基于matlab的數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)(編輯修改稿)
2024-10-06 18:09 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 值， 按公式 14 )2()2(4)(11111????????mkmkmmmhThThT 逐個(gè)求出如表的第 k 行其余 各元素 Tj(kj)(j=1,2,… ,k). ?若 )0(1)0( ?? kk TT? (預(yù)先給定的精度 )，則終止計(jì)算，并取 Tk(0)≈ I,否則令 k+1→ k 轉(zhuǎn)?繼續(xù)計(jì)算。 Romberg 算法的計(jì)算過(guò)程列出如下表： k h(步長(zhǎng) ) T0(k) T1(k) T2(k) T3(k) 0 h T0(0)① 1 h/2 T0(1)② T1(0)③ 2 h/22 T0(2)④ T1(1)⑤ T2(0)⑥ 3 h/23 T0(3)⑦ T1(2)⑧ T2(1)⑨ T3(0)⑩ … … … … … … 表中① ~⑩表示計(jì)算順序， k 表示二分次數(shù)。 程序框圖： 編寫 Matlab 程序 : function Romberg(p,k) M=1。 a=0。 b=2*pi。 h=ba。 err=1。 i=0。 R=zeros(4,4)。 R(1,1)=h*(feval(39。f39。,p,a)+feval(39。f39。,p,b))/2。 while (erramp。ik)|i4 i=i+1。 h=h/2。 s=0。 for n=1:M x=a+h*(2*n1)。 s=s+feval(39。f39。,p,x)。 end R(i+1,1)=R(i,1)/2+h*s。 M=2*M。 for j=1:i 構(gòu)造 4 階零矩陣 D 第一列元素 R(J,1)存放二分 J 次后的梯形值 利用公式依據(jù) T 表順序求每行其余元素 R(J,K)，保存在一個(gè)特別的下三角矩陣中 當(dāng) |R(J,J)R(J+1,J+1)|ε 時(shí)，程序在第 J+1 行結(jié)束 R(i+1,j+1)=R(i+1,j)+(R(i+1,j)R(i,j))/(4^j1)。 end err=abs(R(i,i)R(i+1,i+1))。 end S=R(i+1,i+1) function y=f(p,x) y=sqrt(1+p.^2*cos(x).^2)。 在 Matlab 中運(yùn)行，分別輸入 p=,… ， 計(jì)算結(jié)果列出如表： ? s ? 利用?的計(jì)算結(jié)果，求插值多項(xiàng)式。 插值問題實(shí)際上就是根據(jù)給定的 n+1 個(gè)結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 yi=f(xi),I=0,1, ? ,n 確定 n 次多項(xiàng)式 Pn(x)=anxn+an1xn1+? +a0 中的系數(shù) an,an1, ? ,a1,a0。即由 n+1 個(gè)條件確定 n+1 個(gè)待定系數(shù)，也就是求解下列關(guān)于 an,an1, ? ,a1,a0 的線性代數(shù)方程組： ? ?00011010 xfaxaxaxa nnnn ???? ?? ? ? ?10111111 xfaxaxaxa nnnn ???? ?? ? ? ? ? ?10111111 ?????? ???? nnnnnnnn xfaxaxaxa ? ? ?nnnnnnnn xfaxaxaxa ???? ?? 0111 ? 該線性代數(shù)方程組中共有 n+1 個(gè)方程， n+1 個(gè)未知數(shù) an,an1, ? ,a1,a0。因此，方程組是否有唯一解將取決于系數(shù)行列式 x0n x0n1 ? x0 1 x1n x1n1 ? x1 1 ∣ X∣ = det ? ? ? ? ? xn1n xn1n1 ? xn1 1 xnn xnn1 ? xn 1 的值是否為零。由線性代數(shù)理論可知，這個(gè)行列式是范德 蒙行列式，即 x0n x0n1 ? x0 1 x1n x1n1 ? x1 1 V(x0,x1,? ,xn1,xn) = det ? ? ? ? ? xn1n xn1n1 ? xn1 1 xnn xnn1 ? xn 1 根據(jù)插值問題的敘述，所有的結(jié)點(diǎn)互不相同，即 xi≠ xj(i≠ j).因此有 V(x0,x1,? ,xn1,xn) ≠ 0， xi≠ xj(i≠ j) 即上述線性代數(shù)方程組存在唯一解 an,an1, ? ,a1,a0，即通過(guò)給定 n+1 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的次數(shù)不超過(guò) n 的插值多項(xiàng)式 Pn(x)是唯一的。這就是代數(shù)插值問題的唯一有解性。 ① Lagrange 插值多項(xiàng)式： ? ? ? ????nk kkn xlyxL 0 求 n 次 Lagrange 插值多項(xiàng)式的關(guān)鍵在求 n 次插值基函數(shù) lk(x)(k=0,1,2,… n). ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?nkkkkkk nkkk xxxxxxxx xxxxxxxxxl ???? ????? ?? ?? ...... ...... 110 110? ?nk ,...,1,0? 程序框圖： 編寫 Matlab 程序 : function lagrange(x,y) n=length(x)。 L=zeros(n,n)。 for k=1:n l=1。 for i=1:n if k~=i l=conv(l,poly(x(i)))/(x(k)x(i))。%conv 和 poly 是 Matlab 自帶的函數(shù) end end L(k,:)=l。 end C=y*L 在 Matlab 中運(yùn)行，結(jié)果為： C = Columns 1 through 7 Columns 8 through 9 Lagrange 插值多項(xiàng)式為： y=++++ 構(gòu)造 9 階零矩陣 L 用于存放插值基函數(shù) 根據(jù)定義求插值基函數(shù) l 將第 k 個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 l值存于矩陣 L 的第 k 行 根據(jù)插值基函數(shù)和 y的值求得 Lagrange插值多項(xiàng)式 驗(yàn)證結(jié)果： y=*power(x,8)*power(x,7)+*power(x,6)*power(x,5)+*power(x,4)*power(x,3)+*power(x,2)*x+ y = Columns 1 through 7 Columns 8 through 9
醫(yī)療健康相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1