線性代數(shù)知識點總結(jié)匯總(編輯修改稿)
2025-05-09 02:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 維無關(guān) （ 3）正交的非零向量組線性無關(guān) （ 4）不同特征值的特征向量無關(guān) 1線性相關(guān)、線性無關(guān)判定 （ 1）定義法 ★（ 2）秩：若小于階數(shù)，線性相關(guān)；若等于階數(shù)，線性無關(guān) 【專業(yè)知識補充】 （ 1）在矩陣左邊乘列滿秩矩陣（秩 =列數(shù)），矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。 （ 2）若 n維列向量α 1，α 2，α 3 線性無關(guān)，β 1，β 2，β 3 可以由其線性表示，即（β 1，β 2，β 3） =（α 1，α 2，α 3） C，則 r（β 1，β 2，β 3） =r（ C），從而線性無關(guān)。 ←→ r（β 1，β 2，β 3） =3 ←→ r（ C） =3 ←→ |C|≠ 0 （四）極大線性無關(guān)組與向量組的秩 1極大線性無關(guān)組不唯一 1向量組的秩 :極大無關(guān)組中向量的個數(shù)成為向量組的秩 對比：矩陣的秩 :非零子式的最高階數(shù) ★注 :向量組α 1，α 2，…，α s 的秩與矩陣 A=（α 1，α 2，…，α s）的秩相等 ★ 1極大線性無關(guān)組的求法 （ 1）α 1，α 2，…，α s 為抽象的：定義法 （ 2）α 1，α 2，…，α s 為數(shù)字的： （α 1，α 2，…，α s）→初等行變換→階梯型矩陣 則每行第一個非零的數(shù)對應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無關(guān)組 （五）向量空間 1基（就是極大線性無關(guān)組）變換公式： 若α 1，α 2，…，α n 與β 1，β 2，…，β n 是 n 維向量空間 V 的兩組基，則基變換公式為（β 1，β 2，…，β n） =（α 1，α 2，…，α n） Cn n 其中， C 是從基α 1，α 2，…，α n 到β 1，β 2，…，β n 的過渡矩陣。 C=（α 1，α 2，…，α n） 1（β 1，β 2，…，β n） 1坐標變換公式： 向量γ在基α 1，α 2，…，α n與基β 1，β 2，…，β n 的坐標分別為 x=（ x1， x2，…， xn） T， y=（ y1， y2，…， yn） T，即γ =x1α 1 + x2α 2 + … +xnα n =y1β 1 + y2β 2 + … +ynβ n，則坐標變換公式為 x=Cy或 y=C1x。其中， C是從基α 1，α 2，…，α n 到β 1，β 2，…，β n 的過渡矩陣。 C=（α 1，α 2，…，α n） 1（β 1，β 2，…，β n） （六） Schmidt正交化 1 Schmidt正交化 設(shè)α 1，α 2，α 3 線性無關(guān) （ 1）正交化 令β 1=α 1 （ 2）單位化 4 線性方程組 （一）方程組的表達形與解向量 解的形式： (1)一般形式 (2)矩陣形式： Ax=b； (3)向量形式： A=（α 1，α 2，…，α n） 解的定義： 若η =（ c1， c2，…， ） T 滿足方程組 Ax=b，即 Aη =b，稱η是Ax=b 的一個解（向量） （二）解的判定與性質(zhì) 齊次方程組： （ 1）只有零解←→ r（ A） =n（ n 為 A的列數(shù)或是未知數(shù) x的個數(shù)） （ 2）有非零解←→ r（ A）＜ n 非齊次方程組： （ 1）無解←→ r（ A）＜ r（ A|b）←→ r（ A） =r（ A） 1 （ 2）唯一解←→ r（ A） =r（ A|b） =n （ 3）無窮多解←→ r（ A） =r（ A|b）＜ n 解的性質(zhì)： （ 1）若ξ 1，ξ 2是 Ax=0的解，則 k1ξ 1+k2ξ 2是 Ax=0的解 （ 2）若ξ是 Ax=0的解，η是 Ax=b 的解，則ξ +η是 Ax=b的解 （ 3）若η 1，η 2是 Ax=b的解，則η 1η 2是 Ax=0的解 【推廣】 （ 1）設(shè)η 1，η 2，…，η s是 Ax=b 的解，則 k1η 1+k2η 2+… +ksη s 為 Ax=b的解 （當Σ ki=1） Ax=0的解 （當Σ ki=0） （ 2）設(shè)η 1，η 2，…，η s 是 Ax=b 的 s 個線性無關(guān) 的解，則η2η 1，η 3η 1，…，η sη 1為 Ax=0的 s1個線性無關(guān)的解。 變式：①η 1η 2，η 3η 2，…，η sη 2 ②η 2η 1，η 3η 2，…，η sη s1 （三）基礎(chǔ)解系 基礎(chǔ)解系定義：
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