【文章內(nèi)容簡介】 果 期望值是 棣莫弗 用公式得到了當 p=1/2 時 這是 狄莫弗 由賭博問題計算出來的式子 ， 在 概率論應用及統(tǒng)計學中 有著非常崇高的地位。從這開始，在 拉普拉斯 等其他學者的共同發(fā)展下， 中心極限定理 最終形成，稱為 狄莫弗拉普拉斯中心極限定理 :[3] 設隨機變量 X_n 服從參數(shù)為 p 的二項分布，則對任意的 x, 恒有 狄莫弗 在二項分布的 推算 中 只看到 正態(tài)曲線的 外貌 ， 他未能真正看到這條曲線的迷人之處，他的研究也到此為止了。 2． 3 為何當時正態(tài)分布未能 有 大發(fā)展 從現(xiàn)代的眼光來看 狄莫弗 對 正態(tài)分布的出現(xiàn)有著歷史性的作用，他為正態(tài)分布的出現(xiàn)埋下了一顆希望的種子 ，可在當時狄莫弗所做的研究沒有引起很多人的的重視，正態(tài)分布還處在一個萌芽狀態(tài)， 根本 談不上有什么應用。 我覺得還有 以 下原因： 首先，在那時人們隨意概率論有著偏見，認為概率論的來源是賭博，人們反對 將他歸入東?？茖W技術學院畢業(yè)論文 5 到科學領域，束縛的他的發(fā)展，那時的大數(shù)法則被推上的很高的位置，人們都無法挑戰(zhàn)鐵律。 其次，一個理論的發(fā)展需要現(xiàn)實的需要，而當時統(tǒng)計學的作用中用于人口的統(tǒng)計，非常有局限性，那時統(tǒng)計學中的二項分布運用的比較多，二正態(tài)分布由于不被社會所需要所以他的成長還需要一些過程。再次，當時除了狄莫弗，當時的數(shù)學家對于概率論的研究都不是非常的感興趣，他所得到幫助非常少。 最后是歷史原因，在書寫概率論的發(fā)展史中狄莫弗 二項式正態(tài)逼近被遺漏了，他對概率論所做的貢獻在很長一段時間內(nèi)被遺忘了，知道 拉普拉斯和高斯等人的出現(xiàn)，對正態(tài) 曲線有進一步的發(fā)展，人們才認識到狄莫弗的貢獻 。 東?？茖W技術學院畢業(yè)論文 6 人們對事物的檢測，無可避免或多或少總會出現(xiàn)一些誤差，不管是檢測哪方面的，人們很早就知道了這一點，不過對檢測結果的不確定性，人們總是不清楚，看法始終不能一致。到了 18 世紀，數(shù)學 有了一個變化，人們研究數(shù)學是為了解決生活中的問題 。 人們對概率論有了新的認識，概率論在日常生活中的應用也越來越多了，推動了誤差問題的前進。 天文學的迅速發(fā)展，許多天文學家在研究天文問題時都涉及到天文數(shù)據(jù)的測量計算，這些為正態(tài)分布的發(fā)展提供 了溫床。 3． 1 天文中的誤差 天文學從古代至 18世紀一直是應用數(shù)學中最發(fā)達的領域，觀測和數(shù)學天文學，給出了建模及數(shù)據(jù)擬合的最初例子。正態(tài)分布的新生則是其中非常經(jīng)典的例子。人們對天文問題的研究促使天文學家非常關心在數(shù)值分析是算術平均是否合理，并開始從誤差的角度來進行分析。測量誤差，一個無法避免的問題，在天文的一些數(shù)據(jù)測量中，不同的測量機構，不同測量機器，不同的測量人員等等都難免會有差異，所以測量結果頁肯定會有差異，當去平均時可是受到的干擾最小，結果更接近真實值，測量值有誤差，但基本都在真實值附近。 [4] 在 進行對天體觀測數(shù)據(jù)的計算過程中發(fā)現(xiàn)了許多正態(tài)分布的特征，認為在觀測中引起的誤差與在計算中引起的誤差是不一樣的，小的觀測值變化同意可以是距離值有很大的變化。