第五節(jié)初等函數(shù)展開為冪級數(shù)(編輯修改稿)
2025-10-07 08:38 本頁面
【文章內容簡介】 ??nx n例 2 將 f(x)=sin x在 x=0處展開為泰勒級數(shù) . 解 ,2πs i nco s)( ?????? ???? xxxf故 ?,1)0(,0)0(,1)0(,0)0( ??????????? ffff故麥克勞林級數(shù) !71!51!31 753 ????? xxxx,2,1,2πs i n)()( ???????? ?? nxnxf n其收斂區(qū)間為 ， ),( ????,)!1( ||)!1(π2 )1(s i n|)(|11?????????? ??? ??nxnxnxR nnn ? 位于 0與 x之間 . ?由于 為收斂級數(shù)，其通項的極限為零， ?????01)!1(||nnnx或寫為 ).( !71!51!31s i n 753 ??????????? xxxxxx ?按上述方法將 f(x)展開為冪級數(shù)，稱為 直接法 . 0)(lim ??? xR nn),( )!12( )1(s i n 120????????? ???? xxnx nnn因此 ，故有 二、展開的唯一性與間接展開法 設 f(x)在 的某對稱區(qū)間 內可以展開成 的冪級數(shù) ),( 00 xRxR ???0x)( 0xx ?( * ) )( )()()(0202020，?? ?????????nn xxaxxaxxaaxf以 代入 兩端，有 ( * ) 0x,)( 00 axf ?可將它寫為 ).( 0)0(0 xfa ?).( 01 xfa ??即 將 (*)兩端對 x求二階導數(shù)，然后再以 代入其兩端，有 0xx?,2)( 20 axf ???即 ).(!21 02 xfa ??依次下去可得 ).(!1 0)( xfna nn ?這樣就證明了下述定理： 將 (*)兩端對 x求導數(shù) ,然后再以 代入其兩端 ,有 ,)( 10 axf ??0xx?定理 (唯一性定理 ) 設 f(x)在某區(qū)間內可以展開為 的冪級數(shù) ,)()(00?????nnn xxaxf)( 0xx ?其系數(shù)必定為泰勒系數(shù) ).,2,1,0( )(!1 0)( ??? nxfna nn 所謂 間接展開法 ，就是利用已知的冪級數(shù)展開 式，利用冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的運算性質，例如兩 個冪級數(shù)可逐項加、減，逐項求導，逐項積分等，將 所給函數(shù)展開為泰勒級數(shù) . 常用的展開式有 ),11( 11 1 2 ?????????? xxxxx n ??),( !2!1e2???????????? xnxxxnx??).( )!12()1(!5!3s i n1253???????????????xnxxxxxnn ?? 欲將 f(x)展開為冪級數(shù)，首先與上述標準展開式 對照，如果 f(x)的形式與標準形式相近，則可以利用標 準展開式與冪級數(shù)性質將其展開 . 例 3 設 . )0( 1)( ??? aaxxf
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