情況，輸出反饋只能使極點(diǎn)在根軌跡曲線上變動(dòng)，而不能把它們移到其它位置上去。采用狀態(tài)反饋方法可以實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置。極點(diǎn)配置的實(shí)質(zhì)是用比例反饋去改變?cè)到y(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)模式，以滿足設(shè)計(jì)規(guī)定的性能要求。本節(jié)所討論的極點(diǎn)配置問(wèn)題是如何通過(guò)狀態(tài)反饋矩陣 F的選擇， 使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好處于預(yù)先選擇的一組期望極點(diǎn)上 [18]。 可以通過(guò)極點(diǎn)配置實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。鎮(zhèn)定要求閉環(huán)極點(diǎn)配置在復(fù)平面的左半平面內(nèi)，不需要配置在具體的指定位置。也就是說(shuō)鎮(zhèn)定只要求閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)的實(shí)部。 對(duì)于線性定常系統(tǒng) ? ?? 1 . 3 1 ,X A X B Uy C X?? ??? ??? 通過(guò)狀態(tài)反饋，可以使反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 ? ?A BF? 的特征值，也就是反饋系統(tǒng) ? ? ? ?? 2X A B F X B vy CX?? ? ? ????? 的極點(diǎn)得到任意配置，從而使系統(tǒng)達(dá)到設(shè)計(jì)要求的性能。 對(duì) 于單輸入 — 單輸出系統(tǒng)來(lái)說(shuō)。設(shè)其狀態(tài)完全能控，則經(jīng)過(guò)線性非奇異變換便可以將系統(tǒng)矩陣和控制矩陣轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型，即 1 2 10 1 0 0 00 0 1 0 0,0 0 0 1 01n n nABa a a a?? ???? ???????????? ????? ? ? ? ????， 并且設(shè)輸出矩陣為 ? ?0 1 2 1 ,nC c c c c? 式中， ? ?1 1, 2a i n? ， ， 和 ? ?0,1 1ic i n? ， ， 分別是矩陣 A 和 C 的元素，且都是常數(shù)。在這種情況下，系統(tǒng) ? ? 的傳遞函數(shù) ? ? ? ? ? ? 1/Y s U s C sI A B???可以寫成 ? ?? ? ? ?1 1 1 011 1 1 .3 3 .nnnnnnYs c s c s cU s s a s a s a? ? ?? ? ? ? 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 30 設(shè)狀態(tài)反饋矩陣 F 是 ? ?1 2 3 ,nF f f f f? 那么反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣是 1 1 2 2 3 10 1 0 00 0 1 0,0 0 0 1n n n nA B Fa f a f a f a f??????? ? ? ? ? ? ? ??? 則根據(jù)式 ? ? 由上述系統(tǒng)矩陣 ? ?A BF? ，控制矩陣 B 和輸出矩陣 C 可以得到反饋矩陣的傳遞函數(shù)是 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 011 1 2 1 1 .3 4 .nnnnn n nYs c s c s cR s s a f s a f s a f? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 由上式 ? ? 可以看出，通過(guò)對(duì)狀態(tài)反饋矩陣 F 各元素 1, 2 nf f f， ， ， 的選擇，可以使系統(tǒng)的極點(diǎn)按照要求的性能指標(biāo)得到任意配置。 對(duì)于單輸入系統(tǒng) ?X AX BU?? 0 1 2 10 1 0 0 00 0 1 0 0 ,0 0 0 1 01nABa a a a ??? ???? ???????????? ????? ? ? ? ???? 設(shè)計(jì) ? ?1 2 3 nK k k k k? 改變 ABK? 的最后一行元素，可以任意配置ABK? 的特征值； 設(shè)期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為 ? ? 11 1 00 1 2 10 1 0 00 0 1 0,0 0 0 1nnnns s a s a s aA B Ka a a a? ? ? ? ???? ? ? ? ?????????? ? ? ??? 則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 31 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 2 0 1d e t ,nnnns s I A B K s a k s a k s a k? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令其與希望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式相等， 11i i ik a a?????，則 0 0 1 1 1 1 .nnK a a a a a a? ? ? ????? ? ? ??? 