偉大的天文學家伽利略是第一個在作品中提出觀測誤差這個概念的，由于那時的概率論的知識有限，沒能很好的解決這個問題。后來辛普森對誤差問題的研究也并沒有取得很多的進展。 3． 2 誤差論的形成 卡爾弗里德里希高斯 ， 德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家、大地測量學家 ， 與牛頓、阿基米德 被 稱為 為 歷史上最偉大三個 數(shù)學家，是近代數(shù)學奠基者之一 。 在他 18 歲的發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定 理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數(shù)據(jù)的處理后，可以得到一個新的、概率性質(zhì)的測量結果。在這些基礎之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計算，并成功得到高斯鐘形曲線 ， 正態(tài)誤差理論 正式被提出 ， 在 70 年后 狄莫弗 推導出來的式子進入了概率的家庭中 。 這一 函數(shù)被命名為標準正態(tài)分布 ， 在概率計算中 被 大量使用 。 東海科學技術學院畢業(yè)論文 7 3． 2． 1 拉普拉斯的概率論 拉普拉斯 (1749－ 1827)是法國、數(shù)學家、分析學家、概率論學家和物理學家，法國科學院院士。 1749 年生于法國 , 1816 年被選為法蘭西學院院士， 1817 年任該院院長。他是天體力學的主要創(chuàng)作人 ，天體演化學的創(chuàng)立者之一，在概率論的發(fā)展史中，拉普拉斯是古典概率論的第一人，所以說在數(shù)學界他是當時的先鋒人。在他 1812 年發(fā)表了代表作《概率分析理論》，在書中總結了當時整個概率論的研究，介紹了概率論在當時的應用。書中包含了他畢生對概率論的研究成果，他用數(shù)學中的各種工具來對概率論進行分析，對概率論的發(fā)展有著舉足輕重的作用。他非常喜歡用歸納和類比的研究方法，是一位分析學大師。在概率論史上，拉普拉斯被認為是古典概率論的集大成者，他運用許多的分析方法，把概率論的基本理論統(tǒng)統(tǒng)做了系統(tǒng)性整理， 把概率論變成了一門系統(tǒng)的學 科，為概率論的發(fā)展做出了偉大的貢獻。他繼承 17 世紀伯努利對概率論的成果，把概率論應用到當天文地理、人口統(tǒng)計、賭博輸贏、人壽保險、法庭判決等各個領域中去。 [5] 3． 2． 2 高斯分布 在數(shù)學界我們把高斯稱為“數(shù)學王子 ，高斯一生的研究涉及到很多的領域甚至他開創(chuàng)了許多新的領域。在他的觀念中，他寧愿少的發(fā)表文章，他要讓他所發(fā)表的東西是非常完整的。高斯受拉普拉斯的影響非常深，他的概率論研究資料并沒有出版成冊，而是在他大量的論文中。我們都知道高斯的一生很長一部分他的職務是任格丁根天文臺臺長，所有對天文學的研究從未間斷 ，前面提到了天文學的誤差論，高斯對此很感興趣做了大量的研究， 1809 年，高斯發(fā)表了數(shù)學和天體力學專著《繞日天體運動的理論》其中涉及的誤差分布的問題，他推導出來了正態(tài)分布的表達式 21( ) e x p22xfx???????? ?? 測量的誤差是有許多原因形成的，但每個原因的影響都不是十分巨大，按照中心極限定理，他的分布近似于正態(tài)是無法阻擋。