例 已知線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ? ?? ? ? ?? ?1 ,12YsU s s s s? ?? 試確定反饋矩陣 F ，要求將系統(tǒng)極點(diǎn)配置在 1221s s j? ? ? ? ?， 和 3 1sj?? ? 位置上。 解 根據(jù)給定的傳遞函數(shù)寫出給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ?11?22?330 1 0 00 0 1 0 ,0 2 3 1x xx x uxx???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? 其中選狀態(tài)變量 ? ? ? ??1 2 1 3 2x y x x y x x y? ? ? ? ?， 。由題意得，系統(tǒng)矩陣及控制矩陣具有能控標(biāo)準(zhǔn)型，則給定系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控。所以，通過(guò)狀態(tài)反饋可以任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)。 因?yàn)闋顟B(tài)向量總共有三個(gè)，即 1 2 3x x x， ， ，所以設(shè)待定的反饋矩陣 F 是 ? ?1 2 3F f f f? ， 根據(jù)已知的系統(tǒng)矩陣 A ，控制矩陣 B 和待定的狀態(tài)反饋矩陣 F 得出反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為 ? ?? ?1 2 31 2 30 1 00 0 1 ,2310 0 1 023A B Ff f fssI A B F sf f s f??????? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? 得出具有狀態(tài)反饋的系統(tǒng)的特征方程為 ? ? ? ? ? ?32 3 2 13 2 0 1 . 3 5 .s f s f s f? ? ? ? ? ? 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 32 由指定的極點(diǎn) 1221s s j? ? ? ? ?， 和 3 1sj?? ? 所確定的系統(tǒng)特征方程式是 ? ? ? ? ? ? 322 1 1 4 6 4 0 .s s j s j s s s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若要通過(guò)狀態(tài)反饋矩陣 F 將給定系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到指定的位置，那么在式 ? ?和上式中變量 s 同次冪的系數(shù)應(yīng)該是相等的，即 32134264fff????? 由此求出反饋矩陣 F 的元素為 123441fff??? 以及狀態(tài)反饋矩陣 ? ?4 4 1 .F ? 例 Matlab 仿真程序如下： function dxdt = exam2(t,x) dxdt = [ x(2) x(3) 2*x(2)3*x(3)+1 ]。 輸入上述程序代碼后，將文件保存為“ ”，該函數(shù)是微分方程組函數(shù)。 tspan = [0 30]。 x0 = [0。1。5]。 [t,x] = ode45(@exam2,tspan,x0)。 plot(t,x(:,1),39。r39。,39。LineWidth39。,)。 hold on。 plot(t,x(:,2),39。g.39。,39。LineWidth39。,)。 hold on。 plot(t,x(:,3),39。b.39。) axis([0 30 20 20]) legend(39。x(1)39。,39。x(2)39。,39。x(3)39。) grid on title(39。給定系統(tǒng)微分方程的解 39。) 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 33 圖 給定系統(tǒng)微分方程的解 function dxdt = exam2(t,x) dxdt = [ x(2) x(3) 4*x(1)6*x(2)4*x(3) ]。 輸入上述程序代碼后，將文件保存為“ ”，該函數(shù) 是微分方程組函數(shù)。 tspan = [0 10]。 x0 = [0。1。5]。 [t,x] = ode45(@exam2,tspan,x0)。 plot(t,x(:,1),39。r39。,39。LineWidth39。,)。 hold on。 plot(t,x(:,2),39。g.39。,39。LineWidth39。,)。 hold on。 plot(t,x(:,3),39。b.39。) axis([0 10 5 5]) legend(39。x(1)39。,39。x(2)39。,39。x(3)39。) grid on title(39。加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng) 微分方程的解 39。) 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 34 圖 加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)微分方程的解 通過(guò)原給定系統(tǒng)的微分方程的解如圖 與狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的微分方程的解如圖 的對(duì)比，我們可以看出系統(tǒng)由最初的發(fā)散到穩(wěn)定。所以，例 2 中加入狀態(tài)反饋 ? ?4 4 1F ? 達(dá)到了使系統(tǒng)鎮(zhèn)定的目的。 對(duì)于多輸入