拉普拉斯沒有把這個成果用到誤差分布上，而高斯做到了， 高斯 創(chuàng)造性把 正態(tài)分布 和 中心極限定理 聯(lián)系在了一起 ， 演化出了新的 中心極限定理，其中就包含 正態(tài)分布。 緊接著高斯提出了 元誤差學說 ， 既誤差 并不是僅由一種原因形成的，而是由許許多多的元誤差組成最后產(chǎn)生的誤差。 這 理論 對于給正態(tài)誤差論一個 非常合理 、 非東海科學技術學院畢業(yè)論文 8 常令人相信的解釋有巨大的 意義。因為，高斯 從算術平均的 優(yōu)良 性出發(fā) 的，推 導出誤差肯定服從正態(tài)分布；反之 ， 又 由 誤差服從正態(tài)分布得出 算術平均 和 最小二乘估計的優(yōu)良性 。 [6] 1809 年，高斯 發(fā)表了 誤差正態(tài)分布 完整理論系統(tǒng) ， 后來他又發(fā)表了 最小二乘法 ， 中心極限定理 的公式及其理論 ， 在 整個概率論的發(fā)展有著舉足輕重的作用，由于這個原因，正態(tài)分布又稱高斯分布， 可見數(shù)學家 高斯 對整個數(shù)學界的地位 ，在高斯的所有 成就中，正態(tài)分布歲整個社會影響最大，這也體現(xiàn)了正態(tài)分布在概率論中的無法撼動的地位 。 3． 3 基本誤差假設 高斯推演出了正態(tài)概率密度函數(shù)，他的目的就是能讓算術平均值能夠作為真值的自然估計。 1810 年，拉普拉斯在 他日常對統(tǒng)計數(shù)值的計算分析時 ，得到了一樣的密度函數(shù)，這是對高斯函數(shù)的一次證明。當然新的理論還需要更多的被證明，而一些經(jīng)驗性的得出誤差分布符合正態(tài)分布在數(shù)學上顯然是站不住腳的。貝塞爾在 1838 年非常完整的提出來了基本誤差的一般性假設，中心極限定理 有了另一只新的證明方式 。他的 這么做的原因就是我們雖檢測到的誤差 出現(xiàn)的原因 。 原因有 ： 整體的誤差是由一些相互獨立的 相同量階 他們的聯(lián)合形成的 ， 如果用 算術平均假設 和 最小二乘法 計算這個概率結果是一樣的。 [7]貝塞爾 提出的 基本誤差 假設 是關于有限矩的對稱分布的隨機變量， 由此得出的 有限矩的對稱分布 的和的分布的漸近展開。 同時他認為 ，只要基本誤差互相獨立 的 ， 所有的基本誤差的方差對 誤差和的方差 有著 支配作用， 那么此時我們就認為 正態(tài)分布 就是 實際誤差的分布 ，誤差非常小可以忽略不計。[8] 誤差論的形成發(fā)展在當時并沒有得到重視，對統(tǒng)計學的發(fā)展也沒用體現(xiàn)出應有的作用，高斯的誤差理論也一直沒有應用 到 其他的方向，由于他產(chǎn)生于天文也一直用于天文，初具雛形的 正態(tài)分布 也始終沒有在統(tǒng)計學中沒有得到承認 。其原因就是在那時誤差論和統(tǒng)計學就是兩個完全沒有關系的領域，誤差論主要是對觀測數(shù)據(jù)的分析計算，所用的知識都是高等數(shù)學方面的；而統(tǒng)計學只是對所得到的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計。 東?？茖W技術學院畢業(yè)論文 9 近代統(tǒng)計學，是指 18世紀中末葉至 19世紀中末葉中統(tǒng)計學，是古典統(tǒng)計學到現(xiàn)代統(tǒng)計學的過中間過程。在古典統(tǒng)計時期的概率論發(fā)展史非常孤單的，與統(tǒng)計學的交流也非常少，概率論與統(tǒng)計學的水乳交融沒有真正的實現(xiàn)。 到了近代統(tǒng)計時代，拉 普拉斯帶帶來了許多新鮮的事物。拉普拉